Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas- Ejercicio 23.10 | Serie 1

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1. (i) Encuentra el punto de intersección de las líneas:

2x – y + 3 = 0 y x + y – 5 = 0

Solución:

Dada la ecuación de las líneas son:

2x – y + 3 = 0 …..(1)

x + y – 5 = 0 ……(2)

2x – y + 3 = 0

⇒ y = 2x + 3

Ahora ponga este valor en la ecuación (2), obtenemos

x + y – 5 = 0

x + (2x + 3) – 5 = 0

x + 2x + 3 – 5 = 0

3x – 2 = 0

X = 2/3

Ahora pon el valor de x en la ecuación (1), obtenemos

y = 2x + 3 = (2 × 2)/3 + 3 = 4/3 + 3 = 13/2  

Por lo tanto, los puntos de intersección son (2/3, 13/3)

Pregunta 1(ii). Encuentre el punto de intersección de los pares de líneas:

bx + ay = ab y ax + by = ab 

Solución:

Dada la ecuación de las líneas son:

bx + ay = ab …..(1)

hacha + por = ab …..(2)

 bx + ay = ab ⇒ x=\frac{ab-ay}{b}

Ahora ponga este valor en la ecuación (2), obtenemos

hacha + por = ab

a((ab – ay)/(b)) + por = ab

un 2 segundo – un 2 y + segundo 2 y = un 2

y(b 2 – a 2 ) = ab(b – a)

y=\frac{ab(b-a)}{b^2-a^2}=\frac{ab}{b+a}

Ahora pon el valor de x en la ecuación (1), obtenemos

x=\frac{ab-\frac{a(ab)}{a+b}}{b}=\frac{ab}{a+b}

Por lo tanto, los puntos de intersección son ( \frac{ab}{a+b},\frac{ab}{a+b} )

(iii) Encuentre el punto de intersección de los pares de líneas:

y = m 1 x + a/m 1 y y = m 2 x + a/m 2 

Solución:

Dada la ecuación de las líneas son:

y = m 1 x + a/m 1   …..(1)

y = m 2 x + a/m 2   …..(2)

De la ecuación (1) y (2)

m1x+\frac{a}{m_1}=m_2+\frac{a}{m_2}\\ x(m_1-m_2)=\frac{a}{m_2}-\frac{a}{m_1}=a(\frac{m_1-m_2}{m_1m_2})\\ x=\frac{a}{m_1m_2}\\ y=m_1x+\frac{a}{m_1}\\ =m_1(\frac{a}{m_1m_2})+\frac{a}{m_1}\\ =\frac{a}{m_2}+\frac{a}{m_1}\\ =a(\frac{m_1+m_2}{m_1m_2})

Por lo tanto, el punto de intersección es (\frac{a}{m_1m_2},a(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}))

Pregunta 2 (i). Halla las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyas ecuaciones sean x + y – 4 = 0, 2x – y + 3 = 0 y x – 3y + 2 = 0.

Solución:

Ecuaciones dadas:

x + y – 4 = 0 …..(1)

2x – y + 3 = 0 …..(2)

x – 3y + 2 = 0 …..(3)

Al resolver la ecuación (1) y (2)

2x – (4 – x) + 3 = 0

2x – 4 + x + 3 = 0

3x – 1 = 0

X = 1/3

Ahora pon el valor de x en la ecuación (1), obtenemos

1/3 + y – 4 = 0

y = 4 – 1/3 = 11/3

Entonces, el primer vértice es (1/3, 11/3)

Al resolver las ecuaciones (2) y (3), y 

Ponga y = 2x + 3 en la ecuación (3)

x – 3(2x + 3) + 2 = 0

x-6y-9 + 2 = 0

-5x = 7

x = -7/5

y = 2x + 3 = 2(-7/5) + 3 = -14/5 + 3 = 1/5

Entonces, el segundo vértice es (-7/5, 1/5)

Ahora encontramos el siguiente vértice.

x + y – 4 = 0

x – 3y + 2 = 0

x = 4 – y

4 – y – 3y + 2 = 0

4 – 4 años + 2 = 0

-4y = -6

y = 3/2

x = 4 – y

4 – 3/2

8 – 3/2 = 5/2

Por lo tanto, el tercer vértice es (5/2, 3/2)

Pregunta 2 (ii). Encuentre las coordenadas de los vértices de un triángulo, la ecuación de cuyos lados son y(t 1 + t 2 ) = 2x + 2at 1 t 2 , y(t 2 + t 3 ) = 3x + 2at 2 t 3 y y( t 3 + t 1 ) = 2x + 2a + t 1 t 3

Solución:

Ecuaciones dadas:

y(t 1 + t 2 ) = 2x + 2 en 1 t 2  …..(1)

y(t 2 + t 3 ) = 2x + 2 en 2 t 3  …..(2)  

y(t 3 + t 1 ) = 2x + 2 en 1 t 3  …..(3)   

Al resolver las ecuaciones (1) y (2), obtenemos 

(x 1 , y 1 ) = (en 2 2 , 2 en 2 )

Al resolver las ecuaciones (2) y (3), obtenemos 

(x 2 , y 2 ) = (en 3 2 , 2 en 3 )

Al resolver las ecuaciones (1) y (3), obtenemos  

(x 3 , y 3 ) = (en 1 2 , 2 en 1 ) 

Por lo tanto, los vértices del triángulo son (en 2 2 , 2en 2 ), (en 3 2 , 2en 3 ) y (en 1 2 , 2en 1 ). 

Pregunta 3 (i). Halla el área del triángulo formado por las rectas

y = metro 1 + do 1 , y = metro 2 + do 2 , x = 0

Solución:

Ecuaciones dadas

y = metro 1 x + c 1   …..(1)

y = metro 2 x + c 2  …..(2)

x = 0 …..(3)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2), obtenemos 

(x 1 , y 1 ) = ( \frac{c_2-c_1}{m_1-m_2},\frac{m_1c_2-m_2c_1}{m_1-m_2} )

Al resolver las ecuaciones (2) y (3), obtenemos 

(x 2 , y 2 ) = (0, c 2 )

Al resolver las ecuaciones (1) y (3), obtenemos 

(x 3 , y 3 ) = (0, c 1 )

El área del triángulo formado por los vértices anteriores es 

=\frac{1}{2}[(\frac{c_2-c_1}{m_1-m_2} \times c_1)-(\frac{c_2-c_1}{m_1-m_2}\times c_2)]\\ =\frac{(c_2-c_1)^2}{2(m_1-m_2)} unidades cuadradas

Pregunta 3 (ii). Halla el área del triángulo formado por las rectas 

y = 0, x = 2 y x + 2y = 3

Solución:

Ecuaciones dadas

y = 0    …..(1)

x = 2    …..(2)

x + 2y = 3    …..(3)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2), obtenemos 

Punto (x 1 , y 1 ) = (2, 0)  

Al resolver las ecuaciones (2) y (3), obtenemos 

2 + 2y = 3

y = 1/2

y = 2

Punto (x 2 , y 2 ) = (2, 1/2)      

Al resolver las ecuaciones (1) y (3), obtenemos 

Punto (x 3 , y 3 ) = (3, 0)   

Como sabemos que el área del triángulo es (A) = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]

A = 1/2[2(1/2 – 0) + 2(0 – 0) + 3( 0 – 1/2)]

A = 1/2[|1 – 3/2|]

A = 1/4 unidades cuadradas

Pregunta 3 (iii). Halla el área del triángulo formado por las rectas

x + y – 6 = 0, x – 3y – 2 = 0 y 5x – 3y + 2 = 0

Solución:

Ecuaciones dadas

x + y – 6 = 0    …..(1)

x – 3y – 2 = 0    …..(2)

5x – 3y + 2 = 0    …..(3)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2), obtenemos 

(x 1 , y 1 ) = (5, 1)

Al resolver las ecuaciones (2) y (3), obtenemos 

(x 2 , y 2 ) = (-1, -1)

Al resolver las ecuaciones (3) y (1), obtenemos 

(x 3 , y 3 ) = (2, 4)

Como sabemos que el área del triángulo es (A) = 1/2[x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]

A = 1/2[|-25 – 3 + 4|]

A = 12 unidades cuadradas

Pregunta 4. Encuentra la ecuación de las medianas de un triángulo, la ecuación de cuyos lados son:

3x + 2y + 6 = 0, 2x – 5y + 4 = 0, x – 3y – 6 = 0

Solución:

Consideremos que ABC es un triángulo, en el que A, B y C son los vértices del triángulo. 

Entonces, de acuerdo con la pregunta, las ecuaciones son:

3x + 2y + 6 = 0    …..(1)

2x – 5y + 4 = 0    …..(2)

x – 3y – 6 = 0    …..(3)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2), obtenemos 

x = -2 y y = 0

Entonces las coordenadas de A son (-2, 0)

Al resolver la ecuación (3) y (2), obtenemos 

x = -42 y y = -16

Entonces las coordenadas de B son (-42, -16)

Al resolver las ecuaciones (1) y (3), obtenemos 

x = -6/11 y y = -24/11

Entonces las coordenadas de C son (-6/11, -24/11)

Ahora supongamos que P, Q y R son el punto medio del lado AB, BC y AC

Entonces, las coordenadas de los puntos medios son:

P = ((-2 -42)/2, (0 – 16)/2) = (-22, -8)

P = ((-42 – 6/11)/2, (-16 – 24/11)/2) = (-234/11, -100/11)

R = ((-2 -6/11)/2, (0 – 24/11)/2) = (-14/11, -12/11)

Ahora encontramos que la mediana de AP es 

= y + 8/x + 22 = \frac{-8+\frac{24}{11}}{-22+\frac{6}{11}}\\

= y + 8/x + 22 = -88 + 24/-242 + 6 = 16/59

= 16x – 59y + 352 – 572 = 0

= 16x – 59y – 120 = 0   

De manera similar, la mediana de BQ es 25x – 53y + 50 = 0

Y la mediana de CR es 41x – 112y – 70 = 0

Pregunta 5. Demuestra que las líneas y = √3x + 1, y = 4 y y = -√3x + 2 forman un triángulo equilátero.

Solución:

Consideremos que ABC es un triángulo en el que A, B y C son los vértices del triángulo. 

La ecuación de las rectas son:

y = √3x + 1        …..(1)

y = 4       …..(2)

y = -√3x + 2      …..(3)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2), obtenemos 

4 = √3x + 1

x = 4 – 1/√3 = 3/√3 = √3

Entonces, las coordenadas del punto A son (√3, 4)

Al resolver las ecuaciones (2) y (3), obtenemos

4 = -√3x + 2

√3x = -2 

x = -2/√3

x = -2√3/3

Entonces, las coordenadas del punto B son (-2√3/3, 4) 

Al resolver las ecuaciones (1) y (3), obtenemos

√3x + 1 = -√3x + 2

2√3x = 1

x = 1/2√3 = √3/6

y = √3(√3/6 + 1) = 3/2

Entonces, las coordenadas del punto C son (√3/6, 3/2) 

Ahora tenemos,

AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

=\sqrt{(\frac{-2√3}{3}-√3)^2+(4-4)^2}\\ =\sqrt{(\frac{5√3}{3})}

= 5√3/3 unidades

antes de Cristo =\sqrt{(\frac{√3}{6}+\frac{2√3}{3})^2+(\frac{3}{2}-4)}\\ =\sqrt{(5√3/6)^2+(-5/2)^2}\\ =\sqrt{\frac{75}{36}+\frac{25}{4}}\\ =\sqrt{\frac{75}{36}+\frac{225}{36}}\\ =\sqrt{\frac{300}{36}}\\ =\frac{10}{6}√3\\ =\frac{5}{3}√3

C.A. =\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{6}-\sqrt{3})^2+(\frac{3}{2}-4)^2}\\ =\sqrt{(\frac{5\sqrt{3}}{6})^2+(\frac{-5}{2})^2}\\ =\sqrt{\frac{75}{36}+\frac{25}{4}}\\ =\sqrt{\frac{75}{36}+\frac{225}{36}}\\ =\sqrt{\frac{300}{36}}\\ =\sqrt{\frac{10}{6}\sqrt{3}}\\ =\sqrt{\frac{5}{3}\sqrt{3}}

Aquí, AB = BC = AC

Por lo tanto, el triángulo ABC es equilátero

Pregunta 6 (i). Clasifica 2x + y – 1 = 0 y 3x + 2y + 5 = 0 como coincidentes, paralelas o intersecantes.

Solución:

Las ecuaciones de las rectas son:

2x + y – 1 = 0

3x + 2y + 5 = 0

Ahora, al escribir las ecuaciones anteriores en la forma y = mx + c

y = -2x + 1, 

y = -3x/2 – 5/2      

Entonces, la pendiente de ambas ecuaciones es

m1 = -2 y m2 = -3/2

Ahora

m1 ≠ m2 y m1m2 ≠ -1

Por lo tanto, las rectas se cortan 

Pregunta 6(ii). Clasifica x – y = 0 y 3x – 3y + 5 = 0 como coincidentes, paralelas o intersecantes.

Solución:

Las ecuaciones de las rectas son:

x – y = 0

3x – 3y + 5 = 0

Ahora, al escribir las ecuaciones anteriores en la forma y = mx + c

y = x

y = x + 5/3

Entonces, la pendiente de ambas ecuaciones es

m1 = 1 y m2 = 1

Las pendientes de ambas rectas son iguales 

Por lo tanto, las rectas son paralelas.

Pregunta 6 (iii). Clasifica 3x + 2y – 4 = 0 y 6x + 4y – 8 = 0 como coincidentes, paralelos o intersecantes.

Solución:

Las ecuaciones de las rectas son:

3x + 2y – 4 = 0

6x + 4y – 8 = 0

Ahora, al escribir las ecuaciones anteriores en la forma y = mx + c

y = -3x/2 + 2

y = -3x/2 + 2

Entonces, la pendiente de ambas ecuaciones es

m1 = -3/2 y m2 = -3/2

Entonces, m1= m2 = -3/2

Por lo tanto, las rectas son coincidentes. 

Pregunta 7. Encuentra la ecuación de la unión del punto (3, 5) al punto de intersección de las rectas 4x + y – 1 = 0 y 7x – 3y – 35 = 0.

Solución:

Dada la ecuación de las rectas son

4x + y – 1 = 0         …..(1)

7x – 3y – 35 = 0        …..(2)

De la ecuación (1), obtenemos

y = 1 – 4x

Ahora pon el valor de y en la ecuación (2), obtenemos

7x – 3(1 – 4x) – 35 = 0

7x – 3 + 12x – 35 = 0

19x = 38

x = 2

y = 1 – 4x = 1 – 8 = -7

Ahora tenemos que encontrar la ecuación de la recta que une el punto P(2, -7) y Q(3, 5)

La ecuación de la línea PQ es 

y – y 1 = m(x – x 1 )

y-y1 = (  \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} x- x1 )

y – (-7) = \frac{5-(-7)}{3-2}(x-2)

y + 7 = 12(x – 2)

y-12x = -31

12x-y-31 = 0

Por lo tanto, la ecuación de la recta es 12x – y – 31 = 0

Pregunta 8. Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el punto de intersección de las líneas 4x – 7y – 3 = 0 y 3x – 3y + 1 = 0 que tiene intersecciones iguales en los ejes.

Solución:

Dada la ecuación de las rectas son

4x – 7y = 3

2x – 3y = -1

Al resolver las ecuaciones anteriores, obtenemos el punto de intersección,

x = -B, y = -5

Ahora, el punto de intersección de las rectas dadas es (-8, -5) ecuación 

de línea que hace intersecciones iguales (a) en los ejes de coordenadas es,

\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1

x + y = un

-8 – 5 = un

a = -13

Por lo tanto, la ecuación de la línea es x + y = -13

Pregunta 9. Demuestre que el área del triángulo formado por las rectas y = m 1 x, y = m 2 x, y y = c es igual a c 2 /4(√33 + √11), donde m 1 , m 2 son las raíces de la ecuación x 2 + (√3 + 2)x + √3 – 1 = 0.

Solución:

Dada la ecuación de las rectas son

y = metro 1 x         …..(1)

y = metro 2 x          …..(2)

y = c         …..(3)

Al resolver la ecuación (1) y (2), obtenemos A(0, 0)

Al resolver las ecuaciones (1) y (3), obtenemos A(c/m 1 , c)

Al resolver las ecuaciones (2) y (3), obtenemos A(c/m 2 , c)

Ahora encontramos el área del triángulo cuando se dan tres vértices es 

= 1/2(x 2 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 ))

=\frac{1}{2}[|\frac{c^2}{m_1}-\frac{c^2}{m_2}|]=\frac{c^2}{2}[|\frac{m_2-m_1}{m_1m_2}|]

Dado que m 1 y m 2 son raíces de x 2 + (√3 + 2)x + √3 – 1 = 0

Producto de raíces = m 1 m 2 = √3 – 1

|m 2 -m 1 |=\sqrt{(m_2+m_1)^2-4m_1m_2}=\sqrt{(√3+2)^2-4√3+4}

|m 2 -m 1 |=\sqrt{3+4+4√3-4√3+4}=\sqrt{11}

Área = \frac{c^2}{2}[\frac{√11}{√3-1}]

Al racionalizar el denominador, obtenemos 

\frac{c^2}{4}[√33+√11]

Por lo tanto probado

Pregunta 10. Si la línea recta  \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 pasa por el punto de intersección de las líneas x + y = 3 y 2x – 3y = 1 y es paralela a x – y – 6 = 0, encuentra a y b.

Solución:

Dada la ecuación de las rectas son 

x + y = 3  

2x – 3y = 1 

Al resolver ambas ecuaciones obtenemos el punto de intersección (2, 1)

Se da que la recta x/a + y/b = 1 es paralela a la recta x – y – 6 = 0

entonces, la pendiente = 1

Ahora encontramos la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y tiene pendiente = 1 es 

y – y 1 = m(x – x 1 )

y-1 = 1(x-2)

y-1 = x-2

y – x = -2 + 1

y – x = -1

x – y = 1

Al comparar con x/a + y/b = 1, obtenemos

a = 1, b = -1

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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