Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.1 | Serie 1

Posted on by Rudeus Greyrat

Evalúe las siguientes integrales definidas:

Pregunta 1. \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}}dx

yo = \left[\frac{x^{\frac{-1}{2}+1}}{\frac{-1}{2}+1}\right]^9_4

yo = \left[\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]^9_4

yo = \left[2\sqrt{x}\right]^9_4

yo = 2[√9 – √4] 

yo = 2 (3 − 2)

yo = 2 (1)

yo = 2

Por lo tanto, el valor de  \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}}dx es 2.

Pregunta 2. \int_{-2}^{3} \frac{1}{x+7}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{-2}^{3} \frac{1}{x+7}dx

yo = \left[log(x+7)\right]^3_{-2}

yo = logaritmo (3 + 7) − logaritmo (−2 + 7)

I = logaritmo 10 − logaritmo 5

yo = log\frac{10}{5}

yo = registro 2

Por lo tanto, el valor de  \int_{-2}^{3} \frac{1}{x+7}dx es log 2.

Pregunta 3. \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx

Sea x = sen t, entonces tenemos, 

=> dx = cos t dt

Ahora, el límite inferior es,

=> x = 0 

=> sen t = 0

=> t = 0

Además, el límite superior es,

=> x = 1/2

=> sen t = 1/2

=> t = π/6

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{1-sin^2t}}costdt

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{cos^2t}}costdt

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (\frac{1}{cost})costdt

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1dt

yo = \left[t\right]_0^{\frac{\pi}{6}}

yo = /6 – 0

yo = /6

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx es π/6.

Pregunta 4. \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx

yo = \left[tan^{-1}x\right]_0^1

yo = tan^{-1}1-tan^{-1}0

yo = \frac{\pi}{4}-0

yo = π/4

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx es π/4.

Pregunta 5. \int_{2}^{3} \frac{x}{x^2+1}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{2}^{3} \frac{x}{x^2+1}dx

Sea x 2 + 1 = t, entonces tenemos,

=> 2x dx = dt

=> x dx = dt/2

Ahora, el límite inferior es, x = 2

=> t = x2 + 1

=> t = (2) 2 + 1

=> t = 4 + 1

=> t = 5

Además, el límite superior es, x = 3

=> t = x2 + 1

=> t = (3) 2 + 1

=> t = 9 + 1

=> t = 10

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = \int_{5}^{10} \frac{1}{2t}dt

yo = \frac{1}{2}\int_{5}^{10} \frac{1}{t}dt

yo = \frac{1}{2}\left[logt\right]^{10}_5

yo = 1/2[log10 – log5] 

yo = 1/2[log10/5]

yo = 1/2[log2]

yo = log√2

Por lo tanto, el valor de  \int_{2}^{3} \frac{x}{x^2+1}dx es log√2.

Pregunta 6. \int_{0}^{\infty} \frac{1}{a^2+b^2x^2}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{a^2+b^2x^2}dx

yo = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{b^2}\left(\frac{1}{\frac{a^2}{b^2}+x^2}\right)dx

yo = \frac{1}{b^2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\frac{a^2}{b^2}+x^2}dx

yo = \frac{1}{b^2}\left[\frac{b}{a}tan^{-1}\frac{bx}{a}\right]^{\infty}_{0}

yo = \frac{1}{ab}\left[tan^{-1}\frac{bx}{a}\right]^{\infty}_{0}

yo = 1/ab[tan -1 ∞ – tan -1 0] 

yo = 1/ab[π/2 – 0]  

yo = 1/ab[π/2]  

yo = π/2ab   

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\infty} \frac{1}{a^2+b^2x^2}dx es π/2ab.

Pregunta 7. \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx

yo = \left[tan^{-1}x\right]_{-1}^{1}

yo = [tan -1 1 – tan -1 (-1)]  

yo = [π/4 – (-π/4)]   

yo = [π/4 + π/4]  

yo = 2π/4 

yo = π/2  

Por lo tanto, el valor de  \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx es π/2.

pregunta 8 \int_{0}^{\infty} e^{-x}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\infty} e^{-x}dx

yo = \left[-e^{-x}\right]^{\infty}_{0}

yo = -e- 

yo = − 0 + 1

yo = 1

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\infty} e^{-x}dx es 1.

Pregunta 9. \int_{0}^{1} \frac{x}{x+1}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{0}^{1} \frac{x}{x+1}dx

yo = \int_{0}^{1} \frac{(x+1)-1}{x+1}dx

yo = \int_{0}^{1} \frac{x+1}{x+1}dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}dx

yo = \int_{0}^{1} 1dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}dx

yo = \left[x\right]^1_0-\left[log(x+1)\right]^1_0

yo = [1 − 0] − [log(1 + 1) − log(0 + 1)]

yo = 1 − [log2 − log1]

I = 1 – log2/1 

yo = 1 − registro 2

yo = log e − log 2

I = loge/2 

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{1} \frac{x}{x+1}dx  es loge/2.

Pregunta 10. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sinx+cosx)dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sinx+cosx)dx

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cosx)dx

yo = \left[-cosx\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\left[sinx\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

I = [-cosπ/2 + cos0] + [senπ/2 – sin0] 

yo = [−0 + 1] + 1

yo = 1 + 1

yo = 2

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sinx+cosx)dx es 2.

Pregunta 11. \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} cotxdx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} cotxdx

yo = \left[log(sinx)\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}

I = log(senπ/2) – log(senπ/4)

Yo = log1 – log1/√2 

yo = log\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}

yo = log√2  

Por lo tanto, el valor de  \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} cotxdx es log√2.

Pregunta 12. \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} secxdx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} secxdx

yo = \left[log(secx+tanx)\right]^{\frac{\pi}{4}}_0

I = log(secπ/4 + tanπ/4 – log(sec0 + tan0) 

I = logaritmo(√2 + 1) – logaritmo(1 + 0) 

yo = log(\frac{\sqrt{2}+1}{1})

yo = logaritmo(√2 + 1) 

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} secxdx es log(√2 + 1).

Pregunta 13. \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} cosecxdx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} cosecxdx

yo = \left[log|cosecx-cotx|\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}

I = [log|cosecπ/4 – cotπ/4|] – [log|cosecπ/6 – cotπ/6|]

yo = [log|√2 – 1|] – [log|2 – √3|] 

yo = log(\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}})

Por lo tanto, el valor de  \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} cosecxdx es  log(\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}}) .

Pregunta 14. \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x}dx

Solución: 

Tenemos, 

yo = \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x}dx

Sea x = cos 2t, entonces tenemos,

=> dx = –2 sen 2t dt

Ahora, el límite inferior es,

=> x = 0

=> porque 2t = 0

=> 2t = π/2

=> t = π/4

Además, el límite superior es,

=> x = 1

=> porque 2t = 1

=> 2t = 0

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{1-cos2t}{1+cos2t}(-2sin2t)dt

yo = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0}\frac{2sin^2t}{2cos^2t}(-2sin2t)dt

yo = \int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{sin^2t}{cos^2t}(2sin2t)dt

yo = \int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{sin^2t}{cos^2t}(4sintcost)dt

yo = \int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{4sin^3t}{cost}dt

Sea cos t = z, entonces tenemos,

=> – sen t dt = dz

=> sen t dt = – dz

Ahora, el límite inferior es,

=> t = 0

=> z = cos t

=> z = cos 0

=> z = 1

Además, el límite superior es,

=> t = π/4

=> z = cos t

=> z = cos π/4

=> z = 1/√2

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = \int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{4sin^2t(sint)}{cost}dt

yo = \int^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{1}\frac{-4(1-z^2)}{z}dz

yo = -4\int^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{1}\frac{1-z^2}{z}dz

yo = -4\int^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{1}(\frac{1}{z}-\frac{z^2}{z})dz

yo = -4\int^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{1}(\frac{1}{z}-z)dz

yo = -4\left[logz-\frac{z^2}{2}\right]^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_1

Yo = -4[(log1/√2 – 1/2(2)) – (log1 – 1/2)]

Yo = -4[(log1/√2 – 1/4) – (0 – 1/2)]

Yo = -4[log1/√2 – 1/4 – 0 + 1/2]

Yo = -4[-log√2 + 1/4]

Yo = 4log√2 – 1 

yo = 4 × 1/2log2 – 1

yo = 2log2 – 1 

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x}dx es 2log2 – 1.

Pregunta 15. \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+sinx}dx

Solución: 

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+sinx}dx

yo = \int_{0}^{\pi} \frac{1-sinx}{(1+sinx)(1-sinx)}dx

yo = \int_{0}^{\pi} \frac{1-sinx}{1-sin^2x}dx

yo = \int_{0}^{\pi} \frac{1-sinx}{cos^2x}dx

yo = \int_{0}^{\pi}\frac{1}{cos^2x}-\frac{sinx}{cos^2x}dx

yo = \int_{0}^{\pi}sec^2x-\frac{sinx}{cosx(cosx)}dx

yo = \int_{0}^{\pi}(sec^2x-tanxsecx)dx

yo = \int_{0}^{\pi}sec^2xdx-\int_{0}^{\pi}tanxsecxdx

yo = \left[tanx\right]^{\pi}_0-\left[secx\right]^{\pi}_0

I = [tan π – tan0] – [seg π – seg 0]

Yo = [0 – 0] – [–1 – 1]

Yo = 0 – (–2)

yo = 2

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+sinx}dx es 2.

Pregunta 16. \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+sinx}dx

Solución: 

Tenemos,

yo = \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+sinx}dx

yo = \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-sinx}{(1+sinx)(1-sinx)}dx

yo = \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-sinx}{1-sin^2x}dx

yo = \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-sinx}{cos^2x}dx

yo = \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos^2x}-\frac{sinx}{cos^2x}dx

yo = \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}sec^2x-\frac{sinx}{cosx(cosx)}dx

yo = \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{-\pi}{4}}(sec^2x-tanxsecx)dx

yo = \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{-\pi}{4}}sec^2xdx-\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}tanxsecxdx

yo = \left[tanx\right]^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{-\pi}{4}}-\left[secx\right]^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{-\pi}{4}}

yo = \left[tanx\right]^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{-\pi}{4}}-\left[secx\right]^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{-\pi}{4}}

I = [tan π/4 – tan(–π/4)] – [seg π/4 – seg (–π/4)]

I = [1 – (–1)] – [seg π/4 – seg (π/4)]

yo = 2 – 0

yo = 2

Por lo tanto, el valor de  \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+sinx}dx es 2.

Pregunta 17. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^2xdx

Solución: 

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^2xdx

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1+cos2x}{2})dx

yo = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+cos2x)dx

yo = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos2xdx

yo = \frac{1}{2}\left[x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0+\frac{1}{2}\left[\frac{sin2x}{2}\right]^{\frac{\pi}{2}}_0

yo = \frac{1}{2}\left[x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0+\frac{1}{4}\left[sin2x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0

yo = 1/2[π/2 – 0] + 1/4[senπ – sin0]

Yo = 1/2[π/2] + 1/4[0 – 0]

yo = π/4 

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^2xdx  es  π/4 .

Pregunta 18. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^3xdx

Solución: 

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^3xdx

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos3x+3cosx}{4}dx

yo = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (cos3x+3cosx)dx

yo = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos3xdx+\frac{3}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx

yo = \frac{1}{4}\left[\frac{sin3x}{3}\right]^{\frac{\pi}{2}}_0+\frac{3}{4}[sinx]^{\frac{\pi}{2}}_{0}

yo = \frac{1}{12}\left[sin3x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0+\frac{3}{4}[sinx]^{\frac{\pi}{2}}_{0}

Yo = 1/12 [-1 – 0] + 3/4 [1 – 0]

yo = 3/4 – 1/12

yo = (9 – 1)/12

yo = 8/12

yo = 2/3

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^3xdx  es 2/3.

Pregunta 19. \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} cosxcos2xdx

Solución: 

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} cosxcos2xdx

yo = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 2cosxcos2xdx

yo = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (cos3x + cosx)dx

yo = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}cos3xdx + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}cosxdx

yo = \frac{1}{2}\left[\frac{sin3x}{3}\right]^{\frac{\pi}{6}}_0 + \frac{1}{2}\left[sinx\right]^{\frac{\pi}{6}}_0

yo = \frac{1}{6}\left[sin3x\right]^{\frac{\pi}{6}}_0 + \frac{1}{2}\left[sinx\right]^{\frac{\pi}{6}}_0

I = 1/6[senπ/2 – sin0] + 1/2[senπ/6 – sin0]

Yo = 1/6[1 – 0] + 1/2[1/2 – 0]

yo = 1/6 + 1/4

yo = (4 + 6)/24 

yo = 10/24 

yo = 5/12 

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} cosxcos2xdx  es  5/12 .

Pregunta 20. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sinxsin2xdx

Solución: 

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sinxsin2xdx

yo = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2sinxsin2xdx

yo = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (cosx - cos3x)dx

yo = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos3xdx

yo = \frac{1}{2}\left[sinx\right]^{\frac{\pi}{2}}_0-\frac{1}{2}\left[\frac{sin3x}{3}\right]^{\frac{\pi}{2}}_0

yo = \frac{1}{2}\left[sinx\right]^{\frac{\pi}{2}}_0-\frac{1}{6}[sin3x]^{\frac{\pi}{2}}_0

I = 1/2[sinπ/2 – sin0] – 1/6[sin3π/2 – sin0]

Yo = 1/2[1 – 0] – 1/6[-1 – 0]

Yo = 1/2 – 1/6(-1)

yo = 1/2 + 1/6 

yo = (6 + 2)/12

yo = 8/12 

yo = 2/3

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sinxsin2xdx  es 2/3.

Pregunta 21. \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (tanx+cotx)^2dx

Solución: 

Tenemos,

yo = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (tanx+cotx)^2dx

yo = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx})^2dx

yo = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{sin^2x+cos^2x}{cosxsinx})^2dx

yo = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{1}{cosxsinx})^2dx

yo = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos^2xsin^2x}dx

yo = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{4}{4cos^2xsin^2x}dx

yo = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{4}{(sin2x)^2}dx

yo = 4\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}cosec^22xdx

yo = 4\left[\frac{-cot2x}{2}\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}

yo = 2\left[-cot2x\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}

I = 2[-cotπ/2 + cot2π/3]

Yo = 2[-1/√3 – 0]

Yo = -2/√3 

Por lo tanto, el valor de  \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (tanx+cotx)^2dx  es -2/√3.

Pregunta 22. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^4xdx

Solución: 

Tenemos,

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^4xdx

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (cos^2x)^2dx

yo = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1+cos2x}{2})^2dx

yo = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+cos2x)^2dx

yo = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+cos^22x+2cos2x)dx

yo = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\frac{1+cos4x}{2}+2cos2x)dx

yo = \frac{1}{4}\left[x+\frac{x}{2}+\frac{sin4x}{8}+sin2x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0

yo = 1/4[π/2 + π/4 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 – 0]

yo = 1/4[3π/4] 

yo = 3π/16 

Por lo tanto, el valor de  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^4xdx es  3π/16 .

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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