Pregunta 1: Demuestre que la función f(x) = log e x es creciente en (0,∞).
Solución:
Sean x1, x2 ∈ (0, ∞)
Tenemos, x1<x2
⇒ log e x 1 < log e x 2
⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es creciente en (0, ∞).
Pregunta 2: Demuestre que la función f(x) = log a (x) es creciente en (0,∞) si a>1 y decreciente en (0,∞) si 0<a<1.
Solución:
Caso 1:
Cuando a>1
Sea x 1 , x 2 ∈ (0, ∞)
Tenemos, x 1 <x 2
⇒ log e x 1 < log e x 2
⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es creciente en (0, ∞).
Caso 2:
Cuando 0<a<1
f(x) = log a x = log x /log a
Cuando a<1 ⇒ log a< 0
sea x 1 <x 2
⇒ logaritmo x 1 <logaritmo x 2
⇒ (log x 1 /log a) > (log x 2 /log a) [log a<0]
⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )
Por tanto, f(x) es decreciente en (0, ∞).
Pregunta 3: Demuestre que f(x) = ax + b, donde a, b son constantes y a>0 es una función creciente en R.
Solución:
Tenemos,
f(x) = hacha + b, a > 0
Sean x 1 , x 2 ∈ R y x 1 >x 2
⇒ ax 1 > ax 2 para algún a>0
⇒ ax 1 + b > ax 2 + b para algún b
⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )
Por lo tanto, x 1 > x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es función creciente de R.
Pregunta 4: Demuestre que f(x) = ax + b, donde a, b son constantes y a<0 es una función decreciente en R.
Solución:
Tenemos,
f(x) = hacha + b, a < 0
Sean x 1 , x 2 ∈ R y x 1 >x 2
⇒ ax 1 < ax 2 para algún a>0
⇒ ax 1 + b <ax 2 + b para algún b
⇒ f(x 1 ) <f(x 2 )
Por lo tanto, x 1 > x 2 ⇒ f(x 1 ) <f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es función decreciente de R.
Pregunta 5: Demuestra que f(x) = 1/x es una función decreciente en (0,∞).
Tenemos,
f(x) = 1/x
Sean x 1 , x 2 ∈ (0,∞) y x 1 > x 2
⇒ 1/x 1 < 1/x 2
⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )
Por lo tanto, x 1 > x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es una función decreciente.
Pregunta 6: Demuestra que f(x) = 1/(1+x 2 ) decrece en el intervalo [0, ∞] y crece en el intervalo [-∞,0].
Solución:
Tenemos,
f(x) = 1/1+ x 2
Caso 1:
cuando x ∈ [0, ∞]
Sean x 1 , x 2 ∈ [0,∞] y x 1 > x 2
⇒ x 1 2 > x 2 2
⇒ 1+x 1 2 < 1+x 2 2
⇒ 1/(1+ x 1 2 )> 1/(1+ x 2 2 )
⇒ f(x1) < f(x2)
Por lo tanto, f(x) es decreciente en [0, ∞].
Caso 2:
cuando x ∈ [-∞, 0]
Sea x 1 > x 2
⇒ x 1 2 < x 2 2 [-2>-3 ⇒ 4<9]
⇒ 1+x 1 2 < 1+x 2 2
⇒ 1/(1+ x 1 2 )> 1/(1+ x 2 2 )
⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es creciente en [-∞,0].
Pregunta 7: Muestre que f(x) = 1/(1+x 2 ) no es ni creciente ni decreciente en R.
Solución:
Tenemos,
(x) = 1/1+ x 2
R se puede dividir en dos intervalos [0, ∞] y [-∞,0]
Caso 1:
cuando x ∈ [0, ∞]
Sea x 1 > x 2
⇒ x 1 2 > x 2 2
⇒ 1+x 1 2 < 1+x 2 2
⇒ 1/(1+ x 1 2 )> 1/(1+ x 2 2 )
⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es decreciente en [0, ∞].
Caso 2:
cuando x ∈ [-∞, 0]
Sea x 1 > x 2
⇒ x 1 2 < x 2 2 [-2>-3 ⇒ 4<9]
⇒ 1+x 1 2 < 1+x 2 2
⇒ 1/(1+ x 1 2 )> 1/(1+ x 2 2 )
⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es creciente en [-∞,0].
Aquí, f(x) disminuye en [0, ∞] y f(x) aumenta en [-∞,0].
Así, f(x) ni crece ni decrece en R.
Pregunta 8: Sin usar la derivada, demuestre que la función f(x) = |x| es,
(i) estrictamente creciente en (0,∞) (ii) estrictamente decreciente en (-∞,0)
Solución:
(i). Sean x 1 , x 2 ∈ [0,∞] y x 1 > x 2
⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )
Por tanto, f(x) es estrictamente creciente en [0,∞].
(ii). Sean x 1 , x 2 ∈ [-∞, 0] y x 1 > x 2
⇒ -x 1 <-x 2
⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )
Por tanto, f(x) es estrictamente decreciente en [-∞,0].
Pregunta 9: Sin usar la derivada, demuestre que la función f(x) = 7x – 3 es una función estrictamente creciente en R.
Solución:
f(x) = 7x-3
Sean x 1 , x 2 ∈ R y x 1 >x 2
⇒ 7×1 > 7×2
⇒ 7x 1 – 3 > 7x 2 – 3
⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )
Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en R
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Artículo escrito por vermaman947 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA