Los polinomios son aquellas expresiones algebraicas que contienen variables, coeficientes y constantes. Por ejemplo, en el polinomio 8x 2 + 3z – 7, en este polinomio, 8,3 son los coeficientes, x y z son las variables y 7 es la constante. Así como las operaciones matemáticas simples se aplican a números, estas operaciones también se pueden aplicar a diferentes polinomios, al aplicar diferentes operaciones a polinomios se obtiene un nuevo polinomio, digamos que p(x) es un polinomio multiplicado por q(x), entonces, el nuevo polinomio g(x) = p(x) × q(x).
Algoritmo de división para polinomios
El algoritmo de división establece que,
Si p(x) y g(x) son dos polinomios con g(x) ≠ 0, entonces podemos encontrar polinomios q(x) y r(x) tales que,
p(x) = g(x) xg(x) + r(x)
Donde r(x) = 0 o grado de r(x) < grado de g(x)
Dividendo = Cociente × Divisor + Resto
Veamos algunos pasos para hacer este tipo de división y luego resolvamos algunos ejemplos relacionados.
- En este paso, organiza el divisor y el dividendo en un orden decreciente según sus grados.
- El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del divisor.
- El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del nuevo dividendo obtenido como resto por el término de mayor grado del divisor.
- Continúe este proceso hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor.
Veamos algunos ejemplos de problemas relacionados con este algoritmo.
Pregunta 1: Divide el polinomio x 3 + x 2 – 1 con x – 1.
Solución:
Sólo tenemos que seguir los mismos pasos que hemos mencionado anteriormente.
Entonces, el cociente aquí es x 2 + 2x + 2 y el resto es 1.
Pregunta 2: Divide el polinomio x 4 + x 3 + x 2 – 1 con x 3 – 1.
Solución:
Entonces, el cociente resulta ser x + 1 y el resto x 2 + x.
Uso del algoritmo de división para encontrar los ceros de un polinomio
Supongamos que tenemos un polinomio P(x) = 0 de grado 3. Si nos dan una raíz x = r de ese polinomio. Podemos encontrar las otras dos raíces dividiendo el polinomio con (x -r). Veámoslo con un ejemplo.
Pregunta 1: Encuentra todos los ceros del polinomio f(x) = 2x 3 -5x 2 -4x + 3 si una de las raíces es .
Solución:
x = es una raíz del polinomio (Dado)
Ahora sabemos por el hecho mencionado anteriormente, (x – ) es un factor del polinomio dado. Entonces, para encontrar los otros ceros, necesitamos dividir el polinomio con este factor.
Entonces obtenemos 2x 2 -4x – 6 como cociente.
Las dos raíces restantes son raíces de este polinomio.
2x 2 – 4x – 6 = 0
⇒ 2x 2 -6x + 2x – 6 = 0
⇒ 2x(x – 3) + 2 (x – 3) = 0
⇒ (2x + 2) (x – 3) = 0
x = -1 y x = 3
Por lo tanto, las dos raíces restantes son x = -1 y x = 3.
Pregunta 2: Divide el polinomio 5x 4 -3x 3 + 2x 2 – 1 con x 3 – 1.
Solución:
El resto es 3 y el cociente es 5x 3 + 2x 2 + 4x + 4
Pregunta 3: Encuentra todos los ceros de 2x 4 – 3x 3 -3x 2 + 6x – 2. Sabemos que dos ceros son √2 y -√2.
Solución:
Nos dan dos ceros del polinomio. Sabemos que x – √2 y x + √2 son los factores del polinomio.
Dos encuentra las otras raíces, dividamos el polinomio con ambas.
(x – √2)(x + √2)
= x 2 – 2
Dividiendo el polinomio con x 2 – 2.
El polinomio cociente viene dado por 2x 2 – 3x + 1
Las dos raíces restantes también son las raíces de este polinomio.
2x 2 – 3x + 1
⇒ 2x 2 – 2x -x + 1
⇒ 2x(x -1) -1(x – 1)
⇒ (2x – 1) (x – 1) = 0
Entonces, las raíces resultan ser x = y x = 1.
Así, todas las raíces son x = 1, √2, -√2 y
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Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA