Ecuaciones diferenciales – Part 1

Las ecuaciones diferenciales entran en juego en una variedad de aplicaciones como la física, la química, la biología y la economía, etc. Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona alguna función con sus derivadas. En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación define una relación entre las dos. Definamos formalmente ¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra las derivadas de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Por ejemplo

$\frac{d^{2}y}{dx} + x = 0$

Aquí, x es la variable independiente e y es la variable dependiente.

Una ecuación diferencial que incluye derivadas con respecto a una sola variable independiente se llama ecuación diferencial ordinaria. También existen algunas ecuaciones diferenciales que tienen derivadas con respecto a más de una variable independiente, se denominan ecuaciones diferenciales parciales.

Ejemplo: $2\frac{d^{2}y}{dx} + 3\frac{dy}{dx} + 1 = 0$ una ecuación diferencial ordinaria.

Nota: Las siguientes notaciones también se utilizan para denotar derivados de orden superior.

$y' = \frac{dy}{dx} = y_{1}$

$y''' = \frac{d^{3}y}{dx} = y_{3}$

Orden de una Ecuación Diferencial

El orden de las ecuaciones diferenciales es el orden más alto de la derivada presente en las ecuaciones.

Por ejemplo:

$x + \frac{dy}{dx} = 3$ . Tiene un orden de 1.
$\frac{d^{2}y}{dx} + sinxcosx = 10$ . Tiene un orden de 2.
$\frac{d^{3}y}{dx} + \frac{d^{2}y}{dx} + x^{3} + 5 = 0$ . Tiene un orden de 3.

Grado de ecuación diferencial

El grado de una ecuación diferencial (cuando es una ecuación polinomial en derivadas) es la potencia más alta (índice integral positivo) de la derivada de mayor orden involucrada en la ecuación diferencial dada.

Ejemplo: $(\frac{dy}{dx})^{2} +\frac{d^{2}y}{dx} + 5 = 0$ . En esta ecuación, la derivada de mayor grado tiene potencia de 1. Entonces, el orden de la ecuación diferencial es 1.

Nota: No siempre es necesario que el grado y el orden de una ecuación diferencial sean iguales, sino que ambos deben ser positivos.

Solución general y particular de la ecuación diferencial

Considere una ecuación diferencial,

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0$

La solución de esta ecuación diferencial es una función $\phi$ que la satisfaga, es decir, cuando se sustituye la incógnita “y” por una función \phi. LHS se vuelve igual a RHS

La curva $y = \phi(x)$ se llama solución de la ecuación diferencial. Digamos que esta función es,

$y = \phi(x) = a cos(x + b)$

Cuando esta función y sus derivadas se sustituyen en la ecuación diferencial, la ecuación se cumple.

Supongamos que le dimos algunos valores a «a» y «b», donde a = 2 yb = -1. Entonces la ecuación se convierte en,

$y = \phi_{1}(x) = 2 cos(x -1 )$

Esto se llama solución particular y la solución que consiste en valores arbitrarios de a y b se llama solución general.

Formación de una ecuación diferencial cuya solución general se da

Veamos los pasos/procedimiento para formar una ecuación diferencial a partir de una solución general:

Si una familia de curvas depende solo de un parámetro, entonces se representa mediante una ecuación que se puede escribir de la forma F(x, y, a) = 0. Al derivar esta ecuación con x, obtenemos una ecuación en y’, y, xya que se pueden representar como g(x, a, y, y’) = 0. Ahora, la ecuación diferencial se puede formar eliminando el parámetro “a” de ambas ecuaciones.
Si una familia de curvas depende de dos parámetros “a” y “b”, entonces se representa mediante una ecuación que se puede escribir de la forma F(x, y, a, b) = 0. Derivando esta ecuación con x nos da una ecuación en y’, y, x, a y b que se puede representar como g(x, a, b, y, y’) = 0. No podemos eliminar «a» y «b» de esas dos ecuaciones . Entonces, derivaremos la ecuación nuevamente para obtener g(x, a, b, y, y’, y”) = 0. Ahora, la ecuación diferencial se puede formar eliminando el parámetro “a” y “b” de todos tres de estas ecuaciones.

Veamos estos pasos a través de ejemplos,

Pregunta 1: Forme la ecuación diferencial que representa la familia de curvas y = mx, donde m es una constante arbitraria.

Solución:

Tenemos y = mx,

Diferenciándolo por ambos lados,

$\\ \frac{dy}{dx} = m,$

Sustituyendo el valor de m en la ecuación original,

$y = \frac{dy}{dx}x \\ y - \frac{dy}{dx}x = 0$

Pregunta 2: Forme la ecuación diferencial que representa la familia de elipses que tienen focos en el eje x y centro en el origen.

Solución:

Ecuación de elipses con focos en el eje x y centro en el origen,

$\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Ecuaciones en derivadas con x,

$\\ \frac{2x}{a^2} + \frac{2ydy}{b^2dx } = 0 \\ \frac{y}{x}(\frac{dy}{dx}) = \frac{-b^{2}}{a^{2}}$

Diferenciando ambos lados nuevamente obtenemos,

$\\ xy\frac{d^2y}{dx^2} + x(\frac{dy}{dx})^2 -y\frac{dy}{dx} = 0$

Esta es la ecuación diferencial requerida.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una función f(x, y) se llama función homogénea de grado n si,

F(ax, ay) = a ⁿ F(x, y)

para cualquier constante «a».

Una ecuación diferencial de la forma $\frac{dy}{dx} = F(x,y)$ se llama homogénea si F(x, y) es una función homogénea de grado cero.

Pregunta: Comprobar si la ecuación diferencial, $(x-y)\frac{dy}{dx} = x + 2y$ es homogénea.

Solución:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x + 2y}{x - y}$

Dejar,

$\\ F(x,y) = \frac{x + 2y}{x-y}$

Sea a una constante,

$\\ F(ax,ay) = \frac{ax + 2ay}{ax - ay}\\ = \frac{x + 2y}{x - y}a^{0}\\ = a^{0}F(x,y)$

Como esta función es homogénea, la ecuación diferencial también es homogénea.

Ecuación diferencial variable separable

Considere una ecuación diferencial de primer orden de la forma,

$\frac{dy}{dx} = F(x,y)$

Si F(x, y) se puede expresar como h(x)g(y) donde h(x) es una función de x y g(x) es una función de y. Entonces la ecuación se llama ecuación diferencial de tipo variable separable. La ecuación diferencial tiene la forma,

$\frac{dy}{dx} = h(x)g(x)$

Pregunta: Encuentre la solución general de la ecuación diferencial,

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{2-y} (y \ne 2)$

Solución:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{2-y} \\ (2 - y)dy = (x +1)dx \\ \int (2 - y)dy = \int (x + 1)dx \\ 2y - \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + x + C \\ 4y - y^2 -x^2 -4x = C$

Solución a una ecuación diferencial lineal

Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que se puede hacer de esta forma:

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

donde P(x) y Q(x) son las funciones de x. Se resuelve usando un enfoque especial:

Haz dos nuevas funciones de x, llámalas u y v, y di que y = uv.
Luego resuelve para encontrar u, y luego v.

Procedimiento paso a paso:

Paso 1: Sustituye y = uv, y

$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$

dentro,

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

Paso 2: Ahora, se deben factorizar las partes que tienen “v”.

Paso 3: Ponga el término v igual a cero (esto da una ecuación diferencial en u y x que se puede resolver en el siguiente paso) Ponga el término v igual a cero (esto da una ecuación diferencial en u y x que se puede resolver en el siguiente paso)

Paso 4: Resuelva «u» y luego vuelva a colocarlo en la ecuación para encontrar «v».

Paso 5: Finalmente y = uv es la solución.

Veamos un ejemplo para entenderlo mejor,

Pregunta: Resolver $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = 1$

Solución:

Esta es una ecuación lineal. Vamos a traerlo en la forma indicada anteriormente.

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

Aquí, P(x) = -1/x y Q(x) = 1.

Entonces, sigamos los pasos dados anteriormente. Sustituye y = uv en la ecuación. Entonces la ecuación se convierte en,

$u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} - \frac{uv}{x} = 1 \\ = u\frac{dv}{dx} + v(\frac{du}{dx} - \frac{u}{x}) = 1$

Ponga las partes que involucran «v» igual a cero.

$\frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = 0\\ = \frac{du}{u} = \frac{dx}{x} \\ = \int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} \\ = ln(u) = ln(x) + C \\ = ln(u) = ln(x) + ln(k) \\ = ln(u) = ln(xk) \\ = u = xk$

Sustituyendo «u» de nuevo en la ecuación.

$kx\frac{dv}{dx} = 1$

Ahora, resolvamos esto para encontrar «v».

$kx\frac{dv}{dx} = 1 \\ = dv = \frac{1}{k}\frac{dx}{x}\\ = \int dv = \int \frac{1}{k}\frac{dx}{x} \\ = v = \frac{ln(x)}{k} + ln(c) \\ = v= \frac{ln(xc)}{k}$

Sustituye «u» y «v» en las ecuaciones y = uv.

$y = uv \\ = kx \frac{1}{k}ln(cx)\\ = xln(cx)$

Entonces, esta es la solución para esta ecuación diferencial.

Escribir una ecuación diferencial

Ahora pasemos a modelar una ecuación diferencial. El modelado es el proceso de escribir una ecuación diferencial que describe una situación física. Veremos cómo modelar ecuaciones diferenciales de primer orden, modelar órdenes más complejos está fuera del alcance en este nivel de estudio.

Ejemplo: Modelo de Cuenta de Ahorros

Escriba x(t) para la cantidad de dólares en la cuenta en el momento t. Devenga intereses a una tasa de interés r. La tasa de interés tiene unidades de porcentaje/año. Cuanto más dinero haya en la cuenta, más interés ganará. Al final de un período de interés de Δt años (por ejemplo, Δt = 1/12, o Δt = 1/365), el banco agrega “rx(t)·Δt” dólares a su cuenta. Esto significa que el cambio Δx en su cuenta es

Δx = rx(t).Δt

r tiene unidades de (años) ⁻¹ . A los matemáticos ya algunos banqueros les gusta llevar las cosas al límite. Reescriba nuestra ecuación como $\frac{Δx}{\Delta t} = rx(t)$ , y suponga que el período de interés se hace cada vez más pequeño. En el límite como Δt → 0, obtenemos la ecuación diferencial

$\dot{x} = rx$

Ahora supongamos que hacemos aportes a esta cuenta de ahorros. Registraremos esto dando la tasa de ahorro, q. Esta tasa tiene unidades de dólares por año, por lo que si contribuye todos los meses, los pagos mensuales serán q Δt con Δt = 1/12. Este pago también se suma a su cuenta, por lo que, cuando dividimos por Δt y tomamos el límite, obtenemos

$\dot{x} = rx + q.$

Esta es una ecuación diferencial lineal.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Orden de una Ecuación Diferencial

Grado de ecuación diferencial

Solución general y particular de la ecuación diferencial

Formación de una ecuación diferencial cuya solución general se da

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Ecuación diferencial variable separable

Solución a una ecuación diferencial lineal

Escribir una ecuación diferencial

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