Propiedades de los Triángulos

Un Triángulo es la forma más simple de un Polígono. La palabra «Tri» significa tres y, por lo tanto, una figura con 3 ángulos es un triángulo, y se forma con la ayuda de segmentos de tres líneas que se intersecan entre sí, un triángulo tiene 3 vértices, 3 aristas y 3 ángulos. La forma de un triángulo también es muy útil en la vida real, como carpintería, astronomía, letreros de calles, etc.

Hay varias propiedades en los triángulos que justifican muchas aplicaciones y son útiles para los teoremas.

Propiedades de un Triángulo:

• Propiedad de la suma de los ángulos: La suma de los tres ángulos interiores es siempre 180°. Por lo tanto. En el Triángulo ΔABC que se muestra arriba, ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°, los ángulos interiores de un triángulo serán mayores que 0° y menores que 180°. 
• Un Triángulo tiene 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos.
• Propiedad del ángulo exterior: el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos y no adyacentes (también conocidos como ángulos interiores remotos). En lo que se muestra arriba ΔABC, ∠ACD= ∠ABC+ ∠BAC
• La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo siempre es mayor que el tercer lado. Por ejemplo, AB+ BC> AC o BC+ AC> AB.
• El lado opuesto al ángulo mayor es el lado mayor del triángulo. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo, el lado opuesto a 90° es el lado más largo.
• El perímetro de una figura se define por la longitud total que cubre la figura. Por lo tanto, el perímetro de un triángulo es igual a la suma de las longitudes de los tres lados del triángulo. Perímetro de ΔABC= (AB + BC+ AC)
• La diferencia entre la longitud de dos lados cualesquiera es siempre menor que el tercer lado. Por ejemplo, AB-BC< AC o BC-AC< AB
• Para triángulos similares, los ángulos de los dos triángulos deben ser congruentes entre sí y los lados respectivos deben ser proporcionales.
• Área del triángulo: 1/2 × base × altura

Clasificación de triángulos

La clasificación de los triángulos se realiza en base a las siguientes características:

1. Basado en las características de los lados.
2. Basado en las características de los ángulos.

Clasificación de Triángulos basada en Lados

Triángulo equilátero

En un triángulo equilátero, los tres lados son iguales entre sí, así como los tres ángulos interiores del triángulo equilátero son iguales.

Ya que todos los ángulos interiores son iguales y la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es 180° (una de las Propiedades del Triángulo). Podemos calcular los ángulos individuales de un triángulo equilátero.

∠A+ ∠B+ ∠C = 180°

∠A = ∠B = ∠C

Por lo tanto, 3∠A = 180°

∠A= 180/3 = 60°

Por lo tanto, ∠A = ∠B = ∠C = 60°

Propiedades del triángulo equilátero:

• Todos los lados son iguales.
• Todos los ángulos son iguales y suman 60°
• Existen tres ejes de simetría en un triángulo equilátero.
• La bisectriz angular, la altitud, la mediana y la línea perpendicular son todas iguales y aquí es AE.
• El ortocentro y el baricentro son iguales.

Triángulo isósceles

En un triángulo isósceles, dos lados son iguales y los dos ángulos opuestos a los lados también son iguales. Se puede decir que dos lados cualesquiera son siempre congruentes.

Propiedades del Triángulo Isósceles:

• Dos lados del triángulo isósceles son siempre iguales
• El tercer lado se conoce como la base del triángulo y la altura se calcula desde la base hasta el vértice opuesto.
• Los ángulos opuestos de los dos lados iguales también son iguales entre sí.

Triángulo escaleno

En un triángulo escaleno, todos los lados y todos los ángulos son desiguales. Imagina dibujar un triángulo al azar y ninguno de sus lados es igual, todos los ángulos también difieren entre sí.

Propiedades del Triángulo Escaleno:

• Ninguno de los lados son iguales entre sí.
• Los ángulos interiores del triángulo escaleno son todos diferentes.
• No existe eje de simetría.
• No se puede ver ningún punto de simetría.
• Los ángulos interiores pueden ser de naturaleza aguda, obtusa o de ángulo recto (esta es la clasificación basada en ángulos).
• El lado más pequeño es opuesto al ángulo más pequeño y el lado más grande es opuesto al ángulo más grande (propiedad general).

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo de ángulo agudo

En los triángulos de ángulos agudos, todos los ángulos son mayores de 0° y menores de 90°. Entonces, se puede decir que los 3 ángulos son de naturaleza aguda (los ángulos son menores a 90°)

Propiedades de los triángulos de ángulo agudo:

• Todos los ángulos interiores son siempre menores de 90° con diferentes longitudes de sus lados.
• La recta que va de la base al vértice opuesto siempre es perpendicular.

Triángulo de ángulo obtuso

En un Triángulo obtuso, uno de los 3 lados siempre será mayor a 90° y como la suma de los tres lados es 180°, el resto de los dos lados será menor a 90° (propiedad de la suma de los ángulos).

Propiedades del triángulo de ángulo obtuso:

• Uno de los tres ángulos es siempre mayor que 90°.
• La suma de los dos ángulos restantes siempre es menor que 90° (propiedad de la suma de ángulos).
• La circunferencia y el ortocentro del ángulo obtuso se encuentran fuera del triángulo.
• El incentro y el baricentro se encuentran dentro del triángulo.

Triángulo de ángulo recto

Cuando un ángulo de un triángulo es exactamente de 90°, entonces el triángulo se conoce como el Triángulo de ángulo recto. 

Propiedades del triángulo rectángulo:

• Un triángulo rectángulo debe tener un ángulo exactamente igual a 90 °, puede ser escaleno o isósceles, pero como un ángulo debe ser de 90 °, nunca puede ser un triángulo equilátero.
• El lado opuesto a 90° se llama hipotenusa.
• Los lados adyacentes a los 90° son base y perpendiculares.
• Teorema de Pitágoras: Es una propiedad especial de los triángulos rectángulos. Establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la base y la perpendicular, es decir, AC ² = AB ² + BC ²

Ejemplos de problemas sobre las propiedades de los triángulos

Pregunta 1: En el triángulo. ∠ACD = 120° y ∠ABC = 60°. Encuentra el tipo del Triángulo.

Solución:

En la figura anterior, podemos decir, ∠ACD = ∠ABC+ ∠BAC (Propiedad del ángulo exterior)

120° = 60° + ∠BAC

∠BAC = 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠C O ∠ACB = 60°

Como los tres ángulos miden 60°, el triángulo es un triángulo equilátero.

Pregunta 2: El Triángulo en la figura que se muestra a continuación tiene las longitudes de sus lados como se menciona. Encuentra el área y el perímetro del Triángulo.

Solución: 

En la figura que se muestra, conocemos la longitud de todos los lados y, por lo tanto,

El perímetro del triángulo = (5 + 5 + 6) = 16cms

Para encontrar el área del triángulo, necesitamos encontrar la altura del triángulo.

Aplicando Pitágoras para encontrar la altura del triángulo,

H ² = (5 ² – 3 ² ) = 16

alto = 4 cm

Por lo tanto, el área del Triángulo ABC = 1/2×4×5 = 10cm ²

Pregunta 3: Explique por qué un triángulo rectángulo nunca puede ser de naturaleza equilátera.

Responder:

Un Triángulo Rectángulo tiene uno de sus ángulos igual a 90°, y el resto de los ángulos son menores a 90° [ya que la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180]. Mientras que en un triángulo equilátero, todos los ángulos interiores son iguales y suman 60°, lo que no es posible para un triángulo rectángulo. 

Incluso si se considera que un ángulo es de 60°, dado que un ángulo ya es de 90°, el tercero se convertirá en 30°.

Por lo tanto, no es posible que un triángulo equilátero sea un triángulo rectángulo.

Pregunta 4: En el triángulo rectángulo, ∠ACB = 60°, y la longitud de la base es de 4 cm. Encuentra el área del triángulo.

Solución:

Usando la fórmula trigonométrica de Tan60°,

Tan60° = AB/BC = AB/4

AB = 4√3cm

Área del Triángulo ABC = 1/2 = 1/2×4×4√3 = 8√3cm ²

Pregunta 5: En ΔABC si ∠A+ ∠B = 55°. ∠B + ∠C = 150°, ¿Encontrar el ángulo B por separado?

Solución:

La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo dice ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°

Dado: ∠A+ ∠B= 55°

∠B+ ∠C= 150°

Sumando las 2 ecuaciones anteriores,

∠A+ ∠B+ ∠B+ ∠C= 205°

180°+ ∠B= 205°

∠B = 25°