Definición formal de límites

Intuitivamente, límite para una función f(x) en un punto x, significa el valor al que parece aproximarse la función a medida que uno se mueve hacia el punto x. La comprensión de estos conceptos conduce al desarrollo de algunos conceptos fundamentales del cálculo: continuidad, derivadas e integrales. Hay tres tipos de límites: límite izquierdo, límite derecho y ambos. Los límites se definen de manera más precisa y matemática utilizando la definición épsilon-delta. Veamos la definición del límite en los puntos con límite finito, límite infinito y límite en el infinito.

Intuición de Límites

El límite de una función f(x) en un punto particular x, describe el comportamiento de esa función muy cerca de ese punto particular. No da el valor de la función en ese punto en particular, solo da el valor de la función que parece estar tomando en ese punto. La siguiente figura presenta una línea recta y el límite de esa función en el punto x = c, que se muestra gráficamente.

Observe en la figura, a medida que uno se acerca al punto x = c desde el lado izquierdo o desde el lado derecho. El valor de la función está cambiando. Cuando se llega al punto c, el valor de la función parece converger a f(c).

A veces parece que las funciones toman algún valor en el límite y otro valor en el punto real. Esto suele ocurrir en las funciones que no son continuas y han saltado en sus valores. Por ejemplo, considere la función dada en la siguiente figura,

En esta función, mientras se acerca desde el lado izquierdo, la función parece estar tomando el valor, por lo que el límite se evalúa como L, pero el valor real de la función en ese punto es f(c) = L’. Observe que, acercándose desde el lado derecho, el límite se evalúa como f(c) = L’. Esto prueba que no es necesario que el valor de la función en un punto particular sea el mismo que el límite de la función en ese punto particular.

Definición formal de límites

Consideremos una función f(x), la función está definida en el intervalo que contiene x = a. El límite de la función en x = a se denota como, $\lim_{x \to a}f(x)$ . Esto se escribe como “Límite de f(x) cuando x tiende a a”. Tenga en cuenta que las palabras «tiende a», «se acerca a» que generalmente se usan para definir los límites no son precisas y, por lo tanto, es imposible escribir eso matemáticamente. Por lo tanto, se necesita una definición que formalice la noción de estas frases y palabras.

Construyendo la Idea

Considere el siguiente caso de función,

La figura muestra los valores de una función f(x) en tres puntos diferentes que están cerca uno del otro. $\delta$ representa el cambio en el valor de x, y el ∈ muestra el cambio en los valores del límite de la función en estos puntos. Estos parámetros formalizan la noción de que los puntos están realmente cerca uno del otro y el significado de frases como x acercándose al punto x = a. Entonces, usando la definición formal de los límites se puede escribir.

Definición de límites

La definición dada a continuación se llama la definición «épsilon-delta».

Para la función f(x) definida en un intervalo que contiene x =a. Entonces decimos que,

$\lim_{x \to a}f(x) = L$

Si para cada número épsilon(∈) mayor que cero, existe algún número delta positivo $\delta$ tal que,

| f(x) – L | < ∈ donde 0 < |x – a| < $\delta$

Lo que la definición está tratando de decir se puede explicar con la figura de arriba. Supongamos que el límite no existe. Según la definición, hay un cierto número ∈ > 0, que elegimos. Las dos líneas horizontales en la figura representan L + ∈ y L – ∈. Después de eso, la definición dice que hay otro número $\delta$ > 0 que debemos determinar. Nos permite agregar esas líneas verticales en la figura que representan a + $\delta$ , a – $\delta$ . Para cualquier punto que se encuentre entre la región I,

0 < |x — un| < $\delta$

Si ahora identificamos el punto en el gráfico que da nuestra elección de x, entonces este punto en el gráfico estará en la intersección de la región rosa y amarilla. Ahora el valor de la función estará entre,

$|f(x) - L| < \epsilon$

Uso de la definición para calcular los límites

Como ejemplo, consideremos una función f(x) = x ² . Usando la definición de límite mencionada anteriormente, demuestre que

$\lim_{x \to 0}x^2 = 0$

Para este caso, L = 0 y a = 0. Considere cualquier número arbitrario ∈ > 0.

|x ² – 0| < ∈

⇒| ^x2 | < ∈

El objetivo es encontrar un número $\delta$ tal que,

| x2 | ^_< ∈ donde 0 < |x| < $\delta$

| x2 | ^_< ∈

⇒ |x| < √∈

Podemos elegir nuestro $\delta$ = √∈

Para la verificación, se debe verificar que para la condición dada con $\delta$ , el valor de la expresión no debe cambiar más de ∈. En este caso particular, significa que debemos asegurarnos de que,

$|x^2| < \epsilon$

Entonces, usemos el resultado derivado previamente |x| < √∈. Cuadrándolo,

| x2 | ^_< ∈

Este es el resultado que buscábamos. Por lo tanto, verificado.

Veamos algunos ejemplos de problemas con estos conceptos.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Para la función dada f(x), encuentre $\lim_{x \to 4}f(x)$

f(x) = $\frac{x + 5}{x}$

Solución:

Usando la regla de sustitución,

f(x) = $\frac{x + 5}{x}$

$\lim_{x \to 4}f(x)$

⇒ $\lim_{x \to 4}\frac{x + 5}{x}$

⇒ $\lim_{x \to 4}\frac{4 + 5}{4}$

⇒ $\frac{9}{4}$

Pregunta 2: Para la función dada f(x), encuentre $\lim_{x \to 0}f(x)$

f(x) = $\frac{e^x + e^{-x}}{2cos(x)}$

Solución:

Usando la regla de sustitución,

f(x) = $\frac{e^x + e^{-x}}{2cos(x)}$

$\lim_{x \to 0}f(x)$

⇒ $\lim_{x \to 0}\frac{e^x + e^{-x}}{2cos(x)}$

⇒ $\lim_{x \to 0}\frac{e^0 + e^{-0}}{2cos(0)}$

⇒ $\frac{1 + 1}{2}$

⇒1

Pregunta 3: Para la función dada f(x), encuentre $\lim_{x \to 0}f(x)$

f(x) = $\frac{sin^2(x) + 2cos(x)}{2cos(x)}$

Solución:

Usando la regla de sustitución,

f(x) = $\frac{sin^2(x) + 2cos(x)}{2cos(x)}$

$\lim_{x \to 0}f(x)$

⇒ $\lim_{x \to 0}\frac{sin^2(x) + 2cos(x)}{2cos(x)}$

⇒ $\lim_{x \to 0}\frac{sin^2(0) + 2cos(0)}{2cos(0)}$

⇒ $\lim_{x \to 0}\frac{0 + 2(1)}{2(1)}$

⇒1

Pregunta 4: Para la función dada f(x), Demostrar usando la definición delta épsilon del límite, $\lim_{x \to 2}f(x) = 6$

f(x) = 5x -4

Solución:

Para este caso, L = 6 y a = 2. Considere cualquier número arbitrario ∈ > 0.

|5x -4 – 6 | < ∈

⇒|5x -4 – 6| < ∈

El objetivo es encontrar un número $\delta$ tal que,

|5x -4 – 6| < ∈ donde 0 < |x – 2| < $\delta$

|5x -4 – 6| < ∈

⇒ 5 | x-2| < ∈

⇒ |x – 2| < $\frac{\epsilon}{5}$

Podemos elegir nuestro $\delta$ = $\frac{\epsilon}{5}$

Para la verificación, se debe verificar que para la condición dada con $\delta$ , el valor de la expresión no debe cambiar más de ∈. En este caso particular, significa que debemos asegurarnos de que,

|5x -4 – 6 | < ∈

Tomemos la expresión y usemos el resultado derivado.

⇒ 5 | x-2| < 5 $\frac{\epsilon}{5}$

⇒|5x -4 – 6 | < ∈

Pregunta 5: Para la función dada f(x), Demostrar usando la definición delta épsilon del límite, $\lim_{x \to 0}f(x) = 0$

f(x) = √x

Solución:

Para este caso, L = 0 y a = 0. Considere cualquier número arbitrario ∈ > 0.

|√x – 0| < ∈

⇒|√x| < ∈

El objetivo es encontrar un número $\delta$ tal que,

| √x | < ∈ donde 0 < |x| < $\delta$

| √x | < ∈

⇒ |x| < ∈ ²

Podemos elegir nuestro $\delta$ =∈ ²

Para la verificación, se debe verificar que para la condición dada con $\delta$ , el valor de la expresión no debe cambiar más de ∈. En este caso particular, significa que debemos asegurarnos de que,

|√x| < ∈

Entonces, usemos el resultado derivado previamente |x| < ∈ ² . Tomando la raíz cuadrada,

| √x | < ∈

Pregunta 6: Para la función dada f(x), Demostrar usando la definición delta epsilon del límite, $\lim_{x \to 0}f(x) = 1$

f(x) = e ^x

Solución:

Para este caso, L = 1 y a = 0. Considere cualquier número arbitrario ∈ > 0.

|e ^x – 1| < ∈

⇒|e ^x – 1| < ∈

El objetivo es encontrar un número $\delta$ tal que,

|e ^x – 1| < ∈ donde 0 < |x| < $\delta$

|e ^x – 1| < ∈

⇒ -∈ <e ^x – 1 < ∈

⇒ 1 -∈ <ex < ^∈ + 1

⇒log (1 – ∈) < x < log(∈ + 1)

Aquí, ∈ < 1 para que la desigualdad del lado izquierdo sea válida.

Podemos elegir nuestro $\delta$ =min{log (1 – ∈), log(∈ + 1)} = log(1 + ∈)

Para la verificación, se debe verificar que para la condición dada con $\delta$ , el valor de la expresión no debe cambiar más de ∈. En este caso particular, significa que debemos asegurarnos de que,

|e ^x – 1| < ∈

Entonces, usemos el resultado obtenido anteriormente

| x-0 | < $\delta$

⇒ $- \delta$ < X < $\delta$

⇒ logaritmo (1 – ∈) < x < logaritmo(∈ + 1)

⇒ 1 -∈ <ex < ^∈ + 1

⇒-∈ <e ^x – 1 < ∈

⇒|e ^x – 1| < ∈

Por lo tanto, Probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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