Dada una array ordenada arr[] de tamaño n y un elemento x para buscar en ella. Devuelve el índice de x si está presente en la array; de lo contrario, devuelve -1.
Ejemplos:
Input: arr[] = {2, 3, 4, 10, 40}, x = 10
Output: 3
Element x is present at index 3.
Input: arr[] = {2, 3, 4, 10, 40}, x = 11
Output: -1
Element x is not present.
La búsqueda de Fibonacci es una técnica basada en la comparación que utiliza números de Fibonacci para buscar un elemento en una array ordenada.
Similitudes con la búsqueda binaria:
- Funciona para arrays ordenadas
- Un algoritmo divide y vencerás.
- Tiene complejidad de tiempo Log n.
Diferencias con la búsqueda binaria :
- La búsqueda de Fibonacci divide la array dada en partes desiguales
- La búsqueda binaria utiliza un operador de división para dividir el rango. La búsqueda de Fibonacci no usa /, pero usa + y -. El operador de división puede ser costoso en algunas CPU.
- La búsqueda de Fibonacci examina elementos relativamente más cercanos en pasos posteriores. Entonces, cuando la array de entrada es grande y no cabe en la memoria caché de la CPU o incluso en la RAM, la búsqueda de Fibonacci puede ser útil.
Antecedentes:
los números de Fibonacci se definen recursivamente como F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0) = 0, F(1) = 1. Los primeros números de Fibonacci son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Observaciones:
La siguiente observación se usa para la eliminación del rango y, por lo tanto, para la complejidad O(log(n)).
F(n - 2) ≈ (1/3)*F(n) and F(n - 1) ≈ (2/3)*F(n).
Algoritmo:
Sea x el elemento buscado.
La idea es encontrar primero el número de Fibonacci más pequeño que sea mayor o igual a la longitud de la array dada. Sea el número de Fibonacci encontrado fib (m’ésimo número de Fibonacci). Usamos (m-2) el número de Fibonacci como índice (si es un índice válido). Sea i el número de Fibonacci (m-2), comparamos arr[i] con x, si x es igual, devolvemos i. De lo contrario, si x es mayor, recurrimos para el subarreglo después de i, de lo contrario recurrimos para el subarreglo antes de i.
A continuación se muestra el algoritmo completo
. Sea arr[0..n-1] la array de entrada y el elemento a buscar sea x.
- Encuentra el número de Fibonacci más pequeño mayor o igual a n. Sea este número fibM [m’ésimo número de Fibonacci]. Sean los dos números de Fibonacci que lo preceden fibMm1 [(m-1)’th Fibonacci Number] y fibMm2 [(m-2)’th Fibonacci Number].
- Si bien la array tiene elementos para ser inspeccionados:
- Compare x con el último elemento del rango cubierto por fibMm2
- Si x coincide, devuelve el índice
- De lo contrario, si x es menor que el elemento, mueva las tres variables de Fibonacci dos Fibonacci hacia abajo, lo que indica la eliminación de aproximadamente los dos tercios posteriores de la array restante.
- De lo contrario , x es mayor que el elemento, mueva las tres variables de Fibonacci un Fibonacci hacia abajo. Restablecer el desplazamiento al índice. Juntos, estos indican la eliminación de aproximadamente un tercio frontal de la array restante.
- Dado que puede quedar un solo elemento para la comparación, verifique si fibMm1 es 1. En caso afirmativo, compare x con ese elemento restante. Si coincide, devuelve índice.
C++
// C++ program of th above approach
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Utility function to find minimum of two elements
int min(int x, int y) { return (x <= y) ? x : y; }
/* Returns index of x if present, else returns -1 */
int fibMonaccianSearch(int arr[], int x, int n)
{
/* Initialize fibonacci numbers */
int fibMMm2 = 0; // (m-2)'th Fibonacci No.
int fibMMm1 = 1; // (m-1)'th Fibonacci No.
int fibM = fibMMm2 + fibMMm1; // m'th Fibonacci
/* fibM is going to store the smallest Fibonacci
Number greater than or equal to n */
while (fibM < n) {
fibMMm2 = fibMMm1;
fibMMm1 = fibM;
fibM = fibMMm2 + fibMMm1;
}
// Marks the eliminated range from front
int offset = -1;
/* while there are elements to be inspected. Note that
we compare arr[fibMm2] with x. When fibM becomes 1,
fibMm2 becomes 0 */
while (fibM > 1) {
// Check if fibMm2 is a valid location
int i = min(offset + fibMMm2, n - 1);
/* If x is greater than the value at index fibMm2,
cut the subarray array from offset to i */
if (arr[i] < x) {
fibM = fibMMm1;
fibMMm1 = fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
offset = i;
}
/* If x is greater than the value at index fibMm2,
cut the subarray after i+1 */
else if (arr[i] > x) {
fibM = fibMMm2;
fibMMm1 = fibMMm1 - fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
}
/* element found. return index */
else
return i;
}
/* comparing the last element with x */
if (fibMMm1 && arr[offset + 1] == x)
return offset + 1;
/*element not found. return -1 */
return -1;
}
// Driver Code
int main()
{
int arr[]
= { 10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82, 85, 90, 100,235};
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
int x = 235;
int ind = fibMonaccianSearch(arr, x, n);
if(ind>=0)
cout << "Found at index: " << ind;
else
cout << x << " isn't present in the array";
return 0;
}
// This code is contributed by code_hunt.
C
// C program for Fibonacci Search
#include <stdio.h>
// Utility function to find minimum of two elements
int min(int x, int y) { return (x <= y) ? x : y; }
/* Returns index of x if present, else returns -1 */
int fibMonaccianSearch(int arr[], int x, int n)
{
/* Initialize fibonacci numbers */
int fibMMm2 = 0; // (m-2)'th Fibonacci No.
int fibMMm1 = 1; // (m-1)'th Fibonacci No.
int fibM = fibMMm2 + fibMMm1; // m'th Fibonacci
/* fibM is going to store the smallest Fibonacci
Number greater than or equal to n */
while (fibM < n) {
fibMMm2 = fibMMm1;
fibMMm1 = fibM;
fibM = fibMMm2 + fibMMm1;
}
// Marks the eliminated range from front
int offset = -1;
/* while there are elements to be inspected. Note that
we compare arr[fibMm2] with x. When fibM becomes 1,
fibMm2 becomes 0 */
while (fibM > 1) {
// Check if fibMm2 is a valid location
int i = min(offset + fibMMm2, n - 1);
/* If x is greater than the value at index fibMm2,
cut the subarray array from offset to i */
if (arr[i] < x) {
fibM = fibMMm1;
fibMMm1 = fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
offset = i;
}
/* If x is greater than the value at index fibMm2,
cut the subarray after i+1 */
else if (arr[i] > x) {
fibM = fibMMm2;
fibMMm1 = fibMMm1 - fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
}
/* element found. return index */
else
return i;
}
/* comparing the last element with x */
if (fibMMm1 && arr[offset + 1] == x)
return offset + 1;
/*element not found. return -1 */
return -1;
}
/* driver function */
int main(void)
{
int arr[]
= { 10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82, 85, 90, 100,235};
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
int x = 235;
int ind = fibMonaccianSearch(arr, x, n);
if(ind>=0)
printf("Found at index: %d",ind);
else
printf("%d isn't present in the array",x);
return 0;
}
Java
// Java program for Fibonacci Search
import java.util.*;
class Fibonacci {
// Utility function to find minimum
// of two elements
public static int min(int x, int y)
{
return (x <= y) ? x : y;
}
/* Returns index of x if present, else returns -1 */
public static int fibMonaccianSearch(int arr[], int x,
int n)
{
/* Initialize fibonacci numbers */
int fibMMm2 = 0; // (m-2)'th Fibonacci No.
int fibMMm1 = 1; // (m-1)'th Fibonacci No.
int fibM = fibMMm2 + fibMMm1; // m'th Fibonacci
/* fibM is going to store the smallest
Fibonacci Number greater than or equal to n */
while (fibM < n) {
fibMMm2 = fibMMm1;
fibMMm1 = fibM;
fibM = fibMMm2 + fibMMm1;
}
// Marks the eliminated range from front
int offset = -1;
/* while there are elements to be inspected.
Note that we compare arr[fibMm2] with x.
When fibM becomes 1, fibMm2 becomes 0 */
while (fibM > 1) {
// Check if fibMm2 is a valid location
int i = min(offset + fibMMm2, n - 1);
/* If x is greater than the value at
index fibMm2, cut the subarray array
from offset to i */
if (arr[i] < x) {
fibM = fibMMm1;
fibMMm1 = fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
offset = i;
}
/* If x is less than the value at index
fibMm2, cut the subarray after i+1 */
else if (arr[i] > x) {
fibM = fibMMm2;
fibMMm1 = fibMMm1 - fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
}
/* element found. return index */
else
return i;
}
/* comparing the last element with x */
if (fibMMm1 == 1 && arr[n-1] == x)
return n-1;
/*element not found. return -1 */
return -1;
}
// driver code
public static void main(String[] args)
{
int arr[] = { 10, 22, 35, 40, 45, 50,
80, 82, 85, 90, 100,235};
int n = 12;
int x = 235;
int ind = fibMonaccianSearch(arr, x, n);
if(ind>=0)
System.out.print("Found at index: "
+ind);
else
System.out.print(x+" isn't present in the array");
}
}
// This code is contributed by rishabh_jain
Python3
# Python3 program for Fibonacci search.
from bisect import bisect_left
# Returns index of x if present, else
# returns -1
def fibMonaccianSearch(arr, x, n):
# Initialize fibonacci numbers
fibMMm2 = 0 # (m-2)'th Fibonacci No.
fibMMm1 = 1 # (m-1)'th Fibonacci No.
fibM = fibMMm2 + fibMMm1 # m'th Fibonacci
# fibM is going to store the smallest
# Fibonacci Number greater than or equal to n
while (fibM < n):
fibMMm2 = fibMMm1
fibMMm1 = fibM
fibM = fibMMm2 + fibMMm1
# Marks the eliminated range from front
offset = -1
# while there are elements to be inspected.
# Note that we compare arr[fibMm2] with x.
# When fibM becomes 1, fibMm2 becomes 0
while (fibM > 1):
# Check if fibMm2 is a valid location
i = min(offset+fibMMm2, n-1)
# If x is greater than the value at
# index fibMm2, cut the subarray array
# from offset to i
if (arr[i] < x):
fibM = fibMMm1
fibMMm1 = fibMMm2
fibMMm2 = fibM - fibMMm1
offset = i
# If x is less than the value at
# index fibMm2, cut the subarray
# after i+1
elif (arr[i] > x):
fibM = fibMMm2
fibMMm1 = fibMMm1 - fibMMm2
fibMMm2 = fibM - fibMMm1
# element found. return index
else:
return i
# comparing the last element with x */
if(fibMMm1 and arr[n-1] == x):
return n-1
# element not found. return -1
return -1
# Driver Code
arr = [10, 22, 35, 40, 45, 50,
80, 82, 85, 90, 100,235]
n = len(arr)
x = 235
ind = fibMonaccianSearch(arr, x, n)
if ind>=0:
print("Found at index:",ind)
else:
print(x,"isn't present in the array");
# This code is contributed by rishabh_jain
C#
// C# program for Fibonacci Search
using System;
class GFG {
// Utility function to find minimum
// of two elements
public static int min(int x, int y)
{
return (x <= y) ? x : y;
}
/* Returns index of x if present, else returns -1 */
public static int fibMonaccianSearch(int[] arr, int x,
int n)
{
/* Initialize fibonacci numbers */
int fibMMm2 = 0; // (m-2)'th Fibonacci No.
int fibMMm1 = 1; // (m-1)'th Fibonacci No.
int fibM = fibMMm2 + fibMMm1; // m'th Fibonacci
/* fibM is going to store the smallest
Fibonacci Number greater than or equal to n */
while (fibM < n) {
fibMMm2 = fibMMm1;
fibMMm1 = fibM;
fibM = fibMMm2 + fibMMm1;
}
// Marks the eliminated range from front
int offset = -1;
/* while there are elements to be inspected.
Note that we compare arr[fibMm2] with x.
When fibM becomes 1, fibMm2 becomes 0 */
while (fibM > 1) {
// Check if fibMm2 is a valid location
int i = min(offset + fibMMm2, n - 1);
/* If x is greater than the value at
index fibMm2, cut the subarray array
from offset to i */
if (arr[i] < x) {
fibM = fibMMm1;
fibMMm1 = fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
offset = i;
}
/* If x is less than the value at index
fibMm2, cut the subarray after i+1 */
else if (arr[i] > x) {
fibM = fibMMm2;
fibMMm1 = fibMMm1 - fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
}
/* element found. return index */
else
return i;
}
/* comparing the last element with x */
if (fibMMm1 == 1 && arr[n-1] == x)
return n-1;
/*element not found. return -1 */
return -1;
}
// driver code
public static void Main()
{
int[] arr = { 10, 22, 35, 40, 45, 50,
80, 82, 85, 90, 100,235 };
int n = 12;
int x = 235;
int ind = fibMonaccianSearch(arr, x, n);
if(ind>=0)
Console.Write("Found at index: "+ind);
else
Console.Write(x+" isn't present in the array");
}
}
// This code is contributed by nitin mittal.
PHP
<?php
// PHP program for Fibonacci Search
/* Returns index of x if present, else returns -1 */
function fibMonaccianSearch($arr, $x, $n)
{
/* Initialize fibonacci numbers */
$fibMMm2 = 0; // (m-2)'th Fibonacci No.
$fibMMm1 = 1; // (m-1)'th Fibonacci No.
$fibM = $fibMMm2 + $fibMMm1; // m'th Fibonacci
/* fibM is going to store the smallest Fibonacci
Number greater than or equal to n */
while ($fibM < $n)
{
$fibMMm2 = $fibMMm1;
$fibMMm1 = $fibM;
$fibM = $fibMMm2 + $fibMMm1;
}
// Marks the eliminated range from front
$offset = -1;
/* while there are elements to be inspected. Note that
we compare arr[fibMm2] with x. When fibM becomes 1,
fibMm2 becomes 0 */
while ($fibM > 1)
{
// Check if fibMm2 is a valid location
$i = min($offset+$fibMMm2, $n-1);
/* If x is greater than the value at index fibMm2,
cut the subarray array from offset to i */
if ($arr[$i] < $x)
{
$fibM = $fibMMm1;
$fibMMm1 = $fibMMm2;
$fibMMm2 = $fibM - $fibMMm1;
$offset = $i;
}
/* If x is less than the value at index fibMm2,
cut the subarray after i+1 */
else if ($arr[$i] > $x)
{
$fibM = $fibMMm2;
$fibMMm1 = $fibMMm1 - $fibMMm2;
$fibMMm2 = $fibM - $fibMMm1;
}
/* element found. return index */
else return $i;
}
/* comparing the last element with x */
if($fibMMm1 && $arr[$n-1] == $x)return $n-1;
/*element not found. return -1 */
return -1;
}
/* driver code */
$arr = array(10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82,85, 90, 100,235);
$n = count($arr);
$x = 235;
$ind = fibMonaccianSearch($arr, $x, $n);
if($ind>=0)
printf("Found at index: ".$ind);
else
printf($x." isn't present in the array");
// This code is contributed by mits
?>
Javascript
<script>
// Javascript program for Fibonacci Search
/* Returns index of x if present, else returns -1 */
function fibMonaccianSearch(arr, x, n)
{
/* Initialize fibonacci numbers */
let fibMMm2 = 0; // (m-2)'th Fibonacci No.
let fibMMm1 = 1; // (m-1)'th Fibonacci No.
let fibM = fibMMm2 + fibMMm1; // m'th Fibonacci
/* fibM is going to store the smallest Fibonacci
Number greater than or equal to n */
while (fibM < n)
{
fibMMm2 = fibMMm1;
fibMMm1 = fibM;
fibM = fibMMm2 + fibMMm1;
}
// Marks the eliminated range from front
let offset = -1;
/* while there are elements to be inspected. Note that
we compare arr[fibMm2] with x. When fibM becomes 1,
fibMm2 becomes 0 */
while (fibM > 1)
{
// Check if fibMm2 is a valid location
let i = Math.min(offset + fibMMm2, n-1);
/* If x is greater than the value at index fibMm2,
cut the subarray array from offset to i */
if (arr[i] < x)
{
fibM = fibMMm1;
fibMMm1 = fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
offset = i;
}
/* If x is less than the value at index fibMm2,
cut the subarray after i+1 */
else if (arr[i] > x)
{
fibM = fibMMm2;
fibMMm1 = fibMMm1 - fibMMm2;
fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
}
/* element found. return index */
else return i;
}
/* comparing the last element with x */
if(fibMMm1 && arr[n-1] == x){
return n-1
}
/*element not found. return -1 */
return -1;
}
/* driver code */
let arr = [10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82,85, 90, 100,235];
let n = arr.length;
let x = 235;
let ind = fibMonaccianSearch(arr, x, n);
if(ind>=0){
document.write("Found at index: " + ind);
}else{
document.write(x + " isn't present in the array");
}
// This code is contributed by _saurabh_jaiswal
</script>
Producción
Found at index: 11
Ilustración:
Entendamos el algoritmo con el siguiente ejemplo:
Suposición de ilustración: indexación basada en 1. El elemento de destino x es 85. Longitud de la array n = 11. El
número de Fibonacci más pequeño mayor o igual que 11 es 13. Según nuestra ilustración, fibMm2 = 5, fibMm1 = 8 y fibM = 13.
Otro detalle de implementación es la variable de compensación (inicializado a cero). Marca la gama que ha sido eliminada, empezando por la parte delantera. Lo actualizaremos de vez en cuando.
Ahora que el valor de compensación es un índice y todos los índices que lo incluyen y debajo de él han sido eliminados, solo tiene sentido agregarle algo. Dado que fibMm2 marca aproximadamente un tercio de nuestra array, así como los índices que marca seguramente serán válidos, podemos agregar fibMm2 para compensar y verificar el elemento en el índice i = min (compensación + fibMm2, n).
Visualización:
Análisis de Complejidad de Tiempo:
El peor de los casos ocurrirá cuando tengamos nuestro objetivo en la fracción más grande (2/3) de la array, mientras procedemos a encontrarlo. En otras palabras, estamos eliminando la fracción más pequeña (1/3) de la array cada vez. Llamamos una vez por n, luego por (2/3) n, luego por (4/9) n, y de ahora en adelante.
Considere eso:
Referencias:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_search_technique
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Este artículo es una contribución de Yash Varyani . Escriba comentarios si encuentra algo incorrecto o si desea compartir más información sobre el tema tratado anteriormente.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA