¿Qué son los números irracionales?

El valor aritmético que se usa para representar la cantidad y se usa para hacer cálculos se define como Números. Un símbolo como “456” que representa un número se conoce como numeral . Sin números, no podemos contar cosas, fecha, hora, dinero, etc. Estos números también se usan para medir y etiquetar. Las propiedades de los números los hacen útiles para realizar operaciones aritméticas con ellos. Estos números se pueden escribir en formas numéricas y también en palabras.

Por ejemplo, 3 se escribe como tres en palabras, 35 se escribe como treinta y cinco en palabras, etc. Los estudiantes pueden escribir los números del 1 al 100 en palabras para aprender más. Hay diferentes tipos de números, que podemos aprender. Son números enteros y naturales, números pares e impares, números racionales e irracionales, etc.

Sistema de numeración 

Un sistema numérico es un método de mostrar números por escrito, que es una forma matemática de representar los números de un conjunto dado, usando los números o símbolos de manera matemática. El sistema de escritura para denotar números utilizando dígitos o símbolos de manera lógica se define como un sistema numérico. El sistema numérico que representa un conjunto útil de números también refleja la estructura aritmética y algebraica de un número y proporciona una representación estándar. Los dígitos del 0 al 9 se pueden utilizar para formar todos los números. Con estos dígitos, cualquiera puede crear números infinitos. Por ejemplo, 156,3907, 3456, 1298, 784859, etc.

Numero irracional

Antes de explicar los números irracionales, veamos un poco acerca de los números racionales. Los números que se pueden expresar como cociente entre dos enteros se definen como números racionales . Es la forma de a/b aquí “a” es el numerador y “b” es el denominador, donde a y b son números enteros y b ≠ 0. Un ejemplo, las fracciones 1/5 y −2222/ 8 son racionales números. Todos los números enteros están incluidos en los números racionales y podemos escribir cualquier número entero «z» como la razón de z/1.

El número que no es racional o que no podemos escribir en forma de fracción a/b se define como números irracionales. Aquí √2 es un número irracional, si se calcula el valor de √2, será √2 = 1.14121356230951, y los números continuarán hasta el infinito y nunca se repetirán, y nunca terminarán. No se puede escribir en forma /b donde b no es igual a cero. El valor obtenido en realidad no termina y no hay un patrón en los dígitos después del decimal. A este tipo de números se les llama números irracionales.

Considere √3 mientras calcula, √3 = 1.732050807. El patrón recibido no es recurrente ni termina. Así que √3 aquí también es un número irracional. Pero el caso de √9 aquí √9 = 3 este es un número racional. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto siempre será un número racional . La raíz cuadrada de cualquier número que no sea un cuadrado perfecto siempre será un número irracional. Los números irracionales pueden tener una expansión decimal que nunca termina y no se repite. El número irracional muy famoso es

Pi(π) = 3,14

Pi(π) se usa para calcular la relación entre la circunferencia de un círculo y el diámetro de ese mismo círculo. Se han realizado muchos cálculos con más de un cuatrillón de decimales, pero aún no se ha encontrado ningún patrón, por lo que es un número irracional. El patrón parece 3.1415926535897932384626433832795. Aquí hay algunos ejemplos de números irracionales son π, e, φ

e = número de Euler, y también un número irracional. Los primeros dígitos se ven como 2.7182818284590452353602874713527654…

φ = Es un número irracional. Los primeros dígitos se ven como 1.61803398874989484820…

Algunas propiedades de los números irracionales

Suma y resta de números irracionales

Según esto, el resultado de una suma de números irracionales no tiene por qué ser un número irracional

(4 + √3) + (6 – √3) = 4 + √3 + 6 – √3 = 10. Aquí 10 es un número racional.

Por esto, el resultado de sumar dos números irracionales no es un número irracional .

Según esto, el resultado de la resta de un número irracional no tiene por qué ser un número irracional

(5+ √2 ) – (3 + √2) = 5+ √2 – 3 -√2 = 2. Así que aquí 2 es un número racional.

Multiplicación y División de Números Irracionales 

Según esto, el producto de dos números irracionales puede ser un número racional o irracional.

√2 × √3 = 6. Aquí el resultado es un número racional.

Según esto, el resultado de la división de dos números irracionales puede ser un número racional o irracional.

√2 ÷ √3 =  Aquí el resultado es un número irracional.

Problemas de muestra

Pregunta 1: ¿Cuáles de los números son números racionales o números irracionales?

5, -2, -.45678…, 6.5, √ 3, √ 2, √5

Solución:

Aquí, 5, -2, 6.5 son todos números racionales, ya que se pueden expresar como una fracción y tienen un decimal final. Como 5 se puede escribir como 5/1 y -2 se puede escribir como -2/1 y 6.5 como 65/10.

Considerando que, √3 , √2 , √5 , -.45678…. son todos números irracionales ya que no se pueden expresar en fracción o tener un decimal no terminador, no periódico, aquí si √5 es igual a un decimal no terminador.. √5 = 2.2360679, y lo mismo para el √3 = 1.732.. aquí estos representa el número irracional.

Pregunta 2: ¿Cuáles de estos son números irracionales?

0,5, π, 1/3, 0,857857

Solución:

Los números que no se pueden expresar como fracción son números irracionales. Así que aquí 0,5 se puede escribir como 1/2 y 1/3 en sí mismo, una fracción n 0,857857 se puede escribir como 8578/1000, por lo que estos son números racionales. π es el único irracional aquí que no se puede expresar como fracción. 

Pregunta 3: Cuando multiplicas dos irracionales, obtienes resultados diferentes. ¿Cómo? 

Responder:

Multiplique √3 × √3, luego dará como resultado un número racional

√9 = 3, Aquí 3 es un número racional .

En el segundo caso, si multiplicamos, √3 × √5, entonces dará como resultado un número irracional.

=√15, aquí √15 es un número irracional

Entonces, la multiplicación de dos números irracionales puede darte el resultado tanto como racional como irracional.

Pregunta 4: Identifica si los siguientes números son racionales o irracionales.

√2, 84, 8.432432432…, 3.14159265358979…, √11, 33/3.

Solución:

84, 8.432432432…, y 33/3 son números racionales ya que son enteros o sus expansiones decimales terminan, se repiten.

√2, 3.14159265358979…, y √11 son números irracionales ya que sus expansiones decimales no terminan ni se repiten.

Pregunta 5: Identifique si 6.5 es un número racional o irracional.

Solución: 

El número 4.5 es un número racional. Dado que los números racionales también se pueden expresar como decimales con dígitos repetidos después del punto decimal. Aquí podemos escribir 6,5 como 65/10 y luego escribirlo como 15/2 = 6,5 por lo que es un número racional.