¿Cómo encontrar una razón común con el primer y el último término?

Es una rama de las matemáticas que se ocupa generalmente de los números reales no negativos que incluyen a veces los cardinales transfinitos y de la aplicación o fusión de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Las operaciones básicas que forman parte de la aritmética son la suma, la resta, la división y la multiplicación. La regla BODMAS se sigue para calcular u ordenar cualquier operación que involucre +, −, × y ÷. El orden de operación es,

B: Soportes

O: orden

D: División

M: Multiplicación

R: Adición

S: resta

Progresión 

La progresión puede ser una lista de números que muestra o exhibe un patrón específico. La diferencia más básica entre una sucesión y una progresión es que para calcular su n ^-ésimo término, una progresión tiene una fórmula específica o fija, es decir, T _n = a + (n-1)d  , que es la fórmula del n ^-ésimo término de una progresión aritmética.

Progresión geométrica 

Una progresión geométrica es una secuencia en la que cada término mantiene una relación constante con su término anterior. La proporción común representada como «r» sigue siendo la misma para todos los términos consecutivos en un GP en particular. 

Hallar una razón común con el primer y el último término

La razón común es la cantidad entre cada número en una secuencia geométrica. Se llama razón común porque es igual a cada número o común, y también es la razón entre dos números consecutivos, es decir, un número dividido por su número anterior en la secuencia.

El último término es simplemente el término en el que termina o termina una progresión aritmética o progresión geométrica de una serie o línea de secuencia particular. Generalmente se denota con una ‘l’ minúscula. El primer término es el término inicial de una serie o cualquier secuencia como progresión aritmética, progresión geométrica, progresión armónica, etc. Generalmente se denota con una ‘a’ minúscula y los términos totales son el número total de términos en una serie particular que se denota por ‘n’.

Se sabe que,

l = a × r ^(n-1)

l/a = r ^(n-1)

(l/a) ^(1/(n-1)) = r 

Con esta fórmula, calcula la razón común si se dan el primer y el último término. Veamos algunos ejemplos para entender esta fórmula con más detalle,

Problemas de muestra

Pregunta 1: En un GP, ​​el primer término es ‘1’ y el cuarto término es ’27’, luego encuentre la razón común de los mismos.

Solución:

Aquí a = 1 y a4 = 27 y la razón común es ‘r’. Asi que

⇒ a4 = a × ( r ^4-1 )

⇒ 27 = 1 × r ^4-1 = r ³

⇒ Razón común = r = 3

Pregunta 2: El primer término de una progresión geométrica es 64 y el quinto término es 4. Si la suma de todos los términos es 128, ¿cuál es la razón común?

Solución:

Como el primer término es 64 y el quinto término es 4,

Es obvio que los términos sucesivos decrecen en valor. 

Por lo tanto, r < 1. 

Entonces, la suma de todos los términos es a/(1 – r) = 128.

 Resolviendo, obtenemos r = 1/2.

Pregunta 3: El producto de los tres primeros términos de una progresión geométrica es 512. Si a su segundo término se le suma 2, los tres términos forman un AP Halla los términos de la progresión geométrica.

Solución:

Sean los tres primeros términos de GP ,a,ar

Dado que a × a × a = 512 ⇒ a ³ = 512 ⇒ a = 8

Ahora, a+2 están en AP

⇒ 8r ² + 8 = 20r

⇒ 8r ² – 20r + 8 =0

⇒ 2r ² – 5r + 2 =0

⇒ 2r– 4r – r + 2 =0

⇒ 2r(r-2) – (r-2) =0

⇒ (2r-1)(r-2) = 0

⇒ r = 2 o 1/2

Cuando r = 2, los términos son 4, 8, 16

Cuando r = 1/2, los términos son 16, 8, 4.

Pregunta 4: ¿Es la siguiente serie una progresión geométrica? 

5 , 20 , 80 , 320 , …

Responder:

Sí, es una progresión geométrica con razón común 4.

Pregunta 5: ¿Puede una razón común ser una fracción de un número negativo?

Responder:

Sí, la razón común puede ser una fracción o un número negativo.