Integrales impropias – Barcelona Geeks

Hablando geométricamente, las integrales son la forma de calcular el área o el volumen bajo las curvas. Estos métodos permiten a los matemáticos calcular el área bajo curvas arbitrariamente complejas. Este tipo de integrales se llaman integrales definidas. Las integrales definidas se basan en la idea de integrales indefinidas. Estas integrales indefinidas no son más que antiderivadas de las funciones. Las antiderivadas son el reverso de la diferenciación. Veamos estas ideas en detalle.

¿Qué son las integrales impropias?

Las integrales impropias son integrales definidas donde uno o ambos límites están en el infinito o donde el Integrando tiene una asíntota vertical en el intervalo de integración. Calcular el área hasta el infinito parece un problema intratable, pero a través de una manipulación inteligente, tales problemas pueden resolverse. Consideremos una función f(x), entonces el área bajo la curva encerrada por el eje x entre los límites x = a y x = b se denota como,

$\int^{b}_{a}f(x)dx$

Dado que ambos límites aquí son finitos, esto se llama integral propia. Una integral propia con un límite infinito se denotará como,

$\int^{\infty}_{a}f(x)dx$ o $\int^{a}_{-\infty}f(x)dx$

Considere un ejemplo para obtener una mejor comprensión.

Ejemplo: Calcule la siguiente integral definida.

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x^2}dx$

Solución:

La gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura. El objetivo es calcular el área mencionada. Observe que el área no diverge ya que la función tiende a cero asintóticamente.

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x^2}dx$

Esto se puede reescribir como,

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}\frac{1}{x^2}dx$

Ahora, esto es solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede usar.

$\lim_{n \to \infty}[-\frac{1}{x}]^{n}_{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[1 - \frac{1}{n}] \\ = 1$

A veces, las integrales tienen tanto sus límites como límites infinitos. Tales integrales se llaman integrales impropias con dos límites infinitos .

$\int^{\infty}_{-\infty}f(x)dx$ o $\int^{\infty}_{-\infty}f(x)dx$

Integral impropia divergente

En la función anterior, el límite del área calculada hasta el infinito es finito. Pero a menudo, en algunos casos, las integrales no convergen a un valor finito. Intuitivamente, esto significa que el área encerrada bajo la curva no es finita. Considere un ejemplo para este tipo de caso para obtener una mejor comprensión de tales integrales.

Ejemplo: Calcule la siguiente integral.

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x}dx$

Solución:

La gráfica de esta función se muestra a continuación.

Calculemos el área bajo esta curva usando el mismo método anterior.

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x}dx$

Reescribiendo la integral dada.

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}\frac{1}{x}dx$

Ahora, esto es nuevamente solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede usar.

$\lim_{n \to \infty}[ln(x)]^{n}_{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[ln(n) - ln(1)] \\ = \lim_{n \to \infty} ln(n) = \infty$

Dado que este límite diverge. El área bajo la curva es infinita.

Veamos algunos problemas sobre estos conceptos.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Calcule la siguiente integral definida.

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x^3}dx$

Solución:

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x^3}dx$

Esto se puede reescribir como,

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}\frac{1}{x^3}dx$

Ahora bien, esto es solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede utilizar.

$\lim_{n \to \infty}[-\frac{1}{2x^2}]^{n}_{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[\frac{1}{2} - \frac{1}{n}] \\ = \frac{1}{2}$

Pregunta 2: Calcule la siguiente integral definida.

$\int^{\infty}_{2}\frac{x + 1}{x^2}dx$

Solución:

$\int^{\infty}_{2}\frac{x + 1}{x^2}dx$

Esto se puede reescribir como,

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{2}\frac{x + 1}{x^2}dx$

Ahora, esto es solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede usar.

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{2}\frac{x + 1}{x^2}dx \\ = \lim_{n \to \infty}\int^{n}_{2}\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}dx \\ = \lim_{n \to \infty}[ln(x)]^n_2 + [\frac{-1}{x}]^n_{2} \\ = \lim_{n \to \infty}[ln(\infty) - ln(2)] + 1$

Este límite se evalúa hasta el infinito. Por lo tanto, el área bajo la curva es infinita.

Pregunta 3: Calcule la siguiente integral definida.

$\int^{\infty}_{1}\frac{x + 1}{x^3}dx$

Solución:

$\int^{\infty}_{1}\frac{x + 1}{x^3}dx$

Esto se puede reescribir como,

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}\frac{x + 1}{x^3}dx$

Ahora bien, esto es solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede utilizar.

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}\frac{x + 1}{x^3}dx \\ = \lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}dx \\ = \lim_{n \to \infty}[\frac{-1}{x}]^n_1 + [\frac{-1}{2x^2}]^n_{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[1 - \frac{1}{n}] + [\frac{1}{2} - \frac{1}{n}] \\ = 1 + \frac{1}{2} \\ = \frac{3}{2}$

Este límite se evalúa hasta el infinito. Por lo tanto, el área bajo la curva es infinita.

Pregunta 4: Calcule la siguiente integral definida.

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Solución:

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Esto se puede reescribir como,

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Ahora, esto es solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede usar.

$\lim_{n \to \infty}[\frac{\sqrt{x}}{2}]^{n}_{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[\frac{\sqrt{n}}{2} - \frac{1}{2}] \\ = \infty$

Esta área no se puede calcular. Esto es infinito.

Pregunta 5: Calcule la siguiente integral definida.

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{\sqrt{x + 3}}dx$

Solución:

$\int^{\infty}_{1}\frac{1}{\sqrt{x + 3}}dx$

Esto se puede reescribir como,

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}\frac{1}{\sqrt{x + 3}}dx$

Ahora, esto es solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede usar.

$\lim_{n \to \infty}[\frac{\sqrt{x + 3}}{2}]^{n}_{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[\frac{\sqrt{n + 3}}{2} - \frac{1}{2}] \\ = \infty$

Esta área no se puede calcular. Esto es infinito.

Pregunta 6: Determina si esta integral impropia es convergente o divergente.

$\int^{\infty}_{1}cos(x)dx$

Solución:

$\int^{\infty}_{1}cos(x)dx$

Esto se puede reescribir como,

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}cos(x)dx$

Ahora, esto es solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede usar.

$\lim_{n \to \infty}[sin(x)]^{n}_{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[sin(n)- sin(1)]$

El límite no está definido, por lo que esta integral es divergente.

Pregunta 7: Determina si esta integral impropia es convergente o divergente.

$\int^{\infty}_{1}e^{-x} dx$

Solución:

$\int^{\infty}_{1}e^{-x} dx$

Esto se puede reescribir como,

$\lim_{n \to \infty}\int^{n}_{1}e^{-x}dx$

Ahora, esto es solo una integral definida, para resolver esta segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede usar.

$\lim_{n \to \infty}[-e^{-x}]^{n}_{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[e- e^{-n}] \\ = e$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

¿Qué son las integrales impropias?

Integral impropia divergente

Problemas de muestra

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