Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas – Ejercicio 23.13

Pregunta 1: Encuentra los ángulos entre cada uno de los siguientes pares de líneas rectas.

(yo) 3x+y+12=0 y x+2y-1=0

Solución:

Las ecuaciones dadas de las rectas son,3x + y + 12 = 0, x + 2y -1 = 0

Sean m ₁ ym ₂ las pendientes de estas rectas respectivamente.

Por y = mx +c, obtenemos m ₁ =-3 y m ₂ =-1/2

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Mediante el uso de la fórmula $\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

$\tan\theta=|\frac{(-3+\frac{1}{2})}{1+\frac{3}{2}}|$

⇒ $|\frac{-5/2}{5/2}|$

⇒ 1

Por lo tanto, $\theta=\tan^{-1}(1)$

Los ángulos entre las dos líneas es de 45° .

(ii) 3x-y+5 = 0 y x-3y+1 = 0

Solución:

Las ecuaciones dadas de las rectas son 3x – y + 5 = 0, x – 3y +1 = 0

Sean m ₁ y m ₂ las pendientes de estas rectas respectivamente.

Por y = mx +c, obtenemos m ₁ =3 y m ₂ =1/3

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Lo sabemos, $\tan\theta=|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

$\tan\theta=|\frac{(3-\frac{1}{3})}{1+1}|$

⇒ $\frac{4}{3}$

Por lo tanto, $\theta=\tan^{-1}(\frac{4}{3})$

El ángulo entre las dos rectas es $\tan^{-1}(\frac{4}{3})$

(iii) 3x+4y -7 = 0 y 4x-3y+5 = 0

Solución:

Las ecuaciones dadas de las rectas son 3x + 4y – 7 = 0, 4x – 3y+5 = 0

Sean m ₁ ym ₂ las pendientes de estas rectas respectivamente.

Por y= mx +c, obtenemos m ₁ = $\frac{-3}{4}$ y m ₂ = $\frac{4}{3}$

Aquí, si observamos cuidadosamente, m ₁ m ₂ = -1 , lo que significa

A partir de la fórmula , $\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ el denominador se convertirá en 0,

Por lo tanto $\tan\theta=\infty$ , $\theta=\tan^{-1}(\infty)$

El ángulo entre las dos líneas es de 90°.

(iv) x-4y = 3 y 6x-y = 11

Solución:

Las ecuaciones dadas de las líneas son x – 4y =3, 6x – y =11

Sean m ₁ ym ₂ las pendientes de estas rectas respectivamente.

Por y = mx +c, obtenemos , m ₁ = 1/4 y m ₂ = 6

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Lo sabemos, $\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

⇒ $|\frac{\frac{1}{4}-6}{1+\frac{3}{2}}|$

⇒ $|\frac{\frac{-23}{4}}{\frac{5}{2}}|$

⇒ $\frac{23}{10}$

Por lo tanto, $\theta=\tan^{-1}(\frac{23}{10})$

El ángulo entre las dos rectas es $\tan^{-1}(\frac{23}{10})$

(v) (m ² -mn)y = (mn+n ² )x + n ³ y (mn+m ² )y = (mn-n ² )x + m ³

Solución:

Dadas dos rectas, sean m ₁ ym ₂ las pendientes de estas rectas.

Por y = mx +c, obtenemos m ₁ = $\frac{mn+m^2}{m^2-mn}$ y m ₂ = $\frac{mn-n^2}{m^2+mn}$

Sea θ el ángulo entre dos rectas,

Lo sabemos $\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

⇒ $|\frac{\frac{mn+n^2}{m^2-mn}-\frac{mn-n^2}{m^2+mn}}{1+\frac{(mn+n^2)(mn-n^2)}{{(m^2-nm)(m^2+mn)}}}|$

⇒ $|\frac{(m^3n+m^2n^2+m^2n^2+m^3n-mn^3+m^2n^2+m^2n^2-mn^3)}{(m^4-n^4)}|$

⇒ $\frac{4m^2n^2}{m^4-n^4}$

Por lo tanto, el ángulo entre dos rectas es $\tan^{-1}(\frac{4m^2n^2}{m^4-n^4})$ .

Pregunta 2: Encuentra el ángulo agudo entre las líneas 2x-y+3 = 0 y x+y+2 = 0

Solución:

Sean m ₁ ym ₂ las pendientes de estas dos rectas

Por y = mx +c, obtenemos m ₁ =2 y m ₂ =-1

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Lo sabemos, $\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

⇒ $|\frac{2-(-1)}{(1-2)}|$

⇒ $|\frac{3}{(-1)}|$

Aquí necesitamos un ángulo agudo, $\tan\theta$ es positivo si el ángulo es agudo y negativo si es obtuso.

Por lo tanto, $\theta=\tan^{-1}(3)$ .

El ángulo agudo entre las dos rectas es $\tan^{-1}(3)$ .

Pregunta 3: Demuestra que los puntos (2, -1), (0, 2), (2, 3) y (4, 0) son las coordenadas de los vértices de un paralelogramo y encuentra el ángulo entre sus diagonales.

Solución:

Sean los puntos dados A = (2,-1), B = (0, 2), C = (2, 3) y D = (4, 0) son coordenadas de un paralelogramo.

Para que estos puntos formen un paralelogramo, es necesario que cualquier par de dos rectas formadas por estos puntos sean paralelas entre sí .

Entonces, ahora encontremos las pendientes de las líneas AB, BC, CD, DA usando la fórmula $m =\frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}$

Pendiente de línea $AB = \frac{-3}{2}$

Pendiente de línea $BC =\frac{1}{2}$

Pendiente de línea $CD = \frac{-3}{2}$

Pendiente de línea $DA = \frac{1}{2}$

Como las líneas AB son paralelas a CD y BC son paralelas a DA , los puntos forman un paralelogramo.

Ahora, Ángulo entre las diagonales del paralelogramo = Ángulo entre las rectas AC y BD.

Sean m ₁ ym ₂ las pendientes de estas rectas,

De la figura, el ángulo entre las diagonales $∅ = \tan^{-1}(\frac{-1}{2})-90°$

Lo sabemos $\tan^{-1}\theta+\tan^{-1}-\theta=\pi$

⇒ $∅=180°-\tan^{-1}(\frac{1}{2})-90°=90°-\tan^{-1}(\frac{1}{2})$

Por lo tanto, el ángulo entre las diagonales es $\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}(\frac{1}{2})$

Pregunta 4: Encuentra los ángulos entre la línea que une los puntos (2, 0), (0, 3) y la línea x + y = 1.

Solución:

Sea la pendiente de la recta que une los puntos (2, 0) y (0, 3) m ₁ = -3/2

pendiente de la recta m ₂ =-1

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Lo sabemos, $\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

⇒ $|\frac{\frac{-3}{2}+1}{1+\frac{3}{2}}|$

⇒ $\frac{1}{5}$

Por tanto, el ángulo agudo entre la recta y la recta que une los puntos es $\tan^{-1}(\frac{1}{5})$

Pregunta 5: Si θ es el ángulo que subtiende en el origen la recta que une los puntos (x1,y1)y (x2,y2), demostrar que $\tan\theta=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_1x_2+y_1y_2}$ y $\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^1)(x_2^2+y_2^2)}}$

Solución:

Sean los puntos A = (x ₁ , y ₁ ), B = (x ₂ , y ₂ ) y origen O = (0, 0)

Las pendientes de las rectas que unen OA y OB son m ₁ = y ₁ /x ₁ y m ₂ = y ₂ /x ₂

Sea θ el ángulo entre las rectas OA y OB.

Lo sabemos, $\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

⇒ $|\frac{(\frac{y_1}{x_1}-\frac{y_2}{x_2})}{(1+\frac{y_1y_2}{x_1x_2}}|$

Por lo tanto, $\tan\theta=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_1x_2+y_1y_2}$

Por la fórmula $\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$ , obtenemos $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}$

Sustituyendo Tanθ de la ecuación anterior, obtenemos,

$\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^1)(x_2^2+y_2^2)}}$

Por lo tanto, por lo tanto probado.

Pregunta 6: Demuestra que las rectas(a+ b)x+(a – b)y=2ab, (a – b)x+(a + b)y=2ab y x + y=0 forman un triángulo isósceles cuyo ángulo vertical es $2\tan^{-1}(\frac{a}{b})$

Solución:

Sean m1, m2, m3 las pendientes de las rectas dadas respectivamente.

metro ₁ = $\frac{-(a+b)}{a-b}$ , metro ₂ = $\frac{-(a-b)}{a+b}$ y metro ₃ = -1

Sean θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ los ángulos entre las rectas

Ahora, $\tan\theta_1$ = $|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

⇒ $|\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{2(a^2-b^2)}|$

⇒ $|\frac{2ab}{a^2-b^2}|$ ⇒ $|\frac{2\frac{a}{b}}{1-(\frac{a}{b})^2}|$

Sabemos que $\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ , usando esta ecuación anterior

⇒ $\theta_1=2\tan^{-1}(\frac{a}{b})$

$\tan\theta_2$ = $|\frac{m_2 - m_3}{1 + m_2m_3}|$

⇒ $\frac{(-a + b +a + b)}{2a}⇒\frac{a}{b}$

⇒ $\theta_2=\tan^{-1}(\frac{b}{a})$

$\tan\theta_3$ = $|\frac{m_3 - m_1}{1 + m_3m_1}|$

⇒ $\frac{(-a + b +a + b)}{2a}⇒\frac{a}{b}$

⇒ $\theta_3=\tan^{-1}(\frac{b}{a})$

Aquí, el ángulo θ ₂ y θ ₃ son iguales, y θ ₁ es el ángulo vertical

Por lo tanto, las líneas dadas forman un triángulo isósceles con ángulo vertical $2\tan^{-1}(\frac{a}{b})$

Pregunta 7: Encuentra el ángulo entre las líneas x = a, por + c = 0

Solución:

Las líneas dadas tienen la forma de x = constante y y = constante respectivamente

donde x=c y y= -c/b

x = la línea c es paralela al eje y ya que no hay coeficiente y

y $y=\frac{-c}{b}$ es paralelo al eje x ya que no hay coeficiente x

Por lo tanto, el ángulo entre las dos líneas es de 90°

Pregunta 8: Encuentra la tangente del ángulo entre las líneas que tienen intersecciones 3, 4 y 1, 8 en los ejes respectivamente.

Solución:

La ecuación de la línea que tiene intersecciones a, b en los ejes x e y es $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Por lo tanto, la recta con intersecciones 3,4 es $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

y la línea con intersecciones 1, 8 es $\frac{x}{1}+\frac{y}{8}=1$

sean ₁ y m ₂ las pendientes de estas rectas,

m ₁ = $\frac{-4}{3}$ y m ₂ = -8

Ahora, sea θ el ángulo entre las rectas,

$\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

⇒ $|\frac{\frac{-4}{3}+8}{1+\frac{32}{3}}|$

⇒ $\frac{20}{35}$ ⇒ $\frac{4}{7}$

Por lo tanto, la tangente del ángulo entre las rectas es 4/7

Pregunta 9: Muestre que la línea a ² x+ay+1 = 0 es perpendicular a la línea x-ay = 1

Solución:

Sean m ₁ ym ₂ las pendientes de las rectas dadas,m ₁ =-a ym ₂ =1/a

Aquí, si observamos cuidadosamente,m ₁ m ₂ =-1, lo que significa

De la fórmula $\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ , el denominador se convertirá en 0 ,

Por lo tanto, $\tan\theta = \infty$ , $\theta = \tan^{-1}(\infty)\ ⇒ 90°$ .

El ángulo entre las dos líneas es de 90° y son perpendiculares entre sí.

Por lo tanto, Por lo tanto probado.

Pregunta 10: Muestre que la tangente de un ángulo entre las rectas $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ y $\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1$ es $\frac{2ab}{a^2-b^2}$ .

Solución:

Líneas dadas, $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ⇒ $bx + ay = ab$

$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ ⇒ $bx-ay = ab$

Sean las pendientes de estas rectas m ₁ ym ₂ respectivamente.

$m_1=\frac{-b}{a}$ y $m_2=\frac{b}{a}$

Ahora, sea θ el ángulo entre las rectas,

$\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$

⇒ $|\frac{\frac{-b}{a}-\frac{b}{a}}{1 + \frac{b^2}{a^2}}|$

⇒ $| \frac{2ab}{{a^2}-{b^2}}|$

Por lo tanto, la tangente del ángulo entre las rectas es $\frac{2ab}{a^2-b^2}$

Por lo tanto, probado.

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Artículo escrito por srinivasteja18 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1: Encuentra los ángulos entre cada uno de los siguientes pares de líneas rectas.

(yo) 3x+y+12=0 y x+2y-1=0

(ii) 3x-y+5 = 0 y x-3y+1 = 0

(iii) 3x+4y -7 = 0 y 4x-3y+5 = 0

(iv) x-4y = 3 y 6x-y = 11

(v) (m 2 -mn)y = (mn+n 2 )x + n 3 y (mn+m 2 )y = (mn-n 2 )x + m 3

Pregunta 2: Encuentra el ángulo agudo entre las líneas 2x-y+3 = 0 y x+y+2 = 0

Pregunta 3: Demuestra que los puntos (2, -1), (0, 2), (2, 3) y (4, 0) son las coordenadas de los vértices de un paralelogramo y encuentra el ángulo entre sus diagonales.

Pregunta 4: Encuentra los ángulos entre la línea que une los puntos (2, 0), (0, 3) y la línea x + y = 1.

Pregunta 5: Si θ es el ángulo que subtiende en el origen la recta que une los puntos (x1,y1)y (x2,y2), demostrar que y

Pregunta 6: Demuestra que las rectas(a+ b)x+(a – b)y=2ab, (a – b)x+(a + b)y=2ab y x + y=0 forman un triángulo isósceles cuyo ángulo vertical es

Pregunta 7: Encuentra el ángulo entre las líneas x = a, por + c = 0

Pregunta 8: Encuentra la tangente del ángulo entre las líneas que tienen intersecciones 3, 4 y 1, 8 en los ejes respectivamente.

Pregunta 9: Muestre que la línea a 2 x+ay+1 = 0 es perpendicular a la línea x-ay = 1

Pregunta 10: Muestre que la tangente de un ángulo entre las rectas y es .

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(v) (m ² -mn)y = (mn+n ² )x + n ³ y (mn+m ² )y = (mn-n ² )x + m ³

Pregunta 5: Si θ es el ángulo que subtiende en el origen la recta que une los puntos (x1,y1)y (x2,y2), demostrar que $\tan\theta=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_1x_2+y_1y_2}$ y $\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^1)(x_2^2+y_2^2)}}$

Pregunta 6: Demuestra que las rectas(a+ b)x+(a – b)y=2ab, (a – b)x+(a + b)y=2ab y x + y=0 forman un triángulo isósceles cuyo ángulo vertical es $2\tan^{-1}(\frac{a}{b})$

Pregunta 9: Muestre que la línea a ² x+ay+1 = 0 es perpendicular a la línea x-ay = 1

Pregunta 10: Muestre que la tangente de un ángulo entre las rectas $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ y $\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1$ es $\frac{2ab}{a^2-b^2}$ .