¿Cómo calcular la suma de cuadrados?

El sistema numérico incluye diferentes tipos de números, por ejemplo, números primos, números impares, números pares, números racionales, números enteros, etc. Estos números se pueden expresar en forma de cifras y también de palabras. Por ejemplo, los números como 40 y 65 expresados ​​en forma de cifras también se pueden escribir como cuarenta y sesenta y cinco. 

Un sistema Numérico o sistema numeral se define como un sistema elemental para expresar números y cifras. Es la forma única de representación de números en estructura aritmética y algebraica.

Los números se utilizan en varios valores aritméticos aplicables para realizar diversas operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación, etc., que son aplicables en la vida diaria con fines de cálculo. El valor de un número está determinado por el dígito, su valor posicional en el número y la base del sistema numérico. Los números generalmente también se conocen como números y son los valores matemáticos utilizados para contar, medir, etiquetar y medir cantidades fundamentales.

Los números son los valores matemáticos o cifras que se utilizan para medir o calcular cantidades. Se representa con numerales como 2, 4, 7, etc. Algunos ejemplos de números son los números enteros, enteros, naturales, racionales e irracionales, etc.

¿Qué es la suma de cuadrados?

La suma de los cuadrados de los números se conoce como la suma de los valores cuadrados de los números. Es básicamente la suma de números al cuadrado.  

Aquí 2 términos, 3 términos, o ‘n’ número de términos, primeros n términos impares o términos pares, conjunto de números naturales o números consecutivos, etc. podrían ser términos cuadrados

Solíamos realizar la operación aritmética de la suma de números al cuadrado. Aquí nos encontraremos con la fórmula para la suma de términos al cuadrado.

• Fórmula de suma de cuadrados
• Suma N Términos de series aritméticas
• Suma de progresión geométrica
• Suma de términos enésimos

En aritmética nos encontramos con la fórmula de la suma de n números naturales. Hay tantas fórmulas y técnicas para el cálculo de la suma de cuadrados. Usemos algunas de las fórmulas con respecto a dos números, tres números y n números. El cuadrado de un número se denota por n ² .

a ² + b ² → Suma de dos números a y b

a ² + b ² + c ² → Suma de tres números a, b y c

(a ₁ ) ² + (a ₂ ) ² + …. + (a _n ) ² →Suma de cuadrados de n números

En términos de estadísticas, esto es igual a la suma de los cuadrados de variación entre los valores individuales y la media, es decir,

Donde _ai representa valores individuales y   es la media.

Fórmulas para la suma de cuadrados

Fórmula 1: Para la suma de cuadrados de dos números cualesquiera a y b se representa por:

a ² + b ²  = (a + b) ² – 2ab

donde a y b son números reales

En cuanto a las identidades algebraicas, sabemos;

(a + b) ²  = a ²  + b ²  + 2ab

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación anterior como;

a ² +b ²  = (a + b) ²  – 2ab

Fórmula 2: para los cuadrados de tres números cualesquiera, digamos que a, b y c están representados por:

a ²  + b ² + c ²  = (a + b + c) ² – 2ab – 2bc – 2ac

donde a, b y c son números reales

De las identidades algebraicas, sabemos;

(a+b+c) ²  = a ²  + b ²  + c ²  + 2ab + 2bc + 2ac

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación anterior como;

a ²  + b ² + c ²  = (a + b + c) ² – 2ab – 2bc – 2ac

Fórmula 3: Para números naturales enésimos

Los números naturales incluyen todos los números naturales, desde el 1 hasta el infinito. Si los enésimos números naturales consecutivos son 1, 2, 3, 4, …, n, entonces la suma de ‘n’ números naturales consecutivos al cuadrado está representada por 1 ²  + 2 ²  + 3 ²  + … + n ² .

también se denota con la notación Σn ² . La fórmula para la suma de cuadrados de números naturales se da a continuación:

Σn ²  = [n(n + 1)(2n + 1)]/6

Fórmula 4: Suma de cuadrados de los primeros n números impares

La suma de los cuadrados de los primeros números naturales impares se representa por:

Σ(2n – 1) ²  = [n(2n + 1)(2n – 1)]/3

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: Evalúe 5 ²  + 5 ² con la ayuda de la fórmula y también directamente. Verifica las respuestas.

Solución: 

Como la conocemos;

a ²  + b ²  = (a + b) ² – 2ab

5 ²  + 5 ²  = (5 + 5) ²  – 2×5×5

25 + 25 = 100 – 50

        50 = 50

Ahora, directamente, obtenemos;

5 ²  + 5 ²  = 25 + 25 = 50

Ambas respuestas son iguales. Por lo tanto, verificado.

Pregunta 2: Encuentra la suma de cuadrados de los primeros 50 números naturales.

Solución: 

Aquí La fórmula: suma de números naturales al cuadrado viene dada por:

Σn ²  = [n(n + 1)(2n + 1)]/6

Aquí, n = 50

Σ50 ²  = (50/6) (50 + 1)(2 × 50 + 1)

Σ50 ²  = (25/3) (51)(101)

Σ50 ²  = (25)(51)(37)

Σ50 ²  = 47175

Pregunta 3: Evalúe 4 ²  + 4 ² + 4 ²  con la ayuda de la fórmula y también directamente. Verifica las respuestas.

Solución: 

Como la conocemos 

a ²  + b ² + c ²  = (a + b + c) ² – 2ab – 2bc – 2ac

4 ² + 4 ² + 4 ² = (4 + 4 + 4) ² – 2×4×4 – 2×4×4 – 2×4×4

16 + 16 + 16 = 144 – 32 – 32 – 32 

48 = 48

Ahora directamente obtenemos 

= 4 ² + 4 ² + 4 ²

= 16 + 16 + 16 

= 48 

Por lo tanto verificado