Vectores ortogonales y ortonormales en álgebra lineal

Vectores ortogonales: dos vectores son ortogonales entre sí cuando su producto escalar es 0. ¿Cómo definimos el producto escalar? El producto punto (producto escalar) de dos vectores n-dimensionales A y B viene dado por esta expresión. $A . B=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$ Por lo tanto, los vectores A y B son ortogonales entre sí si y solo si $A.B=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=A^{T} B=0$ . Nota: en forma compacta, la expresión anterior se puede escribir como (A^T)B . Ejemplo: considere los vectores v1 y v2 en el espacio 3D. $v_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right]$ Tomando el producto escalar de los vectores. $v_{1}, v_{2}=V_{1}^{T} V_{2}=[1-24]\left[\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right]=0$ Por lo tanto, los vectores son ortogonales entre sí. Código: programa en Python para ilustrar vectores ortogonales.

Python3

# A python program to illustrate orthogonal vector
  
# Import numpy module
import numpy
  
# Taking two vectors
v1 = [[1, -2, 4]]
v2 = [[2, 5, 2]]
  
# Transpose of v1
transposeOfV1 = numpy.transpose(v1)
  
# Matrix multiplication of both vectors
result = numpy.dot(v2, transposeOfV1)
print("Result  = ", result)
  
# This code is contributed by Amiya Rout

Producción:

Result = [[0]]

Vector unitario: Consideremos un vector A. El vector unitario del vector A se puede definir como $\hat{a}=\frac{A}{|A|}$ Entendamos esto tomando un ejemplo. Considere un vector A en el espacio 2D. $A=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right]$ La magnitud de A viene dada por $\text { Magnitude of } \mathrm{A}:|A|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ Entonces, el vector unitario de A se puede calcular como $\hat{a}=\frac{A}{|A|}=\left[\begin{array}{l} 3 / 5 \\ 4 / 5 \end{array}\right]$ Propiedades del vector unitario:

Los vectores unitarios se utilizan para definir direcciones en un sistema de coordenadas.
Cualquier vector se puede escribir como producto de un vector unitario y una magnitud escalar.

Vectores ortonormales: Son los vectores con magnitud unitaria. Ahora, tome los mismos 2 vectores que son ortogonales entre sí y sabrá que cuando tomo un producto escalar entre estos 2 vectores irá a 0. Entonces, si también imponemos la condición de que queremos que cada uno de estos vectores tenga unidad magnitud entonces lo que posiblemente podríamos hacer es tomar este vector y luego dividir este vector por la magnitud de este vector como vemos en el vector unitario. Ahora podemos escribir v1 y v2 como $v_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right] / \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+4^{2}} \quad v_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right] / \sqrt{2^{2}+5^{2}+2^{2}}$ Entonces, lo que hacemos es tomar los vectores del ejemplo anterior y convertirlos en vectores unitarios dividiéndolos por sus magnitudes. Entonces, estos vectores seguirán siendo ortogonales entre sí y ahora individualmente también tienen magnitud unitaria. Dichos vectores se conocen como vectores ortonormales. Nota:Todos los vectores ortonormales son ortogonales por la propia definición.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por AmiyaRanjanRout y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Python3

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