Propiedades de las integrales definidas

Una integral que tiene un límite se conoce como integral definida. Tiene un límite superior y un límite inferior. se representa como

$\int_{a}^{b}$ f(x) = F(b) − F(a)

Hay muchas propiedades con respecto a la integral definida. Discutiremos cada propiedad una por una con pruebas también.

Propiedades

Propiedad 1: $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $\int_{a}^{b}$ f(y) dy

Prueba:

$\int_{a}^{b}$ f(x) dx…….(1)

Supongamos que x = y

dx = dy

Poniendo esto en la ecuación (1)

$\int_{a}^{b}$ f(y) día

Propiedad 2: $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = – $\int_{b}^{a}$ f(x) dx

Prueba:

$\int_{a}^{b}$ f(x) dx = F(b) – F(a)……..(1)

$\int_{b}^{a}$ f(x) dx = F(a) – F(b)………. (2)

De (1) y (2)

Podemos derivar $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = – $\int_{b}^{a}$ f(x) dx

Propiedad 3: $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $\int_{a}^{p}$ f(x) dx + $\int_{p}^{b}$ f(x) dx

Prueba:

$\int_{a}^{b}$ f(x) dx = F(b) – F(a) ………..(1)

$\int_{a}^{p}$ f(x) dx = F(p) – F(a) ………..(2)

$\int_{p}^{b}$ f(x) dx = F(b) – F(p) ………..(3)

De (2) y (3)

$\int_{a}^{p}$ f(x) dx + $\int_{p}^{b}$ f(x) dx = F(p) – F(a) + F(b) – F(p)

$\int_{a}^{p}$ f(x) dx + $\int_{p}^{b}$ f(x) dx = F(b) – F(a) = $\int_{a}^{b}$ f(x) dx

Por lo tanto, está probado.

Propiedad 4.1: $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $\int_{a}^{b}$ f(a + b – x) dx

Prueba:

Suponer

a + b – x = y…………(1)

-dx = dy

Desde (1) puedes ver

cuando x = un

y = a + b – a

y = segundo

y cuando x = b

y = a + b – b

y = un

Reemplazando por estos valores, la integración en el lado derecho se convierte en $-\int_{b}^{a}$ f(y)dy

De la propiedad 1 y la propiedad 2 se puede decir que

$\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $\int_{a}^{b}$ f(a + b – x) dx

Propiedad 4.2: Si el valor de a se da como 0, entonces la propiedad 4.1 se puede escribir como

$\int_{0}^{b}$ f(x) dx = $\int_{0}^{b}$ f(b – x) dx

Propiedad 5: $\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(2a – x) dx

Prueba:

Podemos escribir $\int_{0}^{2a}$ f(x) dx como

$\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx + $\int_{a}^{2a}$ f(x) dx ………….. (1)

yo = yo ₁ + yo ₂

(de la propiedad 3)

Supongamos que 2a – x = y

-dx = dy

También cuando x = 0

y = 2a, y cuando x = a

y = 2a – a = a

Entonces, $\int_{0}^{a}$ f(2a – x)dx se puede escribir como

$-\int_{2a}^{a}$ f(y) dy = yo ₂

Reemplazando la ecuación (1) con el valor de I ₂ obtenemos

$\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(2a – x) dx

Propiedad 6: $\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = 2 $\int_{0}^{a}$ f(x) dx; si f(2a – x) = f(x)

= 0 ; si f(2a – x) = -f(x)

Prueba:

De la propiedad 5 podemos escribir $\int_{0}^{2a}$ f(x) dx como

$\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(2a – x) dx ………….(1)

Parte 1: Si f(2a – x) = f(x)

Entonces la ecuación (1) se puede escribir como

$\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(x) dx

Esto se puede escribir más como

$\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = 2 $\int_{0}^{a}$ f(x) dx

Parte 2: Si f(2a – x) = -f(x)

Entonces la ecuación (1) se puede escribir como

$\int_{0}^{2a}$ f(x) dx= $\int_{0}^{a}$ f(x) dx – $\int_{0}^{a}$ f(x) dx

Esto se puede escribir más como

$\int_{0}^{2a}$ f(x) dx= 0

Propiedad 7: $\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx; si una función es par, es decir, f(-x) = f(x)

$\text{[math]}$ = 0 ; si una función es impar, es decir, f(-x) = -f(x)

Prueba:

De la propiedad 3 podemos escribir

$\int_{-a}^{a}$ f(x) dx como

$\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = $\int_{-a}^{0}$ f(x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(x) dx ………(1)

Suponer

$\int_{-a}^{0}$ f(x) dx = I1 ……(2)

Ahora, suponga que x = -y

Entonces, dx = -dy

Y también cuando x = -a entonces

y= -(-a) = a

y cuando x = 0 entonces, y = 0

Poniendo estos valores en la ecuación (2) obtenemos

I ₁ = $-\int_{a}^{0}$ f(-y)dy

Usando la propiedad 2, I ₁ se puede escribir como

I ₁ = $\int_{0}^{a}$ f(-y)dy

y usando la propiedad 1 I ₁ se puede escribir como

1 = f(-x) _dx $\int_{0}^{a}$

Poniendo el valor de I ₁ en la ecuación (1), obtenemos

$\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(-x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(x) dx ……….(3)

Parte 1: Cuando f(-x) = f(x)

Entonces la ecuación (3) se convierte en

$\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(x) dx

$\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = 2 $\int_{0}^{a}$ f(x) dx

Parte 2: Cuando f(-x) = -f(x)

Entonces la ecuación 3 se convierte en

$\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = – $\int_{0}^{a}$ f(x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(x) d

$\int_{-a}^{a}$ f(x)dx = 0

Ejemplos

Ejemplo 1: I = $\int_{0}^{1}$ x(1 – x) ⁹⁹ dx

Solución:

Usando la propiedad 4.2, la pregunta dada se puede escribir como

$\int_{0}^{1}$ (1 – x) [1 – (1 – x)] ⁹⁹ dx

$\int_{0}^{1}$ (1 – x) [1 – 1 + x] ⁹⁹ dx

$\int_{0}^{1}$ (1 – x)x ⁹⁹ dx

$\begin{bmatrix} \frac{x^{100}}{100} - \frac{x^{101}}{101} \end{bmatrix}_{0}^{1}$

= 1/100 – 1/101

= 1 / 10100

Ejemplo 2 : I = $\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{-1}{2}}$ cos(x) log $\begin{vmatrix} \frac{1+x}{1-x} \end{vmatrix}$

Solución:

f(x) = cos(x) log $\begin{vmatrix} \frac{1+x}{1-x} \end{vmatrix}$

f(-x) = cos(-x) registro $\begin{vmatrix} \frac{1-x}{1+x} \end{vmatrix}$

f(-x) = -cos(x) registro $\begin{vmatrix} \frac{1+x}{1-x} \end{vmatrix}$

f(-x) = -f(x)

Por lo tanto la función es impar. Entonces, usando la propiedad

$\int_{-a}^{a}$ f(x)dx = 0; si una función es impar, es decir, f(-x) = -f(x)

$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{-1}{2}}$ cos(x) log $\begin{vmatrix} \frac{1+x}{1-x} \end{vmatrix}$ = 0

Ejemplo 3: I = $\int_{0}^{5}$ [x] dx

Solución:

$\int_{0}^{1}$ 0 dx + $\int_{1}^{2}$ 1 dx + $\int_{2}^{3}$ 2 dx + $\int_{3}^{4}$ 3 dx + $\int_{4}^{5}$ 4 dx [usando la Propiedad 3]

= 0 + [x] ²₁ + 2[x] ³₂ + 3[x] ⁴₃ + 4[x] ⁵₄

= 0 + (2 – 1) + 2(3 – 2) + 3(4 – 3) + 4(5 – 4)

= 0 + 1 + 2 + 3 + 4

= 10

Ejemplo 4: I = $\int_{-1}^{2}$ |x| dx

Solución:

$\int_{-1}^{0}$ (-x) dx + $\int_{0}^{2}$ (x) dx [usando la Propiedad 3]

= -[x ² /2] ⁰_-1 + [x ² /2] ²₀

= -[0/2 – 1/2] + [4/2 – 0]

= 1/2 + 2

= 5/2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ntptiwari y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

f(x) = F(b) − F(a)

Propiedades

Propiedad 1: f(x) dx = f(y) dy

Propiedad 2: f(x) dx = – f(x) dx

Propiedad 3: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

Propiedad 4.1: f(x) dx = f(a + b – x) dx

Propiedad 4.2: Si el valor de a se da como 0, entonces la propiedad 4.1 se puede escribir como

Propiedad 5: f(x) dx = f(x) dx + f(2a – x) dx

Propiedad 6: f(x) dx = 2 f(x) dx; si f(2a – x) = f(x)

= 0 ; si f(2a – x) = -f(x)

Propiedad 7: f(x) dx = f(x) dx; si una función es par, es decir, f(-x) = f(x)

= 0 ; si una función es impar, es decir, f(-x) = -f(x)

Ejemplos

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$\int_{a}^{b}$ f(x) = F(b) − F(a)

Propiedad 1: $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $\int_{a}^{b}$ f(y) dy

Propiedad 2: $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = – $\int_{b}^{a}$ f(x) dx

Propiedad 3: $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $\int_{a}^{p}$ f(x) dx + $\int_{p}^{b}$ f(x) dx

Propiedad 4.1: $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $\int_{a}^{b}$ f(a + b – x) dx

Propiedad 5: $\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx + $\int_{0}^{a}$ f(2a – x) dx

Propiedad 6: $\int_{0}^{2a}$ f(x) dx = 2 $\int_{0}^{a}$ f(x) dx; si f(2a – x) = f(x)

Propiedad 7: $\int_{-a}^{a}$ f(x) dx = $\int_{0}^{a}$ f(x) dx; si una función es par, es decir, f(-x) = f(x)

$\text{[math]}$ = 0 ; si una función es impar, es decir, f(-x) = -f(x)