Derivada de Funciones en Formas Paramétricas

Las derivadas de las funciones expresan la tasa de cambio en las funciones. Sabemos cómo calcular las derivadas de funciones estándar. La regla de la string, la regla del producto y la regla de la división se utilizan para calcular las derivadas de las funciones complejas que se componen de la composición de dos o más funciones. Estas funciones tienen dos variables que están relacionadas entre sí de manera implícita o explícita. A veces nos encontramos con funciones en las que las variables no están relacionadas entre sí implícita o explícitamente, sino que están relacionadas entre sí a través de una tercera variable. Veamos cómo calcular las derivadas de tales funciones en detalle.

¿Cómo encontrar derivadas de funciones en formas paramétricas?

Digamos que tenemos dos variables x e y, por lo general, dichas variables están relacionadas entre sí de manera implícita o explícita. Pero en algunos casos, estas variables se relacionan entre sí a través de una tercera variable. Esta forma se llama forma paramétrica de la ecuación y la variable se llama parámetro.

x = f(t) y y = g(t) aquí, t es un parámetro.

La derivada de tales funciones viene dada por la regla de la string,

$\frac{dy}{dt}$ = $\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ lo que sea $\frac{dx}{dt} \ne 0$

Así, $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{g'(t)}{f'(t)}$ (como $\frac{dy}{dx} = g'(t)$ y $\frac{dx}{dt} = f'(t)$ )

Problemas de muestra

Pregunta 1: Halla $\frac{dy}{dx}$ , si x = acos( $\theta$ ) , y = asen( $\theta$ ).

Solución:

x = acos(θ) y y = asen(θ)

$\frac{dx}{d\theta} = -sin(\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = acos(\theta)$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{acos(\theta)}{-asin(\theta)}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = -cot(\theta)$

Pregunta 2: Halla $\frac{dy}{dx}$ , si x = acos ² ( $\theta$ ) , y = asen ² ( $\theta$ ).

Solución:

x = acos ² ( $\theta$ ) , y = asen ² ( $\theta$ )

$\frac{dx}{d\theta} = -2acos(\theta)sin(\theta)$

$\frac{dx}{d\theta} = 2acos(\theta)sin(\theta)$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{-2acos(\theta)sin(\theta)}{2acos(\theta)sin(\theta)}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = -1$

Pregunta 3: Encuentre $\frac{dy}{dx}$ , si x = en ² + 2t, y = t en t = 0.

Solución:

x = en ² + 2t, y = t

$\frac{dx}{dt} = 2at + 2$

$\frac{dy}{dt} = 2$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2at + 2}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{ 2}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = 1$

Pregunta 4: Encuentre $\frac{dy}{dx}$ , si x = en ³ + 2t ² , y = t ² en t = 1.

Solución:

x = en ³ + 2t ² , y = t ²

$\frac{dx}{dt} = 3at^2 + 4t$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{3at^2 + 4}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3a + 4}$

Pregunta 5: Encuentra $\frac{dy}{dx}$ , si x = 4t, y = $\frac{1}{t}$ en t = 1.

Solución:

x = 4t, y = $\frac{1}{t}$

$\frac{dx}{dt} = 4$

$\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{t^2}$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{1}{t^2}}{4}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4t^2}$

En t = 1

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4}$

Pregunta 6: Encuentra $\frac{dy}{dx}$ , si x = 4e ^t , y = cos(t) en t = 1.

Solución:

x = 4e ^t , y =cos(t)

$\frac{dx}{dt} = 4e^t$

$\frac{dy}{dt} = -sin(t)$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{-sin(t)}{4e^t}$

En t = 1

⇒ $\frac{dy}{dx} = -\frac{sin(1)}{4e}$

Pregunta 7: Encuentre $\frac{dy}{dx}$ , si x = e ^t + sin(t), y = t ² , at = 0.

Solución:

x = e ^t + sen(t), y =t ²

$\frac{dx}{dt} = e^t + cos(t)$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{e^t + cos(t)}$

En t = 0

⇒ $\frac{dy}{dx} = 0$

Pregunta 8: Encuentre $\frac{dy}{dx}$ , si x = tsin(t), y = cos(t), en t = $\frac{\pi}{2}$ .

Solución:

x = tsen(t), y = cos(t)

$\frac{dx}{dt} = tcos(t) + sin(t)$

$\frac{dy}{dt} = -sin(t)$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{-sin(t)}{tcos(t) + sin(t)}$

en t = $\frac{\pi}{2}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{-sin(\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2}cos(\frac{\pi}{2}) + sin(\frac{\pi}{2})}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = -1$

Pregunta 9: Encuentra $\frac{dy}{dx}$ , si x = 4t ² + 10, y =t ² en t = 1.

Solución:

x = 4t ² + 10, y = t ²

$\frac{dx}{dt} = 8t$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{8t}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}$

En t = 1

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}$

Pregunta 10: Encuentre $\frac{dy}{dx}$ , si x = en ² , y = 2 en t = 1.

Solución:

x = en ² , y = 2 en

$\frac{dx}{dt} = 2at$

$\frac{dy}{dt} = 2a$

Ahora, averigüemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t}$

En t = 1

$\frac{dy}{dx} = 1$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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