Pregunta 12. Sean A = {x, y, z} y B = {a, b}. Encuentre el número total de relaciones de A en B.
Solución:
El número total de relaciones que se pueden definir de un conjunto A a un conjunto B es el número de posibles subconjuntos de A × B.
Si n(A) = p y n(B) = q, entonces n(A × B) = pq.
Entonces, el número total de relaciones es 2 pq .
n(A) = 3 y n(B) = 2 ⇒ n(A × B) = 3 × 2 = 6
∴ Número total de relaciones = 2 6 = 64
Pregunta 13. Sea R una relación de N a N definida por R= {(a, b): a, b ∈ N ya = b 2 }.
¿Son verdaderas las siguientes afirmaciones?
(i) (a, a) ∈ R para todo a ∈ N
(ii) (a, b) ∈ R ⇒(b, a) ∈ R
(iii) (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R ⇒(a, c) ∈ R
Solución:
Dado: R = {(a, b): a, b ∈ N y a = b 2 }.
(i) (a, a) ∈ R para todo a ∈ N
Aquí, toma b = 2
un = segundo 2 = 2 2 = 4
∴ (4, 2) R pero (2, 2) ∉ R
Como, 2 2 ≠ 2
Asi que,
No, la afirmación es falsa.
(ii) (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
Aquí, toma b = 2
un = segundo 2 = 2 2 = 4
∴ (4, 2) ∈ R pero (2, 4) ∉ R
Como, 4 2 ≠ 2
Asi que,
No, la afirmación es falsa.
(iii) (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
Aquí, toma b = 4
un = segundo 2 = 4 2 = 16
(16, 4)∈ R
Ahora, b = c 2
4 = c 2
c = -2 ∉ norte
(4, 2) ∈ R
Pero (16, 2) ∉ R
Como, 2 2 ≠ 16
Asi que,
No, la afirmación es falsa.
Pregunta 14. Sea A= {1, 2, 3,….,14}. Defina una relación en un conjunto A por R= {(x, y): 3x – y = 0, donde x, y ∈ A}. Representa esta relación usando un diagrama de flechas. Escribe su dominio, codominio y rango.
Solución:
Dado: R = {(x, y): 3x – y = 0, donde x, y ∈ A}
A = {1, 2, 3,…,14}
Como, y = 3x
∴ R = {(x, 3x): donde x, 3x ∈ A}
R = {(1, 3×1), (2, 3×2), (3, 3×3), (4, 3×4)}
Nota: No podemos incluir (5, 3×5) como 15 ∉ A
R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}
Asi que,
Dominio de relación R = {1, 2, 3, 4}
Codominio de relación R = {1, 2, 3,…,14} = A
Rango de relación R = {3, 6, 9, 12}
Pregunta 15: Defina una relación R sobre el conjunto N de números naturales por R = {(x, y): y = x + 5, x es un natural menor que 4, x, y ∈ N}. Representar esta relación utilizando (i) formulario de lista (ii) un diagrama de flechas. Escriba el dominio y el rango de R.
Solución:
R = {(x, y): y = x + 5, x es natural menor que 4, x, y ∈ N}
Los números naturales menores que 4 son 1, 2 y 3.
Al poner x = 1, y = 1 + 5 = 6
Al poner x = 2, y = 2 + 5 = 7
Al poner x = 3, y = 3 + 5 = 8
(i) R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
(ii) El diagrama de flechas representa la relación (R):
Asi que,
Dominio de relación R = {1, 2, 3}
Rango de relación R = {6, 7, 8}
Pregunta 16: A = {1, 2, 3, 5} y B = {4, 6, 9}. Defina una relación R de A a B por R = {(x, y): la diferencia entre xey es impar, x ∈ A, y ∈ B}. Escriba R en forma de lista.
Solución:
Dado:
Relación R de A a B por R = {(x, y): la diferencia entre x e y es impar, x ∈ A, y ∈ B}
A = {1, 2, 3, 5} y B = {4, 6, 9}
Para x = 1:
y – x = 4 – 1 = 3 que es impar ⇒ 4 ∈ y
y – x = 6 – 1 = 5 que es impar ⇒ 6 ∈ y
y – x = 9 – 1 = 8 que es par ⇒ 8 ∉ y
Para x = 2:
y – x = 4 – 2 = 2 que es par ⇒ 4 ∉ y
y – x = 6 – 2 = 4 que es par ⇒ 6 ∉ y
y – x = 9 – 2 = 7 que es impar ⇒ 8 ∈ y
Para x = 3:
y – x = 4 – 3 = 1 que es impar ⇒ 4 ∈ y
y – x = 6 – 3 = 3 que es impar ⇒ 6 ∈ y
y – x = 9 – 3 = 6 que es par ⇒ 8 ∉ y
Para x = 5:
x – y = 5 – 4 = 1 que es impar ⇒ 4 ∈ y
y – x = 6 – 5 = 1 que es impar ⇒ 6 ∈ y
y – x = 9 – 5 = 4 que es par ⇒ 8 ∉ y
∴ R = {(1, 4), (1, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)}
Dominio de relación R = {1, 2, 3, 5}
Rango de relación R = {4, 6, 8}
Pregunta 17. Escribe la relación R = {(x, x 3 ): x es un número primo menor que 10} en forma de lista.
Solución:
Dado: R = {(x, x 3 ): x es un número primo menor que 10}
Los números primos menores que 10 son 2, 3, 5 y 7
∴ R = {(2, 2 3 ), (3, 3 3 ), (5, 5 3 ), (7, 7 3 )}
R = {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}
Asi que,
Dominio de relación R = {2, 3, 5, 7}
Rango de relación R = {8, 27, 125, 343}
Pregunta 18. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sea R una relación sobre A definida por
R = {(a, b): a, b ∈ A, b es exactamente divisible por a}
(i) Escriba R en forma de lista
(ii) Encuentre el dominio de R
(iii) Encuentre el rango de R.
Solución:
Dado:
R= {(a, b): a, b ∈ A, b es exactamente divisible por a}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Aquí,
6 es exactamente divisible por 1, 2, 3 y 6
5 es exactamente divisible por 1 y 5
4 es exactamente divisible por 1, 2 y 4
3 es exactamente divisible por 1 y 3
2 es exactamente divisible por 1 y 2
1 es exactamente divisible por 1
(i) R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2),
(4, 4), (5, 1), (5, 5), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 6)}
(ii) Dominio de la relación R = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(iii) Rango de relación R = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Pregunta 19. La figura muestra una relación entre los conjuntos P y Q. Escribe esta relación en
(i) Formulario de creación de conjuntos
(ii) Formulario de lista
(iii) ¿Cuál es su dominio y rango?
Solución:
(i) Dado que 5 – 3 = 6 – 4 = 7 – 5 = 2
∴ x – y = 2 donde x ∈ P y y ∈ Q
Asi que,
R = {(x, y): x – y = 2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) Ahora, R = {(5, 3), (6, 4), (7, 5)}
(iii) Dominio de la relación R = {5, 6, 7}
Rango de relación R = {3, 4, 5}
Pregunta 20: Sea R la relación sobre Z definida por R = {(a, b) Z, a – b es un número entero}. Encuentre el dominio y el rango de R.
Solución:
Dado: R = {(a, b) ∈ Z, a – b es un número entero}
Z denota un número entero, y aquí a y b son números enteros
Sabemos que la diferencia de dos enteros siempre es un entero
∴ a y b pueden ser cualquier número entero en relación R
El dominio de la relación R = Z (como a ∈ Z)
El rango de la relación R = Z (como b ∈ Z)
Pregunta 21: Para la relación R 1 definida sobre R por la regla (a, b) ∈ R 1 <=>1 + ab > 0. Demostrar que: (a, b) ∈ R 1 y (b, c) ∈ R 1 ⇒(a, c) ∈ R 1 no es cierto para todo a, b, c ∈ R.
Solución:
Demostrar: (a, b) ∈ R 1 y (b, c) ∈ R 1 ⇒(a, c)∈ R 1 no es cierto para todo a, b, c R.
Dado: R 1 = {(a, b)∈ R <=>1 + ab > 0}
Sea a = 1, b = -0.5, c = -4
Aquí, (1, -0.5) ∈ R 1 [∵ 1+(1×-0.5) = 0.5 > 0]
Y, (-0.5, -4) ∈ R 1 [∵ 1+(-0.5×-4) = 3 > 0]
Pero, (1, -4) ∉ R 1 [∵ 1+(1×-4) = -3 < 0]
∴ (a, b) ∈ R 1 y (b, c) ∈ R 1 ⇒(a, c) R 1 no es cierto para todo a, b, c ∈ R
Por lo tanto, Probado.
Nota: Aquí, R 1 es una relación mientras que R denota un número real.
Pregunta 22. Sea R una relación sobre N x N definida por (a, b) R (c, d)<=> a + d = b + c para todo (a, b), (c, d) ∈ N x n
Muestra esa:
i. (a, b) R (a, b) para todo (a, b) ∈ N x N
ii. (a, b) R (c, d) ⇒(c, d) R (a, b) para todo (a, b), (c, d) ∈ N x N
iii. (a, b) R (c, d) y (c, d) R (e, f) ⇒(a, b) R (e, f) para todo (a, b), (c, d), ( mi, f) ∈ norte × norte
Solución:
Dado:
(a, b) R (c, d) a + d = b + c para todos (a, b), (c, d) ∈ N x N
(i) (a, b) R (a, b)
a + b = b + a para todo (a, b) ∈ N x N
∴ (a, b) R (a, b) para todos (a, b) ∈ N x N
(ii) (a, b) R (c, d)
un + re = segundo + c ⇒ c + segundo = re + un
(c, d) R (a, b) para todo (c, d), (a, b) ∈ N x N
(iii) (a, b) R (c, d) y (c, d) R (e, f)
un + re = segundo + c y c + f = re + mi
un + re + c + f = segundo + c + re + mi
un + f = segundo + c + re + mi – c – re
un + f = segundo + mi
(a, b) R (e, f) para todo (a, b), (c, d), (e, f) ∈ N × N