Declaraciones condicionales e implicaciones: razonamiento matemático | Clase 11 Matemáticas

En general, las declaraciones condicionales son declaraciones si-entonces en las que p se denomina hipótesis (o antecedente o premisa) y q se denomina conclusión (o consecuencia). Sentencias condicionales simbolizadas por p, q. Un enunciado condicional p -> q es falso cuando p es verdadero y q es falso, y verdadero en caso contrario. 

¿Qué son las proposiciones?

Una proposición es un enunciado declarativo que es verdadero o falso, pero no ambos.

Ejemplos:

• Delhi es la capital de la India
• 1 + 1 = 2
• 2 + 2 = 4

Sean p y q proposiciones. 

• El enunciado condicional p -> q es la proposición “si p, entonces q”. 
• El enunciado condicional p -> q es falso cuando p es verdadero y q es falso y verdadero en todos los demás casos.

Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de las implicaciones:

pags	q	pag -> q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Se utiliza una variedad de terminología para expresar p -> q

• si p entonces q
• “si p, q”
• “q si p”
• “q cuando p”
• “q a menos que p”
• “p implica q”
• “p solo si q”
• “q siempre que p”
• “q se sigue de p”

Las declaraciones condicionales también se llaman implicaciones. El enunciado es una implicación p -> q se llama su hipótesis, yq la conclusión.

Ejemplo: Sea p la afirmación “María aprenderá a programar en Java” y q la afirmación “María encontrará un buen trabajo”. ¿Expresar el enunciado p -> q como enunciado en inglés?

Solución: 

“Si María aprende a programar en Java, encontrará un buen trabajo”.

                                                                             o

“María encontrará un buen trabajo cuando aprenda a programar en Java”.

Recíproco, Contrapositivo e Inverso

Podemos formar algunas declaraciones condicionales nuevas comenzando con una declaración condicional p -> q. 

1. El recíproco de p -> q es la proposición q -> p .
2. La contrapositiva de p -> q es la proposición ~q -> ~p .
3. El inverso de p -> q es la proposición ~p -> ~q .

Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de Inverso, Contrapositivo e Inverso:

pags	q	~ pag	~ q	pag -> q	~ q -> ~ p
T	T	F	F	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

Nota: La contrapositiva siempre tiene el mismo valor de verdad que p -> q. Cuando dos proposiciones compuestas tienen siempre el mismo valor de verdad las llamamos equivalentes, por lo que el enunciado condicional y su contrapositiva son equivalentes. El recíproco y el inverso de un enunciado condicional también son equivalentes.

Ejemplo 1: Muestre que p -> q y su contrapositivo ~q -> ~p son lógicamente equivalentes.

Solución:

pags	q	~ pag	~ q	pag -> q	~ q -> ~ p
T	T	F	F	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

Como p ->q es igual a ~q -> ~p, entonces ambas proposiciones son equivalentes. 

Ejemplo 2: Muestre que la proposición q -> p, y ~p -> ~q no es equivalente a p -> q.

Solución:

pags	q	~ pag	~ q	pag -> q	q -> p	~p -> ~q
T	T	F	F	T	T	T
T	F	F	T	F	T	T
F	T	T	F	T	F	F
F	F	T	T	T	T	T

En este caso, p -> q no es igual a q -> p y ~p -> ~q, por tanto no son iguales a p -> q pero ellos mismos son iguales.

Ejemplo 3: ¿Cuál es el contrapositivo, el recíproco y el inverso del enunciado condicional “El equipo de casa gana siempre que llueve”?

Solución:

Porque “q siempre que p” es una forma de expresar enunciados condicionales p -> q.

Oración original:

“Si está lloviendo, entonces gana el equipo de casa”.  

• Contrapositivo: “Si el equipo de casa no gana, entonces no llueve”.
• Inversa: “Si gana el equipo de casa, entonces está lloviendo”.
• Inversa: “Si no llueve, el equipo de casa no gana”.

Ejemplo 4: ¿Cuáles son el contrapositivo, el inverso y el inverso de la declaración condicional «Si la imagen es un triángulo, entonces tiene tres lados»?

Solución:

• Contrapositivo: “Si la imagen no tiene tres lados, entonces no es un triángulo”.
• Recíproco: “Si la imagen tiene tres lados, entonces es un triángulo”.
• Inversa: “Si la imagen no es un triángulo, entonces no tiene tres lados”.

Bicondicional o Equivalencia

• Ahora presentamos otra forma de combinar proposiciones que expresan que dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
• Sean p y q proposiciones.
• El enunciado bicondicional p <-> q son las proposiciones “p si y solo si q”
• El enunciado bicondicional p <-> q es verdadero cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y es falso en caso contrario.
• Las declaraciones bicondicionales también se llaman bi-implicaciones.
• Hay algunas formas comunes de expresar p<->q
• “p es necesario y suficiente para q”
• “si p entonces q, y viceversa”
• “p si q”.

Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de Bicondicional:

pags	q	pag <-> q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Ejemplo: ¿Cuál es el bicondicional de las siguientes oraciones? Sea p el enunciado “Puedes tomar el vuelo” y q sea el enunciado “Compras un boleto”.

Solución:

p <-> q es “Puedes tomar el vuelo si y solo si compras un boleto”