¿Cómo encontrar el enésimo término de una sucesión aritmética?

La aritmética es una parte de las matemáticas que trabaja con diferentes tipos de números, fracciones, aplica diferentes operaciones sobre números como la suma, la multiplicación, etc. La palabra aritmética proviene de la palabra griega arithmos , que significa número. También la aritmética involucra la exponenciación, el cálculo de porcentajes, encontrar el valor de series de números, funciones logarítmicas y raíces cuadradas, etc.

Progresión aritmética

Hay una serie en aritmética llamada Progresión aritmética (AP) , esta es una secuencia de números, donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Digamos que una serie es 2, 4, 6, 8, 10, 12, .., en esta serie, la diferencia entre dos números consecutivos es 2. Si se suma 2 con el número anterior, entonces el siguiente número en la serie se obtiene, de igual forma, si al número siguiente se le resta 2, se obtiene el número anterior. 

La fórmula para encontrar el n -ésimo término

Para trabajar con esta serie hay algunas fórmulas disponibles, fórmulas como encontrar el enésimo término en la serie, fórmula para encontrar la suma de todos los términos en series aritméticas. Hay fórmulas introducidas que pueden ayudar a encontrar el valor con opciones dadas limitadas, por ejemplo, encontrar el término n -ésimo desde el primero y el último término únicamente. Digamos que una serie A consta de algún elemento a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,…an

A = {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,… a n }

  • Diferencia común entre dos términos (d) = (a1-a2)
  • Suma de la serie(S) = (n/2)[2a + (n – 1)d]
  • Primer término = un
  • 2do término = a+d
  • 3er término = a+2d
  • de manera similar, enésimo término = a+(n-1)d

Pasos para encontrar el n -ésimo término

Paso 1: En primer lugar, encuentre el primer y segundo término, es decir, un 1 y un 2 .

Paso 2:  Luego encuentra la diferencia común entre ellos, es decir d = (a 2 -a 1 )

Paso 3 : ahora, al sumar la diferencia d con el segundo término, obtendremos el tercer término, y así, la serie continúa. Ese es el segundo término, a 2 = a 1 + d (a 1 es el primer término)

3.er término, a 3 = a 2 +d = (a 1 +d)+d = a 1 +2d

4to término, a 4 = a 3 +d = (a 1 +2d)+d = a 1 +3d

Entonces, podemos ver que el número de d es 1 menos que el número de términos.  Eso es,

En a 2 , el número de d es 1, [(2-1) = 1]

En un 3 el número de d es 2, [(3-1) = 2]

En un 4 el número de d es 3, [(4-1) = 3]

Entonces, de manera similar, para el término N, el número de d debe ser (N-1) veces.

Por lo tanto , N- ésimo término, an = a 1 + (N-1)d ⇢ [Primer término + (Último término – 1)×diferencia común]

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra el noveno término de la serie dada, {1, 4, 7, 10, 13, 16,….}

Solución:

Aquí N es 9,

Primer término, a 1 = 1 

2do término, a 2 = 4,

3er término a 3 = 7

cuarto término a 4 = 10

Ahora encuentra la diferencia común, 

re = un 2 – un 1 = 4 – 1 = 3

comprobar d es correcto o no,

un 1 + re = 1+3 = 4 = un 2

un 2 + re = 4+3 = 7 = un 3

un 3 + re = 7+3 = 10 = un 4

un 4 + re = 10+3 = 13 = un 5

un 5 + re = 13+3 = 16 = un 6

Entonces, aquí la diferencia común es correcta.  

ahora el noveno término, 

a 9 = Primer término + (Último término – 1) × diferencia común 

= a1 + (N-1)d

= 1 + (9-1)×3

= 1+ 8*3

= 1+24

=25 

Entonces, el noveno término es 25.

Pregunta 2: Encuentra el término 12 de la serie dada, {5, 11, 17, 23, 29,….}

Solución:

Aquí N es 12,

Primer término, a 1 = 5

2do término, a 2 = 11,

3er término a 3 = 17

cuarto término a 4 = 23

Ahora encuentra la diferencia común,

d = un 2 – un 1 = 11 – 5 = 6

comprobar d es correcto o no,

un 1 + re = 5+6 = 11 = un 2

un 2 + re = 11+6 = 17 = un 3

un 3 + re = 17+6 = 23 = un 4

un 4 + re = 23+6 = 29 = un 5

Entonces, aquí la diferencia común es correcta.  

Ahora el término 12,

a 12 = Primer término + (término 12 – 1) × diferencia común

= un 1 + (N-1)d

= 1 + (12-1)×6

= 1+ 11×6

= 1+66

= 67

Entonces, el término 12 es 67.

Pregunta 3: Si el 4° término de un AP es 8 con una diferencia común de 2. Halla la progresión aritmética hasta 8 términos.

Solución:

Dado que, el cuarto término, un 4 es 8 y la diferencia común es 2,

Entonces el cuarto término se puede escribir como,

a + (4 – 1) × 2 = 8 [a = primer término]

= a+ 3×2 = 8

= un = 8 – 3×2

= un = 8 – 6

= un = 2

Entonces el primer término a 1 es 2,

Ahora, un 2 = un 1 +2 = 2+2 = 4

un 3 = un 2 +2 = 4+2 = 6

un 4 = 8

un 5 = un 4 +2 = 8+2 = 10

un 6 = un 5 +2 = 10+2 = 12

un 7 = un 6 +2 = 12+2 = 14

un 8 = un 7 +2 = 14+2 = 16

Entonces la serie hasta 8 términos es = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

Pregunta 4: ¿Encuentra el séptimo término de un AP cuyo tercer término es 9 y el quinto término es 15?

Solución:

Dado que, el tercer término, un 3 es 9 y el quinto término, un 5 es 15. Aquí tenemos que encontrar la diferencia común y el primer término (a 1 ).

a 3 = a 1 +2d = 9 [de la fórmula] ⇢ (1)

Y, a 5 = a 1 +4d = 15 ⇢ (2)

Resuelve (1) y (2),

a 1 +2d = 9 ⇢ (1)

a 1 +4d = 15 ⇢ (2)

Apliquemos la resta entre (1) y (2) 

2 días = 6, días = 3

Entonces, la diferencia común es 3

Ahora ponga el valor de d en cualquier ecuación, aquí ponga el valor de d en (1)

un 1 + 2d = 9

= un 1 + 2×3 = 9 [d=3]

= un 1 = 9-6

= un 1 =6

entonces el primer termino es 3

Ahora para encontrar el séptimo término,

Aplicar la fórmula para encontrar el n-ésimo término, aquí n=7

a 7 = Primer término + (7mo término – 1) × diferencia común

un 7 = un 1 + (7-1)d

a 7 =3+6×3 [d=3 y a 1 =3]

un 7 = 21

Entonces el séptimo término es 21.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por SoumikMondal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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