Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 6 Determinantes – Ejercicio 6.5

Pregunta 1. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneas:

x + y – 2z = 0

2x + y – 3z =0

5x + 4y – 9z = 0

Solución:

Dado:

x + y – 2z = 0

2x + y – 3z =0

5x + 4y – 9z = 0

Este sistema de ecuaciones se puede expresar en forma de array AX = B

Ahora encuentra el determinante,

$D=\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&1&-3\\5&4&-9\end{vmatrix}\\ |A|=1\begin{vmatrix}1&-3\\4&-9\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}2&-3\\5&-9\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}2&1\\5&4\end{vmatrix}$

= 1(1 × (-9) – 4 × (-3)) – 1(2 × (-9) – 5 × (-3)) – 2(4 × 2 – 5 × 1)

= 1(-9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2(8 – 5)

= 1 × 3 – 1 × (-3) – 2 × 3

= 3 + 3 – 6

= 0

Entonces, D = 0, eso significa que este sistema de ecuaciones tiene una solución infinita.

Ahora,

Sea z = k

⇒ x + y = 2k

Y 2x + y = 3k

Ahora usando la regla de Cramer

x = $\frac{D_1}{D}$

x = $\frac{\begin{vmatrix}2k&1\\3k&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}}$

x = $\frac{-k}{-1}$

x = k

Similarmente,

y = $\frac{D_2}{D}$

y = $\frac{\begin{vmatrix}1&2k\\2&3k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}}$

y = $\frac{-k}{-1}$

y = k

Por lo tanto,

x = y = z = k.

Pregunta 2. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneas:

2x + 3y + 4z = 0

x + y + z = 0

2x + 5y – 2z = 0

Solución:

2x + 3y + 4z = 0

x + y + z = 0

2x + 5y – 2z = 0

Este sistema de ecuaciones se puede expresar en forma de array AX = B

Encuentra el determinante

$D = \begin{vmatrix}2&3&4\\1&1&1\\2&5&-2\end{vmatrix}\\ |A|=2\begin{vmatrix}1&1\\5&-2\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}1&1\\2&-2\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}1&1\\2&5\end{vmatrix}$

= 2(1 × (-2) – 1 × 5) – 3(1 × (-2) – 2 × 1) + 4(1 × 5 – 2 × 1)

= 2(-2 – 5) – 3(-2 – 2) + 4(5 – 2)

= 2 × (-7) – 3 × (-4) + 4 × 3

= -14 + 12 + 12

= -10

Por lo tanto, D ≠ 0, por lo que el sistema de ecuaciones tiene solución trivial.

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones solo tiene solución cuando x = y = z = 0.

Pregunta 3. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneas:

3x + y + z = 0

x – 4y + 3z = 0

2x +5y – 2z = 0

Solución:

Dado:

3x + y + z = 0

x – 4y + 3z = 0

2x +5y – 2z = 0

Este sistema de ecuaciones se puede expresar en forma de array AX = B

Encuentra el determinante

$D =\begin{vmatrix}3&1&1\\1&-4&3\\2&5&-2\end{vmatrix}$

= 3(8 – 15) – 1(-2 – 6) + 1(13)

= -21 + 8 + 13

= 0

Entonces, el sistema tiene infinitas soluciones:

Sea z = k,

Asi que,

3x + y = -k

x – 4y = -3k

Ahora,

x = $\frac{D_1}{D}=\frac{\begin{vmatrix}-k&1\\-3k&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\1&-4\end{vmatrix}}=\frac{7k}{-13}$

y = $\frac{D_2}{D}=\frac{\begin{vmatrix}3&-k\\1&-3k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\1&-4\end{vmatrix}}=\frac{-8k}{-13}$

x = $\frac{-7k}{13}$

y = $\frac{8k}{13}$

z = k

y sus valores satisfacen la ecuación 3

Por lo tanto, x = -7k, y = 8k, z = 13k

Pregunta 4. Encuentra los valores reales de λ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones no triviales

2λx – 2y + 3z = 0

x + λy + 2z = 0

2x + λz = 0

Solución:

Encontrar el determinante

$D=\begin{vmatrix}2λ &-2&3\\1&λ &2\\2&0&λ \end{vmatrix}$

= 3λ ³ + 2λ – 8 – 6λ

= 2λ ³ – 4λ – 8

Que se satisface con λ = 2 {para soluciones no triviales λ =2}

Ahora sea z = k

4x – 2y = -3k

x + 2y = -3k

x = $\frac{D_1}{D}=\frac{\begin{vmatrix}-3k&-2\\-2k&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}4&-2\\1&2\end{vmatrix}}=\frac{-10k}{10}=-k$

y = $\frac{D_2}{D}=\frac{\begin{vmatrix}4&-3k\\1&-2k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}4&-2\\1&2\end{vmatrix}}=\frac{-5k}{10}=\frac{-k}{2}$

Por lo tanto, la solución es x = -k, y = $\frac{-k}{2}$ , z = k

Pregunta 5. Si a, b, c son números reales distintos de cero y si el sistema de ecuaciones

(a – 1)x = y + z

(b – 1) y = z + x

(c – 1)z = x + y

tiene una solución no trivial, luego demuestre que ab + bc + ca = abc

Solución:

Encontrar el determinante

$D=\begin{vmatrix}(a-1)&-1&-1\\-1&(b-1)&-1\\-1&-1&(c-1)\end{vmatrix}$

Ahora para una solución no trivial, D = 0

0 = (a – 1)[(b – 1)(c – 1) – 1]+1[-c + 1 – 1] + [-c + 1 – 1] – [ 1 + b – 1]

0 = (a – 1)[bc – b – c + 1 – 1] – c – b

0 = abc – ab -ac + b + c – c – b

ab + bc + ac = abc

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por sudhasinghsudha90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneas:

x + y – 2z = 0

2x + y – 3z =0

5x + 4y – 9z = 0

Pregunta 2. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneas:

2x + 3y + 4z = 0

x + y + z = 0

2x + 5y – 2z = 0

Pregunta 3. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneas:

3x + y + z = 0

x – 4y + 3z = 0

2x +5y – 2z = 0

Pregunta 4. Encuentra los valores reales de λ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones no triviales

2λx – 2y + 3z = 0

x + λy + 2z = 0

2x + λz = 0

Pregunta 5. Si a, b, c son números reales distintos de cero y si el sistema de ecuaciones

(a – 1)x = y + z

(b – 1) y = z + x

(c – 1)z = x + y

tiene una solución no trivial, luego demuestre que ab + bc + ca = abc

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