Pregunta 18. En la figura dada, encuentre el área de la región sombreada. (Use π = 3.14).
Solución:
El lado del cuadrado = 14 cm
Entonces, área = lado 2
14 2 = 196 cm 2
Supongamos que el radio de cada semicírculo sea r cm.
Después,
r + 2r + r = 14 – 3 – 3
4r = 8
r = 2
Entonces, el radio de cada semicírculo es de 2 cm.
Área de 4 semicírculos = (4 x 1/2 x 3,14 x 2 x 2) = 25,12 cm 2
Ahora,
la longitud del lado del cuadrado más pequeño = 2r = 2 x 2 = 4 cm
Entonces, el área del cuadrado más pequeño = 4×4 = 16 cm 2
Ahora encontramos el área de la región no sombreada = Área de 4 semicírculos + Área del cuadrado más pequeño
= (25,12 + 16) = 41,12 cm2
Ahora encontramos el área de la región sombreada = Área del cuadrado ABCD – Área de la región no sombreada
= (196 – 41,12) = 154,88 cm2
Por lo tanto, el área de la región sombreada 154,88 cm 2
Pregunta 19. En la figura, OACB es un cuadrante de un círculo con centro en O y radio de 3,5 cm. Si OD = 2 cm, encuentre el área de la
(i) cuadrante OACB
(ii) región sombreada.
Solución:
Dado que,
Radio del cuadrante pequeño, r = 2 cm
Radio del cuadrante grande, R = 3,5 cm
(i) Área del cuadrante OACB = 1/4 πR 2
= 1/4 (22/7)(3.5) 2
= 269,5/28 = 9,625 cm2
(ii) Área de la región sombreada = Área del cuadrante grande – Área del cuadrante pequeño
= 1/4 π(R 2 – r 2 )
= 1/4 (22/7)(3.52 – 22)
= 1/4 (22/7)(12.25 – 4)
= 1/4 (22/7)(8,25)
= 6,482 cm2
Por lo tanto, el área del cuadrante OACB es 9,625 cm 2 y la región sombreada es 6,482 cm 2
Pregunta 20. En la figura, un cuadrado OABC está inscrito en un cuadrante OPBQ de un círculo. Si OA = 21 cm, encuentre el área de la región sombreada.
Solución:
Dado,
Lado del cuadrado = 21 cm = OA
Área del cuadrado = OA 2 = 21 2 = 441 cm 2
Diagonal del cuadrado OB = √2 OA = 21√2 cm
De la figura se ve que,
La diagonal del cuadrado es igual al radio del círculo, r = 21√2 cm
Asi que,
El área del cuadrante = 1/4 πr 2 = 1/4 (22/7)(21√2) 2 = 693 cm 2
Ahora encontramos el área de la región sombreada = Área del cuadrante – Área del cuadrado
= 693 – 441
= 252cm2
Por lo tanto, el área de la región sombreada es 252 cm 2
Pregunta 21. En la figura, OABC es un cuadrado de 7 cm de lado. Si OAPC es un cuadrante de un círculo con centro O, encuentre el área de la región sombreada. (Use π = 22/7)
Solución:
Dado que,
Lado del cuadrado OABC = 7 cm
Entonces, OA = AB = BC = OC = 7 cm
Ahora, el área del cuadrado OABC = lado 2 = 7 2 = 49 cm 2
Se da que OAPC es un cuadrante de una circunferencia de centro O.
Entonces, el radio del cuadrante = OA = OC = 7 cm
Área del cuadrante OAPC = 90/360 x πr 2
= 1/4 x (22/7) x 7 2
= 77/2 = 38,5 cm2
Ahora encontramos el área de la porción sombreada = Área del cuadrado OABC – Área del cuadrante OAPC
= (49 – 38,5) = 10,5 cm2
Por lo tanto, el área de la parte sombreada es de 10,5 cm 2
Pregunta 22. En la figura, OE = 20 cm. En el sector OSFT se inscribe el cuadrado OEFG. Encuentra el área de la región sombreada.
Solución:
Dado que,
Lado del cuadrado OEFG = 20 cm.
Entonces su diagonal = √2 lado = 20√2 cm
Y, el radio del cuadrante (r) = diagonal del cuadrado
r = 20√2cm
Ahora encontramos el área de la parte sombreada = Área del cuadrante – Área del cuadrado
= 1/4 πr 2 – lado 2
= 1/4 (22/7)(20√2) 2 – (20) 2
= 1/4 (22/7)(800) – 400
= 400 x 4/7 = 1600/7 = 228,5 cm2
Por lo tanto, el área de la región sombreada 228,5 cm 2
Pregunta 23. Encuentra el área de la región sombreada en la figura, si AC = 24 cm, BC = 10 cm y O es el centro del círculo. (Use π = 3.14)
Solución:
Dado,
AC = 24 cm y BC = 10 cm
De la figura AB es el diámetro del círculo
Entonces, ∠ACB = 90 o
Usando el teorema de Pitágoras
AB 2 = AC 2 + BC 2 = 24 2 + 10 2 = 576 + 100 = 676
Entonces, AB = √676 = 26 cm
Entonces, el radio del círculo (r) = 26/2 = 13 cm
Ahora encontramos el área de la región sombreada = Área del semicírculo – Área del triángulo ACB
= 1/2 πr 2 – 1/2 xbxh
= 1/2 (22/7)13 2 – 1/2 x 10 x 24
= 265,33 – 120
= 145,33 cm2
Por lo tanto, el área de la región sombreada es 145,33 cm 2
Pregunta 24. En un triángulo equilátero ABC se inscribe una circunferencia de 12 cm de lado, que se tocan sus lados (ver figura). Encuentre el radio del círculo inscrito y el área de la parte sombreada.
Solución:
Dado que,
Lado del triángulo ABC = 12 cm
Entonces, el área del triángulo equilátero = √3/4(lado) 2
= √3/4(12) 2 = 36√3cm2
También el perímetro del triángulo ABC = 3 x 12 = 36 cm
Ahora encontramos el radio del círculo = Área del triángulo/ ½ (perímetro del triángulo)
= 36√3/ 1/2 x 36
= 2√3 centímetros
Además, encontramos el área de la parte sombreada = Área del triángulo equilátero – Área del círculo
= 36√3 – πr2
= 36(1.732) – (3.14)(2√3) 2
= 62.352 – 37.68
= 24,672 cm2
Por lo tanto, el área de la parte sombreada es 24,672 cm 2
Pregunta 25. En la figura se ha inscrito en una circunferencia un triángulo equilátero ABC de 6 cm de lado. Encuentra el área de la región sombreada. (Tome π = 3.14)
Solución:
Dado que,
El lado del triángulo ABC = 6 cm
Entonces, el área del triángulo equilátero = √3/4(lado) 2
= √3/4(6) 2
= √3/4(36)
= 9√3cm2
Marquemos el centro de la circunferencia ya que O, OA y OB son los radios de la circunferencia.
En el triángulo DBO,
sen 60 o = BD/ OB
√3/2 = 3/OB
OB = 2√3 cm = r
Ahora encontramos el área de la región sombreada = Área del círculo – área del triángulo equilátero
= πr 2 – 9√3
= 3,14 × (2√3) 2 – 9√3
= 3,14 x 12 – 9 x 1,732
= 37,68 – 15,588
= 22,092 cm 2
Por lo tanto, el área de la región sombreada 22.092 cm 2
Pregunta 26. Un campo circular tiene un perímetro de 650 m. Se marca en el campo una parcela cuadrada que tiene sus vértices en la circunferencia del campo. Calcular el área de la parcela cuadrada.
Solución:
Dado que, el campo circular tiene un perímetro = 650 m
Como sabemos que la circunferencia del círculo = 2πr
650 = 2×22/7xr
r = (650×7)/44
r = 103.409m
Como la diagonal de la parcela cuadrada es el diámetro del círculo.
Por lo tanto, r × 2 = d
Entonces, diámetro = 103.409 x 2
Como sabemos que el Diámetro del círculo = 206.818 m = Diagonal del cuadrado
Ahora encontramos el área de la parcela cuadrada = 1/2 × d²
= 1/2 × (206.818)²
= 1/2 × 42773,68
Por lo tanto, el área de la parcela cuadrada es 21386,84 m 2
Pregunta 27. Encuentra el área de una región sombreada en la figura, donde se ha dibujado un arco circular de 7 cm de radio con el vértice A de un triángulo equilátero ABC de 14 cm de lado como centro. (use π = 22/7 y √3 = 1.73)
Solución:
Dado que,
El radio del círculo (r) = 7 cm.
Lado del triángulo = 14 cm
Ahora encontramos el área de la región sombreada = Área del círculo + Área del triángulo – 2 área del sector EAF
= πr 2 + √3a 2 /4 – 2 × πr 2 × 60/360
= 22/7 × (7) 2 + (1,73)(14) 2/4 – 2 × 22/7 × (7) 2 × 60/360
= 283,77 – 51,33
= 187,43 cm 2
Por lo tanto, el área de la región sombreada es 187,43 cm 2
Pregunta 28. Un hexágono regular está inscrito en un círculo. Si el área del hexágono es 24√3 cm 2 , encuentra el área del círculo. (Use π = 3.14)
Solución:
Dado que,
Un hexágono regular ABCDEF está inscrito en una circunferencia
Área del hexágono = 24 √3 cm 2
Consideremos r el radio de la circunferencia
Entonces, el lado del hexágono regular = r
Área del equilátero ΔOAB = √3/3 r 2 cm 2
Pero el área del triángulo OAB = 1/6 x área del hexágono
24√3/6 = 4√3 r 2
Entonces, r 2 = 4√3 x 4/√3 = 16
r = 4 cm
Ahora encontramos el área del círculo = πr 2 = 3.14 x (4)2 cm 2
= 3,14 x 16 cm2
= 50,24 cm2
Por lo tanto, el área del círculo = 50,24 cm 2
Pregunta 29. ABCDEF es un hexágono regular de centro O (ver figura). Si el área del triángulo OAB es de 9 cm 2 , encuentre el área de :
(i) el hexágono y
(ii) el círculo en el que está inscrito el hexágono.
Solución:
El área del hexágono = 54 cm 2
y área del círculo = 65.324 cm 2
Dado que,
Área de ∆OAB = 9 cm 2
Consideremos ‘r’ el radio de un círculo y ‘a’ el lado de un triángulo equilátero.
(i) Como sabemos que el área del hexágono = 6 × Área del triángulo equilátero
= 6 × 9 = 54 cm²
= 54 cm²
(ii) Área del equilátero ∆OAB = √3/4 × a 2
9 = √3/4 × un 2
9 × 4 = √3a 2
36 = √3a 2
un 2 = 36/√3
Lado 2 = 36/√3 cm
Como sabemos que en un hexágono regular inscrito en una circunferencia,
su lado es igual al radio de un circulo
Entonces, el radio del círculo (r) = Lado de un hexágono
r2 = 36/√3 cm
Ahora encontramos el área del círculo = πr 2
= 22/7 × 36/√3
= 22/7 × 36/1,732
= (22 × 36) /(7 ×1,732)
= 792/12.124
= 65,324 cm2
Por lo tanto, el área del hexágono es 54 cm 2 y el área del círculo es 65,324 cm 2
Pregunta 30. Cuatro círculos iguales, cada uno de 5 cm de radio, se tocan como se muestra en la figura. Encuentra el área incluida entre ellos. (Tome π = 3.14).
Solución:
Dado que,
Radio de un círculo = 5 cm
Lado de un cuadrado = 2 × Radio de un círculo
= 2 × 5
Lado de un cuadrado = 10 cm
Área de un cuadrado = Lado 2
Área de un cuadrado = 10 2 = 100 cm 2
Área de un cuadrado = 100 cm 2
Área del cuadrante de un círculo = 1/4πr 2
Área del cuadrante de cuatro círculos = 4 × 1/4πr 2 = πr 2
= 3,14 × 5 × 5
= 3,14 × 25
= 78,5 cm²
Área del cuadrante de cuatro círculos = 78,5 cm 2
Ahora encontramos el área de la porción sombreada = Área del cuadrado – Área del cuadrante de cuatro círculos
= 100 – 78,5
= 21,5 cm2
Por lo tanto, el área de la parte sombreada es de 21,5 cm 2 .
Pregunta 31. Cuatro círculos iguales, cada uno de radio ‘a’ se tocan entre sí. Demuestre que el área entre ellos es 6a 2/7 . (Tome π = 22/7)
Solución:
Dado que,
El radio de un círculo = a
Lado de un cuadrado = 2 × Radio de un círculo
= 2 × un
Lado de un cuadrado = 2a cm
Área de un cuadrado = Lado 2
= (2a) 2
= 4a 2
Área del cuadrante de un círculo = 1/4πr 2
Área del cuadrante de cuatro círculos = 4 × 1/4πr 2 = πr 2
Ahora encontramos el área de la porción sombreada = Área del cuadrado – Área del cuadrante de cuatro círculos
= 4a 2 – 22/7 × a 2
= 4a 2 – 22a 2 /7
= (28a 2 -22a 2 )/7
= 6a 2 /7
Por lo tanto, demostró que el área entre ellos es 6a 2/7
Pregunta 32. Un niño hace un cartel en un papel cuadriculado dibujando un cuadrado ABCD de 14 cm de lado. Dibuja cuatro círculos con el centro A, B, C y D en los que sugiere diferentes formas de ahorrar energía. Los círculos están dibujados de tal manera que cada círculo toque externamente dos de los tres círculos restantes en la figura dada. En la región sombreada, escribe el mensaje «Ahorra energía». Encuentra el perímetro y el área de la región sombreada. (Use π = 22/7)
Solución:
Dado que,
Lado de un cuadrado = 14 cm
Radio de un Circulo(r) = Lado de un cuadrado/2 = 14/2 = 7 cm
Ángulo central, θ = 90°
Entonces, el perímetro de la porción sombreada = 4 × longitud del arco que tiene un ángulo central de 90°
= 4 × θ/360° × 2πr
= 4 × 90°/360° × 2 × 22/7 × 7
= 4 × 1/4 × 44
= 44 centímetros
Como sabemos que el área de un cuadrado = Lado 2
= (14) 2 = 196 cm2
Además, el área de un cuadrado = 196 cm 2
Área del cuadrante de un círculo = 1/4πr 2
Área del cuadrante de cuatro círculos = 4 × 1/4πr 2 = πr 2
= 22/7 × 7 2
= 22 × 7
= 154cm2
Ahora encontramos el área de la porción sombreada = Área del cuadrado ABCD – Área del cuadrante de cuatro círculos
= 196 – 154
= 42cm2
Por lo tanto, el perímetro de la porción sombreada es 44 cm y el área de la porción sombreada es 42 cm 2
Pregunta 33. El diámetro de una moneda es de 1 cm (ver figura). Si cuatro de estas monedas se colocan sobre una mesa de modo que el borde de cada una toque el de las otras dos, encuentre el área de la región sombreada (Tome π = 3.1416).
Solución:
Dado que,
El diámetro de una moneda (círculo) = 1 cm
Encuentra el área de la región sombreada
Como sabemos que el radio(r) de una moneda (círculo) = Diámetro de una moneda (círculo)/2
r = 1/2 = 0,5 cm
Lado de un cuadrado = 2 × Radio de una moneda (círculo)
= 2 × 0,5
= 1cm
Área del cuadrante de un círculo = 1/4πr 2
Área del cuadrante de cuatro círculos = 4 × 1/4πr 2 = πr 2
Ahora encontramos el área de la porción sombreada = Área del cuadrado – Área del cuadrante de cuatro círculos
A = Lado 2 – πr 2
= 1 2 – 3,1416 × (0,5) 2
= 1 – 3,1416 × 0,25
= 1 – 0,7854
= 0,2146 cm2
Por lo tanto, el área de la parte sombreada es 0,2146 cm 2
Pregunta 34. De una cartulina rectangular de dimensiones 14 cm x 7 cm, se recortan dos piezas circulares de igual radio y área máxima, que se tocan entre sí. Encuentra el área de la cartulina restante. (Use π = 22/7)
Solución:
Dado que,
Longitud de un rectángulo(l) = 14 cm
Ancho de un rectángulo (b) = 7 cm
Entonces, el diámetro de 1 círculo = 7 cm
Radio de 1 círculo(r) = 7/2 cm
Ahora encontramos el área del cartón restante = Área del cartón rectangular – 2 × Área del círculo
= l × segundo – 2 (πr 2 )
= (14× 7) – 2 × (22/7) × (7/2) 2
= 98 – (44/7)(49/4)
= 98 – 77
= 21cm2
Por lo tanto, el área del cartón restante es de 21 cm 2 .
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA