La aritmética es una parte de las matemáticas que trabaja con diferentes tipos de números, fracciones, aplica diferentes operaciones sobre números como la suma, la multiplicación, etc. La palabra aritmética proviene de la palabra griega arithmos, que significa número. También la aritmética involucra la exponenciación, el cálculo de porcentajes, encontrar el valor de series de números, funciones logarítmicas y raíces cuadradas, etc.
Hay una serie en aritmética llamada Progresión Aritmética (AP), esta es una secuencia de números, donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Digamos que una serie es 2,4,6,8,10,12,….., en esta serie, la diferencia entre dos números consecutivos cualesquiera es 2. Si sumamos este 2 con el número anterior, obtenemos el siguiente número en la serie, de manera similar, si restamos 2 del siguiente número, obtenemos el número anterior.
En este artículo, estamos encontrando la suma de los primeros 50 números pares. Para trabajar con esta serie hay algunas fórmulas disponibles, que son,
Digamos que una serie A consta de algún elemento a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,…a n
A = {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,…a n }
- Diferencia común entre dos términos (d) = (a 1 -a 2 )
- Suma de la serie(S) = (n/2)[2a + (n – 1)d]
- Primer término = un
- 2do término = a+d
- 3er término = a+2d
- De manera similar, N-ésimo término = a+(n-1)d
Ahora tomemos una serie que tiene 5 términos, entonces la suma de la serie es la siguiente,
1er término, a 1 = a
2do término, a 2 = a+d
3er término, a 3 = a+2d
4to término, a 4 = a+3d
5to término, a 5 = a+4d
entonces, suma de esta serie, S 5 = (a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 ) = (a + a+d + a+2d + a+3d + a+4d)
También se puede escribir como,
=> S 5 = a+a+a+a+a + d+2d+3d+4d
=> S 5 = 5a+10d
=> S 5 = 5×(a + 2d) [tomar 5 como común] ——————-(1)
podemos esta ecuación como,
2×S 5 = 5 × 2 × [a + 2d] [multiplicar 2 en ambos lados]
=> 2×S 5 = 5×[2a+4d]
=> S 5 = (5/2) × [2a + (5-1)d] Aquí n = 5,
Ahora tomemos una serie que tiene 4 términos, entonces la suma de la serie es la siguiente,
1er término, a 1 = a
2do término, a 2 = a+d
3er término, a 3 = a+2d
4to término, a 4 = a+3d
entonces, suma de esta serie, S 4 = (a + a+d + a+2d + a+3d)
También se puede escribir como,
=> S 4 = a+a+a+a + d+2d+3d
=> S 4 = 4a+6d
=> S 4 = 2×(2a + 3d) [tomar 2 como común]
podemos esta ecuación como,
S 4 = (4/2) × [2a + (4-1)*d] Aquí n = 4,
Entonces, para encontrar la suma de series que tiene N términos, la fórmula se ve así
Sn = ( n /2)×[2a + (n-1)×d]
¿Cuál es la suma de los primeros 50 números pares?
Primero que nada, tenemos que encontrar la serie de números pares, encontremos que
El primer número par es 2,
el segundo numero par es 4
El tercer número par es 6 y así sucesivamente… así que el último término será 50 × 2 = 100
En segundo lugar, encuentre la diferencia común entre ellos, d = 4 – 2 = 2 o 6 – 4 = 2
Entonces, d = 2,
En tercer lugar, encuentre la suma de los primeros 50 términos pares,
Usa la fórmula para encontrar la suma de la serie, es decir S n = (n/2)×[2a + (n-1)×d]
aquí, n=50, a=2, d=2
por lo tanto, S 50 = (50/2)×[2×2 + (50-1)×2]
=> S 50 = 25×[4+ 49×2]
=> A 50 = 25×102
=> $50 = 2550
La suma de los 50 primeros numeros pares es 2550
Otro método de resolución:
Para encontrar la suma de números pares hasta N podemos usar otra fórmula, es decir, N×(N+1)
Esta fórmula solo funciona con números pares consecutivos, es decir, 2,4,6,8,10,12,14,16… así.
Digamos que una serie tiene los primeros 5 números pares, 2,4,6,8,10
entonces la suma de esta serie,
S 5 = 5×(5+1) [N =5]
S 5 = 5 × 6 = 30
Para comprobar si la suma es correcta o no, podemos sumar los números, 2+4+6+8+10 = 30, por lo que la fórmula funciona bien.
Aquí estamos encontrando la suma de los primeros 50 números pares ,
La suma, S 50 = N*(N+1)
S 50 = 50*(50+1) = 50*51
$50 = 2550
La suma de los 50 primeros numeros pares es 2550
Otro método de resolución:
Para este método, necesitamos encontrar el último término de la serie.
Para encontrar el último término usamos una fórmula,
Tn = a+( n -1)d
=> T 50 = 2+(50-1)×2 [Aquí, a=2, d=2. n=50]
=> T 50 = 2+49×2 = 2+98
=> T 50 = 100 ———–(2)
Ahora, para encontrar la suma , la fórmula es, S n = (N/2) × (a + T n ), esta fórmula es correcta para todas las series,
digamos que una serie tiene 4 términos 1,5,9,13. la suma de esta serie según esta fórmula será,
S 4 = (4/2)×(1+13) = 2 × 14 = 28
Comprueba si es correcto o no, 1+5+9+13 = 28, entonces la fórmula es correcta.
Ahora encuentra la suma de los primeros 50 números pares,
S 50 = (50/2) × (2 + 100) [Aquí, a=2, Tn=100 — de (2)]
S 50 = 25 × 102
$50 = 2550
La suma de los 50 primeros numeros pares es 2550
Preguntas similares
Pregunta 1. Encuentra la suma de los primeros 30 números pares.
Solución:
Para encontrar esta suma podemos usar cualquier método previamente definido,
Usemos el segundo método, que es N×(N+1)
S 30 = 30×(30+1)
=> A 30 = 30×31
=> S 30 = 930
la suma de los primeros 30 numeros pares es 930
Pregunta 2. Encuentra la suma de una serie cuyo primer término es 6 y la diferencia común es 4 y el número de términos en la serie también es 6.
Solución:
Para resolver este problema podemos utilizar los métodos 3 y 1.
Usando el 1er método:
Dado, d=4,a=6,N=6
poner todos los valores en esta fórmula S n = (n/2)×[2a + (n-1)×d]
S6 = (6/2)×[2× 6 +(6-1)×4] = 3×(12+20)
S6 = 3× 32
S 6 = 96
Usando el 3er método:
Dado, d=4,a=6,N=6
Encuentre el enésimo término,
Tn =a+( n -1)d
V 6 = 6 + (6-1) × 4
T 6 = 6+ 20
T 6 = 26 ——–n-ésimo término
Ahora pon todos los valores en esta fórmula S n =(N/2) × (a + T n )
S6 = (6/2) × ( 6 +26)
S6 = 3× 32
S 6 = 96
Ahora encuentre la serie, el primer término es 6 y la diferencia común es 4
así será la serie,
un 1 = 6, un 2 = 6+4 = 10, un 3 = 10+4 =14,
un 4 = 14+4 = 18, un 5 = 18+4= 22, un 6 = 22+4 = 26
la serie es 6,10,14,18, 22, 26
los sumos 6+10+14+18+22+26 = 96
Entonces la solución es correcta. y la suma de esta serie es 96
Pregunta 3. Encuentra la serie cuya suma es 147, el último término es 33 y el número de términos de la serie es 7.
Solución:
Dado, S n = 147, T n = 33, N = 7
podemos usar esta fórmula S n =(N/2) × (a + T n ) aquí para encontrar el primer término de esa serie
Poniendo todos los valores dados, obtenemos
147 = (7/2) × (un + 33)
=> 147×2 = 7×a + 7×33
=> 294 = 7a + 231
=> 7a = 294-231
=>7a = 63
=> un = 63/7
=> un = 9
Así que el primer término es 9.
Ahora encuentre la diferencia común d, para encontrar d podemos usar cualquier fórmula que contenga d
Aquí estamos usando la fórmula para encontrar el N-ésimo término, que es T n =a+(n-1)d
Poniendo todos los valores, obtenemos,
33 = 9 + (7-1)×d [Dado T n = 33, a=9, n=7]
=> 33-9 = 6×d
=>6d = 24
=>d=24/6
=> re=4
la diferencia comun es 4
Ahora encuentra la serie,
un 1 = 9, un 2 = 9+4 = 13, un 3 = 13+4 = 17, un 4 = 17+4= 21, un 5 = 21+4=25, un 6 = 25+4 = 29, 7 = 29+ 4 = 33
Entonces la serie final es 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por SoumikMondal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA