La trigonometría es básicamente el estudio de la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. Es uno de los temas más utilizados de las Matemáticas que se utiliza en la vida diaria. Implica operaciones en un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene uno de los ángulos igual a 90°. Hay algunos términos que debemos conocer antes de continuar. Estos términos son,
- Hipotenusa: es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo. En la Figura 1, el lado AC es la hipotenusa.
- Perpendicular: la perpendicular de un triángulo, correspondiente a un ángulo particularmente agudo θ, es el lado opuesto al ángulo θ. En la Figura 1, el lado AB es la perpendicular correspondiente al ángulo θ.
- Base -es el lado adyacente a un ángulo particularmente agudo θ. En la figura 1, el lado BC es la base correspondiente al ángulo θ.
Figura 1
Como se dijo anteriormente, la trigonometría representa la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Estas relaciones están representadas por proporciones estándar y se dan de la siguiente manera:
- Seno (sin) : el seno de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la hipotenusa del triángulo.
sen θ = perpendicular/hipotenusa = p/h
- Coseno (cos) : el coseno de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la base, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la hipotenusa del triángulo.
cos θ = base/hipotenusa = b/h
- Tangente (tan) : la tangente de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la base para el ángulo particular del triángulo.
tan θ = perpendicular/base = p/b
- Cotangente (cot) – es el recíproco de una tangente.
cuna θ = 1/tan θ = base/perpendicular = b/p
- Secante (sec) – es el recíproco del coseno.
sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/base = h/b
- Cosecant (cosec) :- es el recíproco del seno.
cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/perpendicular = h/p
Funciones trigonométricas de ángulos complementarios
Una de las relaciones de la trigonometría incluye el concepto de ángulos complementarios. Los ángulos complementarios son un conjunto de dos ángulos, digamos x e y, tales que al sumarlos dan como resultado 90 ° . Por tanto, podemos decir x = 90 ° – y. Existe una relación complementaria especial entre las razones trigonométricas como se indica a continuación
Entre el pecado y el cos
sin(90° – x) = cos x
cos(90° – x) = sen x
Entre bronceado y cuna
tan(90° – x) = cuna x
cuna(90° – x) = bronceado x
Entre seg y cosec
seg(90° – x) = cosec x
cosec(90° – x) = seg x
Para resolver la expresión anterior necesitaremos esta relación de complementariedad entre las razones trigonométricas.
Evaluar sen 35° sen 55° – cos 35° cos 55°
Solución:
sen 35° sen 55° – cos 35° cos 55°
= sen (90°– 55°) sen 55° – cos (90° – 55°) cos 55°
= cos 55° sen 55° – sen 55° cos 55° (por relación complementaria sen(90° – x) = cos x y cos(90° – x) = sen x)
= 0
Problemas de muestra
Pregunta 1: Si sec 36° = a, encuentre el valor de tan 54°.
Solución:
seg 36° = un
cos 36° = 1/ seg 36° (ya que seg θ = cos θ)
= 1/ un
sen 36° =√(1 – cos 2 36°) = √(1 – (1/a) 2 )
= √(1 – 1/a 2 )
cuna 36° = cos 36°/sen 36°
= (1/ a)/(√(1 – 1/a 2 ))
= 1/(un 2 – 1)
cuna 36° = cuna (90° – 54°) = tan 54° = 1/(a 2 – 1)
Pregunta 2: En un ΔABC, prueba que sen (A + B)/2 = cos C/2.
Solución:
Se sabe, A + B + C = 180°
= A + B =180° – C
∴ (A + B)/2 = (180° – C)/2 = 90° – C/2
Tomando seno en ambos lados de la ecuación,
sen (A + B)/2 = sen (90° – C/2) = cos C/2
Pregunta 3: Si cos 20° = m y cos 70° = n, encuentra el valor de m 2 + n 2 .
Solución:
cos 20° = m
coseno (90° – 70°) = m
sen 70° = m
sen 2 70° = m 2 –> (i)
cos 70° = n
cos 2 70° = n 2 –> (ii)
Sumando la ecuación (i) y (ii),
sen 2 70° + cos 2 70° = m 2 +n 2
1= metro 2 + norte 2
metro 2 + norte 2 = 1
Pregunta 4: Evalúa 3 cos 80°. coseg 10° + 2 cos 59° . cosec 31°.
Solución:
3 cos 80° × cos 10° + 2 cos 59° × cos 31°
= 3 cos (90° – 10°) × cos 10° + 2 cos (90° – 31°) × cos 31°
= 3 sen 10° × cosec 10° + 2 sen 31° × cosec 31°
= 3 × 1 + 2 × 1 (ya que cosec θ = 1/sen θ)
= 5
Pregunta 5: Si tan θ tan 40 ° = 1, encuentre el valor de θ.
Solución:
tan θ tan 40 ° = 1
bronceado θ = 1/ bronceado 40°
bronceado θ = cuna 40 °
tan θ = cuna (90° – 50°)
bronceado θ = bronceado 50°
∴θ = 50°