Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 29 El avión – Ejercicio 29.11

Pregunta 14. Encuentra la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x – 2y + z = 1 y 2x + y + z = 8 y paralelo a la recta con relaciones de dirección proporcionales a 1, 2, 1. Además, encuentra la distancia perpendicular de (1, 1, 1) desde este plano.

Solución:

Como sabemos que la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de dos planos es

(un ₁ X + segundo ₁ y + C ₁ z + re ₁ ) + λ(un ₂ X + _{segundo 2} y + C ₂ z + re ₂ ) = 0

Entonces, la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x – 2y + z = 1 y 2x + y + z = 8 es

(1 + 2λ)x + (-2 + λ)y + (1 + λ)z – 1 – 8λ = 0 ….(1)

Además, dado que este plano es paralelo a la recta cuyas relaciones de dirección son proporcionales a 1, 2, 1.

⇒ (1 + 2λ)1 + (-2 + λ)2 + (1 + λ)1 = 0

⇒ 1 + 2λ – 4 + 2λ + 1 + λ = 0

⇒ 5λ – 2 = 0

⇒ λ = 2/5

Ahora pon el valor de λ en (1), tenemos:

9x – 8y + 7z – 21 = 0 es la ecuación requerida.

Y la distancia perpendicular del plano desde (1, 1, 1) es

= $\frac{|9(1)-8(1)+7(1)-21|}{\sqrt{9^2+(-8)^2+7^2}}$

= $\frac{13}{\sqrt{194}}$ unidades.

Pregunta 15. Muestra cuándo la recta $\vec{r}=\vec{a}+λ\vec{b}$ es paralela al plano $\vec{r}.\vec{n}=d$ . Demuestra que la recta $\vec{r}=\hat{i}+\hat{j}+λ(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})$ es paralela al plano $\vec{r}.(2\hat{j}+\hat{k})=3$ . Además, encuentre la distancia entre la línea y el plano.

Solución:

El plano pasa por el punto con vector de posición $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}$ y es paralelo al vector $\vec{b}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}.$

Dada la ecuación del plano es $\vec{r}.(2\hat{j}+\hat{k})=3$ o $\vec{r}.\vec{n}=d.$

Entonces, el vector normal es $\vec{n}=0\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y d = 3.

Ahora, $\vec{b}.\vec{n}=(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}).(0\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$

= 0 – 2 + 2 = 0

Entonces, $\vec{b}$ es perpendicular a $\vec{n}$

Por tanto, la recta dada es paralela al plano dado.

Como sabemos que la distancia entre la recta y el plano paralelo es la distancia entre cualquier punto de la recta y el plano dado.

Entonces, Distancia(d) = $\frac{|\vec{a}.\vec{n}-d|}{|\vec{n}|}$

= $\frac{|(\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}).(0\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})-3|}{|0\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}|}$

= $\frac{1}{\sqrt5}$ unidades.

Pregunta 16. Demuestra que la recta $\vec{r}=(-\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})+λ(2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})$ es paralela al plano $\vec{r}.(2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})=3$ . Además, encuentre la distancia entre los dos.

Solución:

El plano pasa por el punto con el vector de posición $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}$ y es paralelo al vector $\vec{b}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}.$ [Tex]\vec{b}[/Tex]

El plano dado es $\vec{r}.(2\hat{j}+\hat{k})=3$ o $\vec{r}.\vec{n}=d.$

Entonces, el vector normal es $\vec{n}=0\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y d = 3.

Ahora, $\vec{b}.\vec{n}=(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}).(0\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$

= 0 – 2 + 2 = 0

Entonces, es perpendicular a $\vec{n}$ .

Por tanto, la recta dada es paralela al plano.

Como sabemos que la distancia entre una recta y un plano paralelo es la distancia entre cualquier punto de la recta y el plano dado.

entonces, Distancia(d) = $\frac{|\vec{a}.\vec{n}-d|}{|\vec{n}|}$

= $\frac{|(\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}).(0\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})-3|}{|0\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}|}$

= 1/√6 unidades.

Pregunta 17. Encuentra la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 3x – 4y + 5z = 10 y 2x + 2y – 3z = 4 y paralelo a la recta x = 2x = 3z.

Solución:

Como sabemos que la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de dos planos es

(un ₁ X + segundo ₁ y + C ₁ z + re ₁ ) + λ(un ₂ X + _{segundo 2} y + C ₂ z + re ₂ ) = 0

Entonces, la ecuación del plano pasa por la intersección de la

planos 3x – 4y + 5z = 10 y 2x + 2y – 3z = 4 es

(3 + 2λ)x + (-4 + 2λ)y + (5 – 3λ)z – 10 – 4λ = 0 ….(1)

Dado que la ecuación de recta es x = 2x = 3z.

Ahora, dividiendo esta ecuación por 6, obtenemos,

$\frac{x}{6}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$

Entonces obtenemos que las relaciones de dirección de esta línea son proporcionales a 6, 3, 2.

Ahora, la normal al plano es perpendicular a la recta cuyas relaciones de dirección son 6, 3, 2.

⇒ (3 + 2λ)6 + (-4 + 2λ)3 + (5 – 3λ)2 – 10 – 4λ = 0

⇒ λ = -4/3

Ahora ponga el valor de λ en la ecuación (1), obtenemos,

x – 20y + 27z = 14 es la ecuación requerida.

Pregunta 18. Encuentra las formas vectorial y cartesiana de la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 2, -4) y es paralelo a las rectas $\vec{r}=(\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k})+λ(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})$ y $\vec{r}=(\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ . Además, encuentre la distancia del punto desde el plano obtenido.

Solución:

Dado que las ecuaciones de las rectas son $\vec{r}=(\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k})+λ(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})$

$\vec{r}=(\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$

Como sabemos que la ecuación vectorial de un plano que pasa por un punto $\vec{a}$ y es paralelo a $\vec{b}$ y $\vec{c}$ es

$(\vec{r}-\vec{a}).(\vec{b}×\vec{c})=0$

Asi que, $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k} \vec{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k} \vec{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$

$\vec{b}×\vec{c}=-9\hat{i}+8\hat{j}-\hat{k}$

Ahora, la ecuación vectorial del plano es $(\vec{r}- \vec{a}).(\vec{b}\times \vec{c}) = 0$

$(\vec{r}- (\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k})).(-9\hat{i}+8\hat{j}-\hat{k}) = 0$

$\vec{r}.(9\hat{i}+8\hat{j}-\hat{k})=11$

La ecuación cartesiana del plano es

-9x + 8y – z = 11

Ahora la distancia del punto (9, -8, -10) al plano es

$D = |\frac{(-9)(9)+(8)(-8)-(-10)-11}{\sqrt{9^2+8^2+1^2}}|$

re = √146

Pregunta 19. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (3, 4, 1) y (0, 1, 0) y paralelo a la recta $\frac{x+3}{2}=\frac{y-3}{7}=\frac{z-2}{5}.$

Solución:

Cuando el plano pasa por los puntos (3, 4, 1), entonces la ecuación del plano es

a(x – 3) + b(y – 4) + c(z – 1)=0 ….(1)

Cuando este plano pasa por los puntos (0, 1, 0), entonces la ecuación del plano es

a(0 – 3) + b(1 – 4) + c(0 – 1) = 0

⇒ 3a + 3b + 3c = 0 …..(2)

Además, dado que el plano (es decir, eq (1)) es paralelo a la línea.

Entonces, la normal del plano (es decir, eq (1)) es perpendicular a la línea, entonces,

2a + 7b + 5c = 0 …..(3)

Ahora, al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos

8x – 13y + 15z + 13 = 0 es la ecuación requerida.

Pregunta 20. Halla las coordenadas del punto donde la recta $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{2}$ e interseca al plano x – y + z – 5 = 0. Halla también el ángulo entre la recta y el plano.

Solución:

Dado que la ecuación de la recta es $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{2}=\lambda$

⇒ x = 3λ + 2, y = 4λ – 1, z = 2λ + 2 ….(1)

Como sabemos que (x, y, z) intersecan el plano x – y + z – 5 = 0,

Asi que,

3λ + 2 – (4λ – 1) + 2λ + 2 – 5 = 0

⇒ λ = 0

Ahora, pon este valor en la ecuación (1), obtenemos

x = 2, y = -1, z = 2

El ángulo entre la recta y el plano es

$sin\theta=\frac{\vec{b}.\vec{n}}{|\vec{b}||\vec{n}|}$

Aquí, $\vec{b} = 3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$

$\vec{n} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

⇒ $sin\theta=\frac{(3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}).(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}{|3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}||\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}|}$

⇒ $sin\theta=\frac{3-4+2}{\sqrt{9+16+4}\sqrt{1+1+1}}$

⇒ $\theta=sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{87}})$

Pregunta 21. Encuentra la ecuación vectorial del plano que pasa por (1, 2, 3) y es perpendicular al plano $\vec{r}.(\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k})+9=0$ .

Solución:

Supongamos que las relaciones de dirección son a, b, c

Dado que la recta pasa por (1, 2, 3), entonces la ecuación de la recta es

$\frac{x-1}{a}=\frac{y-2}{b}=\frac{z-3}{c}$ ….(1)

y la recta es perpendicular al plano $\vec{r}.(\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k})+9=0$

Entonces, la recta es paralela a la normal del plano.

Ahora, las relaciones de dirección son proporcionales a las del plano dado.

⇒ a = λ, b = 2λ, c = -5λ

Ponga estos valores en la ecuación (1), obtenemos

$\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-5}$

Entonces, la forma vectorial es

$\vec{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+λ(\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k})$ es la ecuación requerida.

Pregunta 22. Encuentra el ángulo entre la línea $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}$ y el plano 10x + 2y – 11z = 3.

Solución:

Dado que la ecuación de la recta es $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}$ y la ecuación del plano es 10x + 2y – 11z = 3

Asi que, $\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}$

$\vec{n} = 10\hat{i}+2\hat{j}-11\hat{k}$

Como sabemos que el ángulo entre una recta y un plano es

$sin\theta=\frac{\vec{b}.\vec{n}}{|\vec{b}||\vec{n}|}$

= $\frac{(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}).(10\hat{i}+2\hat{j}-11\hat{k})}{|2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}||10\hat{i}+2\hat{j}-11\hat{k})|}$

⇒ θ = sen ⁻¹ (−8/21)

Pregunta 23. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por (1, 2, 3) y es paralela a los planos $\vec{r}.(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})=5$ y $\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6.$

Solución:

Supongamos que ab, b, c son las relaciones de dirección de la línea requerida.

Dado que la recta pasa por (1, 2, 3). Entonces la ecuación de la recta es

$\frac{x - 1}{a} = \frac{y - 2}{b} = \frac{z - 3}{c}$ …(1)

También dado que eq(1) es paralela a los planos $\vec{r}.(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})= 5$ y $\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})=6$ .

Entonces, a – b + 2c = 0 …(2)

3a + b + z = 0 …(3)

Ahora, al resolver las ecuaciones (2) y (3), obtenemos

$\frac{a}{-1-2}=\frac{b}{6-1}=\frac{c}{1+3}$

$\frac{a}{- 3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{4} = \lambda$

=> a = -3λ, b = 5λ, c = 4λ

Ahora pon estos valores en la ecuación (1), obtenemos

$\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{4}$ que es la forma cartesiana de la línea requerida.

Pregunta 24. Encuentra el valor de λ tal que la recta $\frac{x - 2}{6} = \frac{y - 1}{\lambda} = \frac{z + 5}{- 4}$ sea perpendicular al plano 3x − y − 2z = 7.

Solución:

Dado que la ecuación de la recta es $\frac{x - 2}{6} = \frac{y - 1}{\lambda} = \frac{z + 5}{- 4}$ y

la ecuación del plano es 3x − y − 2z = 7 y la recta es perpendicular al plano

Entonces, las relaciones de dirección de la línea dada son proporcionales a 6, λ,-4.

y las relaciones de dirección del plano son 3, -1, -2.

Por lo tanto, la línea es paralela al plano dado, la línea es perpendicular

a la normal del plano dado. Asi que,

⇒ (6)(3) + (-1)(-4) + (-2)(11) = 0

⇒ λ = 26

Pregunta 25. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (−1, 2, 0), (2, 2, −1) y paralelo a la recta $\frac{x - 1}{1} = \frac{2y + 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}.$

Solución:

La ecuación general del plano que pasa por el punto (−1, 2, 0) es

a(x+1) + b(y-2) + c( z – 0) = 0 ….(1)

Este plano pasa por el punto (2, 2,−1), obtenemos

a(2 + 1) + b(2 – 2) + c( -1 – 0) = 0

⇒ 3a – c = 0 ….(2)

Ahora, a, b, c son la razón de la dirección de la normal al plano (1) y

la normal es perpendicular a la recta, entonces

a + 2b + c = 0 ….(3)

Ahora, al resolver las ecuaciones (2) y (3), obtenemos

$\frac{a}{2} = \frac{b}{-4} = \frac{c}{6}$

a = λ, b = -2 λ, c = 3λ

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

λ(x + 1) – 2λ(y – 2) + 3λ(z – 0) = 0

x + 2y + 3z = 3

Por lo tanto, la ecuación del plano requerido es x + 2y + 3z = 3.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 29 El avión – Ejercicio 29.11 | conjunto 2

Pregunta 14. Encuentra la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x – 2y + z = 1 y 2x + y + z = 8 y paralelo a la recta con relaciones de dirección proporcionales a 1, 2, 1. Además, encuentra la distancia perpendicular de (1, 1, 1) desde este plano.

Pregunta 16. Demuestra que la recta $\vec{r}=(-\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})+λ(2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})$ es paralela al plano $\vec{r}.(2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})=3$ . Además, encuentre la distancia entre los dos.

Pregunta 17. Encuentra la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 3x – 4y + 5z = 10 y 2x + 2y – 3z = 4 y paralelo a la recta x = 2x = 3z.

Pregunta 19. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (3, 4, 1) y (0, 1, 0) y paralelo a la recta $\frac{x+3}{2}=\frac{y-3}{7}=\frac{z-2}{5}.$

Pregunta 20. Halla las coordenadas del punto donde la recta $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{2}$ e interseca al plano x – y + z – 5 = 0. Halla también el ángulo entre la recta y el plano.

Pregunta 21. Encuentra la ecuación vectorial del plano que pasa por (1, 2, 3) y es perpendicular al plano $\vec{r}.(\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k})+9=0$ .

Pregunta 22. Encuentra el ángulo entre la línea $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}$ y el plano 10x + 2y – 11z = 3.

Pregunta 23. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por (1, 2, 3) y es paralela a los planos $\vec{r}.(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})=5$ y $\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6.$

Pregunta 24. Encuentra el valor de λ tal que la recta $\frac{x - 2}{6} = \frac{y - 1}{\lambda} = \frac{z + 5}{- 4}$ sea perpendicular al plano 3x − y − 2z = 7.

Pregunta 25. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (−1, 2, 0), (2, 2, −1) y paralelo a la recta $\frac{x - 1}{1} = \frac{2y + 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}.$

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Pregunta 14. Encuentra la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x – 2y + z = 1 y 2x + y + z = 8 y paralelo a la recta con relaciones de dirección proporcionales a 1, 2, 1. Además, encuentra la distancia perpendicular de (1, 1, 1) desde este plano.

Pregunta 15. Muestra cuándo la recta es paralela al plano . Demuestra que la recta es paralela al plano . Además, encuentre la distancia entre la línea y el plano.

Pregunta 16. Demuestra que la recta es paralela al plano . Además, encuentre la distancia entre los dos.

Pregunta 17. Encuentra la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 3x – 4y + 5z = 10 y 2x + 2y – 3z = 4 y paralelo a la recta x = 2x = 3z.

Pregunta 18. Encuentra las formas vectorial y cartesiana de la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 2, -4) y es paralelo a las rectas y . Además, encuentre la distancia del punto desde el plano obtenido.

Pregunta 19. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (3, 4, 1) y (0, 1, 0) y paralelo a la recta

Pregunta 20. Halla las coordenadas del punto donde la recta e interseca al plano x – y + z – 5 = 0. Halla también el ángulo entre la recta y el plano.

Pregunta 21. Encuentra la ecuación vectorial del plano que pasa por (1, 2, 3) y es perpendicular al plano .

Pregunta 22. Encuentra el ángulo entre la línea y el plano 10x + 2y – 11z = 3.

Pregunta 23. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por (1, 2, 3) y es paralela a los planos y

Pregunta 24. Encuentra el valor de λ tal que la recta sea perpendicular al plano 3x − y − 2z = 7.

Pregunta 25. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (−1, 2, 0), (2, 2, −1) y paralelo a la recta

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Pregunta 16. Demuestra que la recta $\vec{r}=(-\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})+λ(2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})$ es paralela al plano $\vec{r}.(2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})=3$ . Además, encuentre la distancia entre los dos.

Pregunta 19. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (3, 4, 1) y (0, 1, 0) y paralelo a la recta $\frac{x+3}{2}=\frac{y-3}{7}=\frac{z-2}{5}.$

Pregunta 20. Halla las coordenadas del punto donde la recta $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{2}$ e interseca al plano x – y + z – 5 = 0. Halla también el ángulo entre la recta y el plano.

Pregunta 21. Encuentra la ecuación vectorial del plano que pasa por (1, 2, 3) y es perpendicular al plano $\vec{r}.(\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k})+9=0$ .

Pregunta 22. Encuentra el ángulo entre la línea $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}$ y el plano 10x + 2y – 11z = 3.

Pregunta 23. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por (1, 2, 3) y es paralela a los planos $\vec{r}.(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})=5$ y $\vec{r}.(3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6.$

Pregunta 24. Encuentra el valor de λ tal que la recta $\frac{x - 2}{6} = \frac{y - 1}{\lambda} = \frac{z + 5}{- 4}$ sea perpendicular al plano 3x − y − 2z = 7.

Pregunta 25. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos (−1, 2, 0), (2, 2, −1) y paralelo a la recta $\frac{x - 1}{1} = \frac{2y + 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}.$