Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 29 El avión – Ejercicio 29.3

Pregunta 11. Un plano pasa por el punto (1, -2, 5) y es perpendicular a la línea que une el origen con el punto ( $3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ ). Encuentra las formas vectorial y cartesiana de la ecuación del plano.

Solución:

Como sabemos que la ecuación vectorial de un plano que pasa por un punto $\vec{a}$ y es normal a $\vec{n}$ es

$(\vec{r}-\vec{a}).\vec{n}=0$ ….(i)

Aquí, $\vec{a}=\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$

$\vec{n}=\overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{OP}$ = Vector de posición de P – Posición del vector de O

= $(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-(0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k})$

$\vec{n}=(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$

Ahora, pon todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos,

$[\vec{r}-(\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k})](3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=0$

$\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k})(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=0$

$\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-[(1)(3)+(-2)(1)+(5)(-1)]=0$

$\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-[3-2-5]=0$

$\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-[-4]=0$

$\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=-4$ ….(2)

Ahora pon $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ en la ecuación (2), obtenemos

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).(3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=-4$

(x)(3) + (y)(1) + (z)(−1) = -4

3x + y − z = -4

Entonces, esta es la ecuación requerida del plano.

Pregunta 12. Encuentra la ecuación del plano que biseca el segmento de recta que une los puntos (1, 2, 3) y (3, 4, 5) y forma ángulo recto con él.

Solución:

Como sabemos que la ecuación vectorial de un plano que pasa por un punto $\vec{a}$ y es normal a $\vec{n}$ es

$(\vec{r}-\vec{a}).\vec{n}=0$ …..(i)

Aquí, $\vec{a}$ = punto medio de AB

Asi que, $\vec{n}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$

= Posición del vector de A + Posición del vector de B/ 2

= $\frac{\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}}{2}$

= $\vec{a}=\frac{4\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k}}{2}$

$\vec{a}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$

Y, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}$ = Posición del vector de B – Posición del vector de A

= $(3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$

= $3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}-\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$

$\vec{n}=2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

$\vec{r}-(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})=0$

$\vec{r}(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})-[(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})]=0$

$\vec{r}(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})-[(2)(2)+(3)(2)+(4)(2)]=0$

$\vec{r}(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})-[4+6+8]=0$

$\vec{r}(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})=18$ …..(2)

Ahora pon $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ en la ecuación (2), obtenemos

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})=18$

(x)(2) + (y)(2) + (z)(2) = 18

2x + 2y + 2z = 18

o podemos escribir como

x + y + z = 9

Entonces, esta es la ecuación requerida del plano.

Pregunta 13. Muestre que las normales a los siguientes pares de planos son perpendiculares entre sí:

(i) x – y + z – 2 = 0 y 3x + 2y – z + 4 = 0

Solución:

Dadas las ecuaciones de los planos son

x – y + z – 2 = 0 y 3x + 2y – z + 4 = 0

Primero resolvemos, x – y + z – 2 = 0

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=2$

$\vec{r}.\vec{n_1} =2$ …..(i)

Ahora resolvemos, 3x + 2y – z =- 4

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})(3\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=-4$

$\vec{r} (3\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=-4$

$\vec{r}.\vec{n_2} =-4$ …(ii)

Entonces, de las ecuaciones (i) y (ii), concluimos que

$\vec{n_1}$ es normal a la ecuación (i) y $\vec{n_2}$ es normal a la ecuación (ii)

Asi que,

$\vec{n_1}\vec{n_2}$ = $(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}).(3\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})$

= (1)(3) + (-1)(2) + (1)(-1)

=3 – 2 – 1

= 3 – 3 = 0

Por lo tanto, $\vec{n_1}$ es perpendicular a $\vec{n_2}.$

(ii) $\vec{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})=5$ y $\vec{r}.(2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})=5$

Solución:

Dadas las ecuaciones de los planos son

$\vec{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})=5$ y $\vec{r}.(2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})=5$

Así que primero resolvemos, $\vec{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})=5$

$\vec{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})=5$

$\vec{r}.\vec{n_1} =5$ …..(1)

Ahora resolvemos, $\vec{r}.(2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})=5$

$\vec{r}.(2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})=5$

$\vec{r}.\vec{n_2} =5$ ……(2)

Entonces, de las ecuaciones (i) y (ii), concluimos que

$\vec{n_1}$ es normal a la ecuación (i) y $\vec{n_2}$ es normal a la ecuación (ii)

Asi que,

$\vec{n_1}.\vec{n_2}$ = $(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})(2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})$

= (2)(2) + (-1)(-2) + (3)(-2)

= 4 + 2 – 6

= 6 – 6

= 0

Por lo tanto, $\vec{n_1}$ es perpendicular a $\vec{n_2}.$

Pregunta 14. Demostrar que el vector normal al plano 2x + 2y + 2z = 3 tiene la misma inclinación que los ejes coordenados.

Solución:

Ecuación del plano = 2x + 2y + 2z = 3

Asi que,

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})=3$

$\vec{r}.(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})=3$

$\vec{r}.\vec{n} =d$

Entonces, la normal al avión. $\vec{n}=(2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})$

y la relación de dirección de $\vec{n} = 2,2,2$

Entonces, el coseno director de $\vec{n} = \frac{2}{|\vec{n}|} ,\frac{2}{|\vec{n}|},\frac{2}{|\vec{n}|}$ ….(1)

$|\vec{n}|$ = √[(2) ² + (2) ² + (2) ² ]

= √[4 + 4 + 4]

= √12 = 2√3

Ahora pon el valor de |\vec{n}| en la ecuación (1), obtenemos

Coseno director de |\vec{n}| = $\frac{2}{2√3},\frac{2}{2√3},\frac{2}{2√3}$

= $\frac{1}{√3}, \frac{1}{√3}, \frac{1}{√3}$

Entonces, u = 1/√3, v = 1/√3, W = 1/√3

Supongamos que α, β, γ es el ángulo que forma la normal \vec{n} con los ejes coordenados.

Entonces, u = cos α = 1/√3

α = cos ^-1 1/√3 ….(2)

v = cos β = 1/√3

β = cos ^-1 1/√3 ….(3)

w = cos γ = 1/√3

γ = cos ^-1 1/√3 ….(4)

Entonces, de la ecuación (2), (3) y (4), obtenemos

α = β = γ

Por tanto, se demostró que el vector normal al plano 2x + 2y + 2z = 3 tiene la misma inclinación que los ejes coordenados.

Pregunta 15. Encuentra un vector de magnitud 26 unidades normal al plano 12x – 3y + 4y = 1.

Solución:

Dado que,

La ecuación del plano es = 12x – 3y + 4y = 1

y la magnitud = 26 unidades

Asi que,

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})(12\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})=1$

$\vec{r}.\vec{n} =1$

La normal al plano es

$\vec{n}=(12\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})$

$|\vec{n}|$ = √[(12) ² + (-3) ² + (4) ² ]

= √[144 + 9 + 16]

= √169 = 13

Por lo tanto, el vector unitario $\hat{n}$ = $(12\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})/13$

$=\frac{12}{13}\hat{i}-\frac{3}{13}\hat{j}+\frac{4}{13}\hat{k}$

Ahora encontramos un vector normal al plano con magnitud

Asi que,

26 = 26 $\vec{n}$

= 26 $(\frac{12}{13}\hat{i}-\frac{3}{13}\hat{j}+\frac{4}{13}\hat{k})$

= $24\hat{i}-6\hat{j}+8\hat{k}$

Entonces, este es el vector requerido

Pregunta 16. Si la línea trazada desde (4, -1, 2) se encuentra con un plano en ángulo recto en el punto (-10, 5, 4), encuentra la ecuación del plano.

Solución:

Como sabemos que la ecuación vectorial de un plano que pasa por un punto $\vec{a}$ y es normal a $\vec{n}$ es

$(\vec{r}-\vec{a}).\vec{n}$ …..(i)

Aquí, $\vec{a}$ = vector de posición de B

Asi que, $\vec{a}=(-10\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k})$

y $\vec{n}=\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}$ = Posición del vector de B – Posición del vector de A

= $(-10\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k})-(4\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})$

= $-10\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}-4\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$

$\vec{n} = -14\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}$

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

$[\vec{r}-(-10\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k})].(-14\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k})=0$

$\vec{r}(-14\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k})-(-10\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k})(-14\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k})=0$

$\vec{r}(-14\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k})-[(-10)(-14)+(5)(6)+(4)(2)]=0$

$\vec{r}(-14\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k})-[140+30+8]=0$

$\vec{r}(-14\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k})=178$ …..(2)

Ahora pon $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ en la ecuación (2), obtenemos

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).(-14\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k})=178$

(x)(-14) + (y)(6) + (z)(2) = 178

-14x + 6y + 3z = 178

O podemos escribir como

7x – 2y – z = -89

Entonces, esta es la ecuación requerida del plano.

Pregunta 17. Encuentra la ecuación del plano que biseca el segmento de recta que une los puntos (-1, 2, 3) y (3, -5, 6) en ángulo recto.

Solución:

Supongamos que el punto (-1, 2, 3) es el punto A y el punto (3, -5, 6) es el punto B y C es el punto medio de la línea del segmento de línea AB

Como sabemos que la ecuación vectorial de un plano que pasa por un punto $\vec{a}$ y es normal a $\vec{n}$ es

$(\vec{r}-\vec{a}).\vec{n}=0$ …(i)

Aquí, $\vec{a}$ = vector de posición de C

Entonces, $\vec{a}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$ [Porque c es el punto medio de la línea AB]

$\vec{a}=\frac{-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+3\hat{i}-5\hat{k}+6\hat{k}}{2}$

$=\frac{2\hat{i}}{2}-\frac{3\hat{j}}{2}+\frac{9\hat{k}}{2}$

$\vec{a}=\hat{i}-\frac{3}{2}\hat{j}+\frac{9}{2}\hat{k}$

Ahora, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}$ = Vector de posición de B- Vector de posición de A

= $(3\hat{i}-5\hat{j}+6\hat{k})-(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$

= $3\hat{i}-5\hat{j}+6\hat{k}+\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$

= $4\hat{i}-7\hat{j}+3\hat{k}$

$\vec{n}=4\hat{i}-7\hat{j}+3\hat{k}$

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

$[\vec{r}-(\hat{i}-\frac{3}{2}\hat{j}+\frac{9}{2}\hat{k})](4\hat{i}-7\hat{j}+3\hat{k})=0$

$\vec{r}(4\hat{i}-7\hat{j}+3\hat{k})-(\hat{i}-\frac{3}{2}\hat{j}+\frac{9}{2}\hat{k})(4\hat{i}-7\hat{j}+3\hat{k})=0$

$\vec{r}(4\hat{i}-7\hat{j}+3\hat{k})$ = 28 ….(2)

Ahora pon $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ en la ecuación (2), obtenemos

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).(4\hat{i}-7\hat{j}+3\hat{k})= 28$

(x)(4) + (y)(-7) + (z)(3) = 28

4x – 7y + 3z = 28

Entonces, esta es la ecuación requerida del plano.

Pregunta 18. Encuentra las ecuaciones vectoriales y cartesianas del plano que pasa por el punto (5, 2, -4) y es perpendicular a la recta con relaciones de dirección 2, 3, -1.

Solución:

De acuerdo a la pregunta dada

$\vec{a}=5\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}$

$\vec{n}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$

Como sabemos que la ecuación vectorial de un plano que pasa por un punto $\vec{a}$ y es normal a $\vec{n}$ es

$(\vec{r}-\vec{a}).\vec{n}=0$

Asi que,

$[\vec{r}-(5\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k})].(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})=0$

$\vec{r}(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})-(5\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}).(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})=0$

$\vec{r}(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})-10-6-4=0$

$\vec{r}(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})=20$ ….(1)

Para ecuación cartesiana:

Ponga $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ en la ecuación (1), obtenemos

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})=20$

(x)(2) + (y)(3) + (z)(-1) = 20

2x + 3y -z = 20

Entonces, esta es la ecuación requerida del plano.

Pregunta 19. Si O es el origen y las coordenadas de P son (1, 2, -3), entonces encuentra la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a OP.

Solución:

Según la pregunta, un paso normal por el punto O(0, 0, 0) y P (1, 2, -3)

Asi que, $\vec{n}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$

y $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$

Como sabemos que la ecuación vectorial de un plano que pasa por un punto $\vec{a}$ y es normal a $\vec{n}$ es

$(\vec{r}-\vec{a}).\vec{n}=0$

Asi que,

$[\vec{r}-(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})].(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})=0$

$\vec{r}(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})=0$

$\vec{r}(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})-1-4-9=0$

$\vec{r}(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})=14$

Para ecuación cartesiana:

Ponga $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ en la ecuación (1), obtenemos

$(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})=14$

(x)(1) + (y)(2) + (z)(-3) = 14

x + 2y – 3z = 14

Entonces, esta es la ecuación requerida del plano.

Pregunta 20. Si O es el origen y las coordenadas de A son (a, b, c). Encuentre los cosenos directores de OA y la ecuación del plano que pasa por A en ángulo recto con OA.

Solución:

De acuerdo a la pregunta se da que, O es el origen y las coordenadas de A son (a, b, c)

Asi que, $\overrightarrow{OA}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$

Dado que las relaciones de dirección de OA son proporcionales a a, b, c

Entonces, los cosenos directores son:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Entonces la ecuación de la recta es,

$[(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})-(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k})].(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k})=0$

hacha + por + cz = a ² + b ² + c ²

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 29 El avión – Ejercicio 29.3 | conjunto 2

Pregunta 11. Un plano pasa por el punto (1, -2, 5) y es perpendicular a la línea que une el origen con el punto ( $3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ ). Encuentra las formas vectorial y cartesiana de la ecuación del plano.

Pregunta 12. Encuentra la ecuación del plano que biseca el segmento de recta que une los puntos (1, 2, 3) y (3, 4, 5) y forma ángulo recto con él.

Pregunta 13. Muestre que las normales a los siguientes pares de planos son perpendiculares entre sí:

(i) x – y + z – 2 = 0 y 3x + 2y – z + 4 = 0

(ii) $\vec{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})=5$ y $\vec{r}.(2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})=5$

Pregunta 14. Demostrar que el vector normal al plano 2x + 2y + 2z = 3 tiene la misma inclinación que los ejes coordenados.

Pregunta 15. Encuentra un vector de magnitud 26 unidades normal al plano 12x – 3y + 4y = 1.

Pregunta 16. Si la línea trazada desde (4, -1, 2) se encuentra con un plano en ángulo recto en el punto (-10, 5, 4), encuentra la ecuación del plano.

Pregunta 17. Encuentra la ecuación del plano que biseca el segmento de recta que une los puntos (-1, 2, 3) y (3, -5, 6) en ángulo recto.

Pregunta 18. Encuentra las ecuaciones vectoriales y cartesianas del plano que pasa por el punto (5, 2, -4) y es perpendicular a la recta con relaciones de dirección 2, 3, -1.

Pregunta 19. Si O es el origen y las coordenadas de P son (1, 2, -3), entonces encuentra la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a OP.

Pregunta 20. Si O es el origen y las coordenadas de A son (a, b, c). Encuentre los cosenos directores de OA y la ecuación del plano que pasa por A en ángulo recto con OA.

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Pregunta 11. Un plano pasa por el punto (1, -2, 5) y es perpendicular a la línea que une el origen con el punto ( ). Encuentra las formas vectorial y cartesiana de la ecuación del plano.

Pregunta 12. Encuentra la ecuación del plano que biseca el segmento de recta que une los puntos (1, 2, 3) y (3, 4, 5) y forma ángulo recto con él.

Pregunta 13. Muestre que las normales a los siguientes pares de planos son perpendiculares entre sí:

(i) x – y + z – 2 = 0 y 3x + 2y – z + 4 = 0

(ii) y

Pregunta 14. Demostrar que el vector normal al plano 2x + 2y + 2z = 3 tiene la misma inclinación que los ejes coordenados.

Pregunta 15. Encuentra un vector de magnitud 26 unidades normal al plano 12x – 3y + 4y = 1.

Pregunta 16. Si la línea trazada desde (4, -1, 2) se encuentra con un plano en ángulo recto en el punto (-10, 5, 4), encuentra la ecuación del plano.

Pregunta 17. Encuentra la ecuación del plano que biseca el segmento de recta que une los puntos (-1, 2, 3) y (3, -5, 6) en ángulo recto.

Pregunta 18. Encuentra las ecuaciones vectoriales y cartesianas del plano que pasa por el punto (5, 2, -4) y es perpendicular a la recta con relaciones de dirección 2, 3, -1.

Pregunta 19. Si O es el origen y las coordenadas de P son (1, 2, -3), entonces encuentra la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a OP.

Pregunta 20. Si O es el origen y las coordenadas de A son (a, b, c). Encuentre los cosenos directores de OA y la ecuación del plano que pasa por A en ángulo recto con OA.

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Pregunta 11. Un plano pasa por el punto (1, -2, 5) y es perpendicular a la línea que une el origen con el punto ( $3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ ). Encuentra las formas vectorial y cartesiana de la ecuación del plano.

(ii) $\vec{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})=5$ y $\vec{r}.(2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})=5$