Pregunta 1. Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 4x – 3y = 0 y 2x – 5y + 3 = 0 y paralela a 4x + 5 y + 6 = 0.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
4x – 3y = 0 ………….. (1)
2x – 5y + 3 = 0 …….. (2)
Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el
se dan los puntos de intersección de las ecuaciones (1) y (2),
4x − 3y + λ (2x − 5y + 3) = 0 ……………………… (3)
(4 + 2λ)x + (− 3 − 5λ)y + 3λ = 0……………….. (4)
y = (4 + 2λ / 3 + 5λ)x + 3λ/(3 + 5λ)
La línea es paralela a 4x + 5y + 6 = 0 o, y = -4x/5 – 6/5
4 + 2λ / 3 + 5λ = -4/5
λ = -16/15
Ahora pon el valor de λ en la ecuación (4), obtenemos
(4 – (32/15))x – (3 – (80/15))y – 48/15 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la línea es 28x + 35y – 48 = 0
Pregunta 2. Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por el punto de intersección de x + 2y + 3 = 0 y 3x + 4y + 7 = 0 y es perpendicular a la línea recta x – y + 9 = 0.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
x + 2y + 3 = 0 ….. (1)
3x + 4y + 7 = 0…. (2)
Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el
se dan los puntos de intersección de las ecuaciones (1) y (2),
Entonces, x + 2y + 3 + λ(3x + 4y + 7) = 0 ………….. (3)
(1 + 3λ)x + (2 + 4λ)y + 3 + 7λ = 0 …………. (4)
y = – ((1 + 3λ)/(2 – 4λ))x – ((3 + 7λ)/(2 + 4λ))
Entonces, la pendiente de la recta es -(1 + 3λ/2 + 4λ)
Se da que la recta cuya pendiente es -(1 + 3λ/2 + 4λ)
es perpendicular a la recta x – y + 9 = 0
Entonces, -(1 + 3λ/2 + 4λ) × 1 = 1
l = 1
Ahora pon el valor de λ en la ecuación (3), obtenemos
x + 2y + 3 + 1(3x + 4y + 7) = 0
x + y + 2 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la línea es x + y + 2 = 0
Pregunta 3. Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el punto de intersección de 2x – 7y + 11 = 0 y x + 3y – 8 = 0 y es paralela a (i) el eje x (ii) el eje y.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
2x – 7y + 11 = 0 ….. (1)
x + 3y – 8 = 0 ….. (2)
Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el
se dan los puntos de intersección de las ecuaciones (1) y (2),
2x − 7y + 11 + λ(x + 3y − 8) = 0………. (3)
(2 + λ)x + (− 7 + 3λ)y + 11 − 8λ = 0 ………. (4)
(i) eje x
2 + λ = 0
λ = -2
Ahora, ponemos el valor de λ en la ecuación (4), obtenemos
0 + (− 7 − 6) y + 11 + 16 = 0
13 años − 27 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la línea requerida es 13y − 27 = 0
(2) eje y
7 + 3λ = 0
λ = 7/3
Ahora, ponemos el valor de λ en la ecuación (4), obtenemos
(2 + 7/3)x + 0 + 11 – 8(7/3) = 0
13x – 23 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la línea requerida es 13x – 23 = 0
Pregunta 4. Encuentra la ecuación de la línea recta que pasa por el punto de intersección de 2x + 3y + 1 = 0 y 3x – 5y – 5 = 0 e igualmente inclinada a los ejes.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
2x + 3y + 1 = 0 ….. (1)
3x – 5y – 5 = 0 ….. (2)
Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el
se dan los puntos de intersección de las ecuaciones (1) y (2),
2x + 3y + 1 + λ(3x − 5y − 5) = 0 …………….. (3)
(2 + 3λ)x + (3 − 5λ)y + 1 − 5λ = 0 …………… (4)
y = – [(2 + 3λ) / (3 – 5λ)] – [(1 – 5λ) / (3 – 5λ)]
Se da que la recta está igualmente inclinada respecto a los ejes.
Entonces, la pendiente de la línea es 1 o − 1.
Por eso,
– [(2 + 3λ) / (3 – 5λ)] = 1 y – [(2 + 3λ) / (3 – 5λ)] = -1
-2 – 3λ = 3 – 5λ y 2 + 3λ = 3 – 5λ
λ = 5/2 y 1/8
Ahora, ponemos el valor de λ en la ecuación (4), obtenemos
= (2 + 15/2)x + (3 – 25/2)y + 1 – 25/2 = 0 y,
= (2 + 3/8)x + (3 – 5/8)y + 1 – 5/8 = 0
19x – 19y – 23 = 0 y 19x + 19y + 3 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la recta es 19x – 19y – 23 = 0 y 19x + 19y + 3 = 0
Pregunta 5. Encuentra la ecuación de la línea recta trazada a través del punto de intersección de las líneas x + y = 4 y 2x – 3y = 1 y perpendicular a la línea que corta las intersecciones 5, 6 en los ejes.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
x + y = 4 …..(1)
2x – 3y = 1 …..(2)
Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el
se dan los puntos de intersección de las ecuaciones (1) y (2),
x + y − 4 + λ(2x − 3y − 1) = 0 …(3)
(1 + 2λ)x + (1 − 3λ)y − 4 − λ = 0 ….(4)
y = – [(1 + 2λ) / (1 – 3λ)]x + [(4 + λ) / (1 – 3λ)]
Se da que la ecuación de la recta con interceptos 5 y 6 en el eje es
x/5 + y/6 = 1 ……..(5)
y la pendiente es -6/5
Las rectas (4) y (5) son perpendiculares por lo que,
-6/5 × [(-1 + 2λ) / (1 – 3λ)] = -1
λ = 11/3
Ahora, pon los valores de λ en (1), obtenemos
(1 + 2(11/3))x + (1 – 3(11/3))y − 4 – 11/3 = 0
(1 + 22/3)x + (1 – 11)y – 4 – 11/3 = 0
25x – 30y – 23 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la recta es 25x – 30y – 23 = 0
Pregunta 6. Demostrar que la familia de rectas representada por x (1 + λ) + y (2 – λ) + 5 = 0, siendo λ arbitraria, pasa por un punto fijo. Además, encuentre el punto fijo.
Solución:
Según la pregunta
La familia de líneas representada por x (1 + λ) + y (2 – λ) + 5 = 0
Entonces, x + xλ + 2y – λy + 5 = 0
λ(x – y) + (x + 2y + 5) = 0
(x + 2y + 5) + λ(x – y) = 0
Entonces, esto es L 1 + λL 2 = 0
Por lo tanto, la recta que pasa por la intersección de x – y = 0 y x + 2y = -5.
Entonces, (-5/3, -5/3) que es el punto fijo por donde pasan las rectas para cualquier valor de λ.
Pregunta 7. Demuestra que las rectas dadas por (2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k para diferentes valores de k pasan por un punto fijo. Además, encuentre el punto.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
La ecuación de la recta es:
(2 + k) x + (1 + k) y = 5 + 7k
(2x + y – 5) + (x + y = 7) = 0
Es de la forma l₁ + kL₂ = 0
Entonces, representa una línea que pasa por:
2x + y – 5 = 0 ……(1)
x +y – 7 = 0 ……(2)
Al resolver la ecuación (1) y (2) obtenemos,
El valor del punto (-2, 9).
Pregunta 8. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de 2x + y – 1 = 0 y x + 3y – 2 = 0 y forma con los ejes coordenados un triángulo de área 3/8 unidades cuadradas.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
2x + y – 1 = 0 …..(1)
x + 3y – 2 = 0 …..(2)
Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el
se dan los puntos de intersección de las ecuaciones (1) y (2),
(2x +y -1) + λ(x + 3y – 2) = 0 ……(3)
x (2 + λ) + y (1 + 3λ) – 1 – 2λ = 0
x/((1 + 2λ) / (2 + λ)) + 4/((1 + 2λ) / (1 + 3λ)) = 1
Como sabemos que el área del triángulo OAB = 1/2 × OB × OA
8 / 3 = 1/2 × (intersección en y) × (intersección en x)
8/3 = 1/2 × (1 + 2λ / 1 + 3λ) × (1 + 2λ / 2 + λ)
16/3 = (4λ 2 + 4λ) / (3λ + 3λ 2 + 7λ)
60λ 2 + 124λ + 35 = 0
λ = -124 ± √(124) 2 – 4×60 × 35 / 2×60
λ = -124 ± √15376-8400 / 120
λ = 1 (Aproximadamente)
Ahora pon el valor de λ en (3) obtenemos
3x + 4y -30 = 0,
Por lo tanto, la ecuación de la línea es 12x + y – 3 = 0
Pregunta 9. Encuentra la ecuación de la línea recta que pasa por el punto de intersección de las líneas 3x – y = 5 y x + 3y = 1 y hace intersecciones iguales y positivas en el eje.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
3x – y = 5 …..(1)
x + 3y = 1 …..(2)
Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el
se dan los puntos de intersección de las ecuaciones (1) y (2),
(3x – y – 5) + λ(x + 3y – 1) = 0 …..(3)
x/(5 + λ/3 + λ) + y/(5 + λ/3λ – 1) = 1
Se da que la recta que hace intersecciones iguales y positivas con la recta
Entonces, 5 + λ /3 + λ = 5 + λ/3λ – 1
3λ – 1 = 3 + λ
2λ = 4
λ = 2
Ahora pon el valor de λ en (3) obtenemos
3x – y – 5 + 2x + 6y – 2 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la línea es 5x + 5y = 7
Pregunta 10. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x – 3y + 1 = 0 y 2x – 5y – 9 y cuya distancia al origen es√5.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
x – 3y + 1 = 0 …..(1)
2x – 5y – 9 …..(2)
Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el
se dan los puntos de intersección de las ecuaciones (1) y (2),
x – 3y + 1 + λ(2x + 5y – 9) = 0 ….(3)
(1 + 2λ) x + (-3 + 5λ) y + 1 – 9λ = 0
Se da que la distancia al origen es √5
Asi que,
D = |((1 + 2λ) 0 + (-3 + 5λ) 0 + 1 – 9λ) / √(1 + 2λ) 2 + (5λ – 3) 2 |
√5 = | 1 – 9λ / √1 + 4λ 2 + 4λ + 25λ 2 + 9 – 30λ |
5(10 + 29λ 2 – 26λ) = (1 – 9λ) 2
50 + 145λ 2 – 130λ = 1 + 81λ 2 – 18λ 2
64λ 2 – 112λ + 49 = 0
(8λ – 7) 2 = 0
λ =7/8
Ahora pon el valor de λ en (3) obtenemos
= x – 3y + 1+ (7/8) (2x + 5y – 9) = 0
8x – 24y + 8 + 14x + 35y – 63 = 0
22x + 11y – 55 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la línea es 2x + y – 5 = 0
Pregunta 11. Encuentra las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas x – y + 1 = 0 y 2x – 3y + 5 = 0 cuya distancia al punto (3, 2) es 7/5.
Solución:
De la pregunta que tenemos,
Las ecuaciones de las rectas que son:
x – y + 1 = 0 …..(1)
2x – 3y + 5 = 0 …..(2)
Al resolver estas dos ecuaciones de rectas obtenemos,
punto de intersección (2, 3).
Ahora, sea la ecuación de una recta que pasa por (2, 3)
y-mx + c
3 = 2m + c
c = 3 – 2m
Entonces, la ecuación de la recta es y – mx + 3 – 2m ……(3)
Se da que la distancia al punto (3, 2) es 7/5.
|3m – 2 + 3 – 2m / √m 2 + 1 | = 7/5
| metro + 1 / √m 2 +1 | = 7/5
(m + 1) 2 / m 2 + 1 = 49 / 25
25(m2 + 2m + 1) = 49m2 + 49
25m2 + 50m + 25 = 49m2 + 49
24m 2 – 50m + 24 = 0
12m 2 – 25m + 12 = 0
metro = 4/3, metro = 3/4
Ahora pon el valor de m en la ecuación (3), obtenemos
y = (4/3)x + 3 – 8/3
3y = 4x + 1
4x – 3y + 1 = 0
y = (3/4)x +3 – 6/4
4 años – 3 años + 1 = 0
Por lo tanto, las ecuaciones de las rectas son 4x – 3y + 1 = 0 y 4y – 3y + 1 = 0
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Artículo escrito por mayurbadole2407 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA