Sean f : A->B y g : B->C dos funciones. Entonces la composición de f y g, denotada por gof, se define como la función gof : A->C dada por gof (x) = g{f(x)}, ∀ x ∈ A.
Claramente, dom(gof) = dom(f).
Además, gof se define solo cuando range(f) es un subconjunto de dom(g).
Evaluar funciones compuestas
Sabemos que la función compuesta se escribe como fog(x), gof(x) y así sucesivamente. Aquí fog(x) se evaluará como f{g(x)} y gof(x) se evaluará como g{f(x)}.
Problema 1: Sean funciones definidas f : {2, 3, 4, 5} -> {3, 4, 5, 9} y g : {3, 4, 5, 9} -> {7, 11, 15} como
f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = f(5) = 5 y g (3) = g(4) = 7 y g(5) = g(9) = 11. Encuentre gof(x).
Solución:
gof(x) = g{ f(x)}. Así que primero encontramos el paréntesis interior que es f(x) aquí.
Tenemos los valores de f(2), f(3), f(4) y f(5), por lo que tenemos que encontrar los valores de gof(x) para todos estos valores.
gof(2) = g{ f(2) } = g(3) = 7,
gof (3) = g{ f(3) } = g(4) = 7,
gof(4) = g{ f(4) } = g(5) = 11
Y gof(5) = g(5) = 11.
Problema 2: Muestre que si f : A -> B y g : B -> C están sobre, entonces gof : A -> C también está sobre.
Solución
Dado un elemento arbitrario z ∈ C, existe una preimagen y de z bajo g tal que g(y) = z, ya que g es sobre.
Además, para y ∈ B, existe un elemento x en A con f(x) = y, ya que f es sobre.
Por lo tanto, gof(x) = g{ f(x) } = g(y) = z, mostrando que gof es sobre.
Problema 3: Sea ƒ: R->R:f(x) = (x 2 – 3x + 2). Encuentre fof(x).
Solución:
fof(x) = f {f(x) } = f(x 2 – 3x + 2) = f(y) (sea y = x 2 – 3x + 2)
= y 2 – 3y + 2
= (x2 – 3x + 2 ) – 3(x2 – 3x + 2 ) + 2
= x 4 – 6x 3 + 10x 2 – 3x.
Evaluación de funciones compuestas: uso de tablas
En este tipo de preguntas, se nos dará una tabla con valores de x, f(x), g(x) y necesitaremos encontrar el compuesto de f(x) y g(x) como en el ejemplo 1 estamos pidió encontrar niebla(1).
Para encontrar la solución, comenzaremos desde el paréntesis interior y encontraremos su valor en la tabla dada, así que encontraremos el valor de g(1) de la tabla que es 4. Luego, para el paréntesis exterior encontraremos su valor nuevamente de la tabla dada, entonces encontraremos el valor de f(4) de la tabla que es 2. Por lo tanto, obtendremos la respuesta requerida que es 2 en este caso.
Problema 1: Utilizando la siguiente tabla, evalúe fog(1) y gof(4).
| X | f(x) | g(x) |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 4 |
| 2 | 8 | 5 |
| 3 | 4 | 3 |
| 4 | 2 | 8 |
Solución:
Entonces, fog(1) = f{g(1)} y g of(4) = g{f(4)}.
Primero evaluamos el soporte interior y luego el soporte exterior, usando los valores dados en la tabla.
Para f{g(1)}, g(1) = 4. Ahora f(4) = 2.
Por lo tanto, f{g(1)} = 2.
De manera similar, para g{f(4)}, f(4) = 2. Ahora g(2) = 8.
Por lo tanto, g{f(4)} = 8.
Por lo tanto, fog(1) = f{g(1)} = f(4) = 2 y gof(4) = g{f(4)} = g(2) = 8.
Problema 2: Utilizando la siguiente tabla, evalúe fog(3) y fof(1).
| X | f(x) | g(x) |
| 1 | 3 | 2 |
| 2 | 7 | 3 |
| 3 | 8 | 5 |
| 4 | 6 | 7 |
| 5 | 2 | 9 |
Solución:
Entonces, fog(3) = f{g(3)} y fof(1) = f{f(1)}.
Primero evaluamos el soporte interior y luego el soporte exterior, usando los valores dados en la tabla.
Para f{g(3)}, g(3) = 5. Ahora f(5) = 2.
Por lo tanto, f{g(3)} = 2.
De manera similar, para f{f(1)}, f(1) = 3. Ahora f(3) = 8.
Por lo tanto, f{f(1)} = 8.
Por lo tanto, fog(3) = f{g(3)} = f(5) = 2 y fof(1) = f{f(1)} = f(3) = 8.
Evaluación de funciones compuestas: uso de gráficos
En este tipo de preguntas, se nos dará un gráfico que tiene la curva f(x) y g(x), y se nos pedirá que encontremos un compuesto de f(x) y g(x) como en el ejemplo 1, tenemos que encontrar niebla(2).
Nuevamente, comenzaremos desde el paréntesis interior, por lo que debemos encontrar g(2). Entonces veremos la curva g(x). Entonces en x=2, encontramos que y=3. Ahora necesitaremos encontrar f(3). Entonces veremos la curva f(x). Ahora veremos x=3, allí encontramos y=4. Por lo tanto, obtenemos la solución requerida que es 3 en el ejemplo 1.
Problema 1: Usando los gráficos a continuación, evalúe fog(2).
Solución:
Entonces, niebla(2) = f{ g(2) }
De la gráfica de g(x), necesitamos encontrar g(2),
cuando x = 2, y = 3, por lo tanto g(2) = 3
Ahora niebla(2) = f(g(2)) = f(3).
De la gráfica de f(x), necesitamos encontrar f(3),
cuando x = 3, y = 4, por lo tanto f(3) = 4
Por lo tanto, niebla(2) = f{g(2)} = f(3) = 4.
Problema 2: Usando el gráfico a continuación, evalúe goh(5).
Solución:
Entonces, goh(5) = g{ h(5) }
De la gráfica de h(x), necesitamos encontrar h(5),
Cuando x = 5, y = -2, por lo tanto h(5) = -2
Ahora goh(5) = g{h(5)} = g(-2).
De la gráfica de g(x), necesitamos encontrar g(-2),
cuando x = -2, y = 3, por lo tanto g(-2) = 3
Por lo tanto, goh(5) = g{h(5)} = g(-2) = 3.