Forma escalonada de filas – Barcelona Geeks

Una array está en forma escalonada de filas si tiene las siguientes propiedades:

Cualquier fila que consiste completamente en ceros se encuentra en la parte inferior de la array.
Para cada fila que no contiene ceros en su totalidad, la primera entrada distinta de cero es 1 (llamada 1 inicial).
Para dos filas sucesivas (distintas de cero), el 1 inicial en la fila superior está más a la izquierda que el inicial en la fila inferior.

Para la forma escalonada de filas reducidas, el 1 principal de cada fila contiene 0 debajo y arriba de esa columna.

A continuación se muestra un ejemplo de forma escalonada por filas:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

y forma escalonada por filas reducida:

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Cualquier array se puede transformar a una forma escalonada de fila reducida, utilizando una técnica llamada eliminación gaussiana. Esto es particularmente útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Eliminación gaussiana

La eliminación gaussiana es una forma de convertir una array en la forma escalonada de fila reducida. También se puede utilizar como una forma de encontrar una solución a una solución al sistema de ecuaciones lineales. La idea detrás de esto es que realizamos algunas operaciones matemáticas en la fila y continuamos hasta que solo quede una variable.

A continuación se muestran algunas operaciones que podemos realizar:

Intercambiar dos filas
Agregue dos filas juntas.
Multiplique una fila por una constante distinta de cero (es decir, 1/3, -1/5, 2).

Dada la siguiente ecuación lineal:

$x - 2y + z = -1 \\ 2x + y - 3z = 8 \\ 4x - 7y + z = -2$

y la array aumentada de arriba

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 \\ 2 & 1 & 3 & : & 8\\ 4 & -7 & 1 & : & -2 \end{bmatrix}$

Ahora, necesitamos convertir esto a la forma escalonada por filas. Para convertir esto en forma escalonada por filas, necesitamos realizar una eliminación gaussiana.

Primero, necesitamos restar 2*r ₁ de r ₂ y 4*r ₁ de r ₃ para obtener el 0 en el primer lugar de r ₂ yr ₃ .

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 \\ 0 & 5 & -5 & : & 10\\ 0 & 1 & -3 & : & 2 \end{bmatrix}$

A continuación, intercambiaremos las filas, r2 y r3 y luego restaremos 5*r ₂ de r ₃ para obtener el segundo 0 en la tercera fila.

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 \\ 0 & 1 & -3 & : & 2\\ 0 & 0 & 10 & : & 0 \end{bmatrix}$

Ahora, podemos deducir el valor z de r _3, es decir, 10 z =0 ⇾ z=0. Con la ayuda del valor de z = 0, podemos ponerlo en r2, y = 2. De manera similar, podemos poner el valor de y y z en r ₁ y obtenemos un valor de x = 3

Rango de array

El rango de la array es el número de filas distintas de cero en la forma escalonada de filas. Para encontrar el rango, necesitamos realizar los siguientes pasos:

Encuentre la forma escalonada por filas de la array dada
Cuente el número de filas distintas de cero.

Tomemos una array de ejemplo:

$\begin{bmatrix} 4 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

Ahora, reducimos la array anterior a la forma escalonada por filas

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Aquí, solo una fila contiene elementos distintos de cero. Por lo tanto, el rango de la array es 2.

Implementación

Para convertir una array en forma escalonada de filas reducida, usamos el paquete Sympy en python, primero, necesitamos instalarlo.

# install sympy
! pip install sympy
  
# import sympy
import sympy
  
# find the reduced row echelon form
sympy.Matrix([[4,0,1],[2,0,2],[3,0,3]]).rref()
  
# find the rank of matrix
print("Rank of matrix :",sympy.Matrix([[4,0,1],[2,0,2],[3,0,3]]).rank())

Producción:

(Matrix([
 [1, 0, 0],
 [0, 0, 1],
 [0, 0, 0]]), (0, 2))
 
 Rank of matrix : 2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por pawangfg y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Eliminación gaussiana

Rango de array

Implementación

Deja una respuesta Cancelar la respuesta