En las matemáticas modernas, se usa la teoría de números, que básicamente hace todas las operaciones en números, y el método más básico para resolver sistemas numéricos decimales en la teoría de números es la aritmética. La aritmética se ocupa de cálculos como la suma, la resta, la multiplicación, exponencial, etc. Hay secuencias y progresiones en la teoría de números que son básicamente números alineados de manera que ofrecen una cierta relación. Veamos qué son las progresiones,
Progresión
La progresión se puede definir como una lista de números que tienen un patrón particular. El siguiente número en una progresión se puede calcular usando una fórmula. La relación entre los números debe ser la misma siempre y relevante. Las progresiones se utilizan principalmente para identificar el término n en la secuencia. Según el tipo de relación entre los números, las progresiones se dividen en tres tipos.
- Progresión aritmética
- Progresión geométrica
- Progresión armónica.
En este artículo, analicemos las progresiones aritméticas y geométricas.
¿Qué son la progresión aritmética y la progresión geométrica?
La progresión aritmética y geométrica se incluye en el tema de la secuencia y la serie. La serie/progresión aritmética es básicamente la progresión donde la diferencia entre dos números consecutivos es siempre la misma, conocida como diferencia común, denotada por «d». La progresión geométrica es aquella en la que la razón de dos números consecutivos es siempre la misma, indicada por “r”. Echemos un vistazo más profundo a estos,
Progresión Aritmética (AP)
La progresión aritmética se puede definir como una secuencia de números en la que dos términos consecutivos de la serie tendrán la misma diferencia común o una secuencia de números en la que se agrega exactamente el mismo número a cada término a medida que continúa la progresión. Ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10 esta serie está en progresión aritmética porque cada término consecutivo se obtiene sumando algún número constante 2 al término anterior.
Términos relacionados con la progresión aritmética
Hay algunos términos principales relacionados con la progresión aritmética con los que nos encontramos con frecuencia:
Primer término (a) : el primer término de la progresión se representa como ‘a’. El primer término de la progresión se utiliza para calcular el término n y la suma de los números de la progresión. La progresión se representa como
a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d,…n términos
Diferencia común (d) – La diferencia común se define como la diferencia entre dos términos consecutivos. Esto se representa como d y se puede obtener como
re = un 2 -un 1 = un 3 -un 2 = un 4 -un 3 =…..= un norte -un n -1
n -ésimo término (a n ) – El n-ésimo término se define como el término que viene en el n-ésimo lugar en la secuencia. Se representa como una n obtenida como
un n = un + (n-1)d
dónde,
a – Primer término de la progresión
n – número de términos
d – diferencia común
Pregunta: ¿Calcular el término 27 de la Progresión Aritmética 3, 7, 11, 15, 19, 23,…?
Solución:
un = 3
diferencia común (d) = a 2 – a 1 = 7 – 3 = 4
Dado que el término n de la progresión viene dado por la fórmula
un n = un + (n-1)d
aquí n = 27
27 = 3 + (27-1)(4 )
27 = 3 + (26)(4 )
un 27 = 107
Por lo tanto, el término 27 de la progresión es 107.
Suma de los primeros n términos (S n ): La suma de los n términos se define como la suma de los primeros n elementos de la progresión. Se denota por S n y se puede obtener usando la fórmula,
Sn = ( n /2) (2a + (n-1)d)
dónde,
a – Primer término de la progresión
n – número de términos
d – diferencia común
Pregunta: ¿Calcular la suma de los primeros 100 términos en la Progresión Aritmética 3, 7, 11, 15, 19, 23,….?
Solución:
un = 3
diferencia común (d) = a 2 – a 1 = 7 – 3 = 4
Dado que, la suma de los primeros n términos en una progresión viene dada por la fórmula
Sn = ( n /2) (2a + (n-1)d)
Aquí n = 100
S 100 = (100/2)(2× 3 + (100-1)× 4)
S 100 = (50)(6 + 396)
$100 = 20100
Por lo tanto, la suma de los primeros 100 términos en la progresión dada es 20100
Progresión Geométrica (GP)
La Progresión Geométrica se define como una secuencia de términos en la que dos cualesquiera consecutivos tienen una razón común. En esta secuencia, el término siguiente se obtiene multiplicando un término constante por el término anterior y el término anterior se puede obtener dividiendo un término constante por el término. Ejemplo : 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458,… Esta sucesión está en Progresión Geométrica con una razón constante de 3. Cuando se dividen términos consecutivos, obtenemos un término constante 3 que se llama razón común.
Hay dos tipos de Progresión Geométrica, Progresión Finita e Infinita,
Progresión geométrica finita: este tipo de progresión tiene un número finito de términos y el último término se define
Progresión Geométrica Infinita: Este tipo de Progresión Geométrica tiene un número infinito de términos y el último término no está definido.
Términos relacionados con la progresión geométrica
Primer término (a): El primer término de la progresión se representa como ‘a’. El primer término de la progresión se utiliza para calcular el término n y la suma de los números de la progresión. La progresión se representa como
a, ar, ar 2 , ar 3 ,…. n términos
Razón común (r): La razón común en la progresión se puede obtener dividiendo dos términos consecutivos cualquiera en la progresión. Se representa por ‘r’ y puede ser positivo o negativo.
Razón común = (término) / (Término anterior) = a 2 /a 1 = a 3 /a 2 = a n /a n-1
término n (a n ): el término n se define como el término que viene en el lugar n en la secuencia. Se representa como obtenido como
un n = ar n-1
dónde,
a – Primer término
r – Razón común
n – Número de términos
Pregunta: ¿Calcular el término 16 en la Progresión Geométrica dada 3, 9, 27, 81,…………..?
Solución:
un = 3
Razón común (r) = a 2 /a 1 = 9/3 = 3
Dado que el término n en la progresión geométrica viene dado por la fórmula
un n = ar n-1
Aquí n = 16
16 = 3× (3 ) 16-1
un 16 = 43.046.721
Por lo tanto, el término 16 en la progresión es 43046721
4. Suma de los primeros n términos (Sn): La suma de los n términos se define como la suma de los primeros n elementos de la progresión. Se denota por Sn y se puede obtener usando la fórmula,
Progresión geométrica finita:
Sn = a(1-rn )/(1- r ) cuando r< 1
S n = a(r n -1)/(r-1) cuando r>1
Progresión geométrica infinita:
Sn = a/(1- r ), cuando |r|<1
dónde,
a – Primer término
r – Razón común
n – Número de términos
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Comprueba si la sucesión 5, 10, 15, 20, 25, 30,… ¿está en Progresión Aritmética o no?
Solución:
un = 5
Para verificar que la secuencia dada está en progresión aritmética, la secuencia debe seguir la condición,
un 2 – un 1 = un 3 -un 2
10-5 = 15-10
5 = 5
Dado que la condición se cumple, la secuencia anterior está en progresión aritmética.
Pregunta 2: ¿Calcular el vigésimo término de la progresión aritmética 2, 6, 10, 14, 18, 22,….?
Solución:
un = 2
diferencia común (d) = a 2 – a 1 = 6 – 2 = 4
Dado que el término n de la progresión viene dado por la fórmula
un n = un + (n-1)d
aquí n = 20
20 = 2 + (20-1)(4 )
20 = 2 + (19)(4 )
un 20 = 78
Por lo tanto, el vigésimo término de la progresión es 78.
Pregunta 3: ¿Calcular el décimo término en la Progresión Geométrica dada 2, 8, 32, 128,….?
Solución:
un = 2
Razón común (r) = a 2 /a 1 = 8/2 = 4
Dado que el término n en la progresión geométrica viene dado por la fórmula
un n = ar n-1
Aquí n = 10
un 10 = 2 × (4) 10-1
un 10 = 524288
Por lo tanto, el décimo término de la progresión es 524288.
Pregunta 4: Verifica si la secuencia 5, 20, 80, 320….está en Progresión Geométrica o no.
Solución:
un = 5
Para verificar que la secuencia dada está en progresión geométrica, la secuencia debe seguir la condición,
un 2 / un 1 = un 3 / un 2
20/5 = 80/20
4 = 4
Dado que la condición se cumple, la secuencia anterior está en progresión geométrica.
Pregunta 5: ¿Calcular la suma de los 10 primeros términos de la Progresión Aritmética 2, 6, 10, 14, 18, 22,…?
Solución:
un = 2
diferencia común (d) = a 2 – a 1 = 6 – 2 = 4
Dado que, la suma de los primeros n términos en una progresión viene dada por la fórmula
Sn = ( n /2) (2a + (n-1)d)
Aquí n = 10
S 10 = (10/2)(2*2 + (10-1)*4)
S 10 = (5)(4 + 36)
S 10 = 200
Por lo tanto, la suma de los primeros 10 términos en la progresión dada es 200
Pregunta 6: ¿Calcular la suma de los 5 primeros términos de la Progresión Geométrica 128, 32, 8, 2,…………..?
Solución:
= 128
Razón común (r) = a 2 /a 1 = 32/128 = 1/4 = 0,25
Dado que la suma de los primeros n términos en una progresión geométrica infinita viene dada por la fórmula,
Sn = a/(1- r ), cuando |r|<1
Aquí n = 5
S5 = 128/(1-0,25 )
S5 = 170,6
Por lo tanto, la suma de los primeros 5 términos en la progresión dada es 170.6
Pregunta 7: ¿Calcular la suma de los primeros 7 términos de la Progresión Geométrica 5, 20, 80, 320…20480?
Solución:
un = 5
Razón común (r) = a 2 /a 1 = 20/5 = 4
Dado que la suma de los primeros n términos en una progresión geométrica finita viene dada por la fórmula
Sn = a(r n -1)/(r-1) r>1
Aquí n = 7
S 7 = (5) (4 7 -1)/(4-1)
S7 = 27305
Por lo tanto, la suma de los primeros 7 términos en la progresión dada es 27305
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Artículo escrito por saipranavireddyneerudu y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA