Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 6 Determinantes Ejercicio Ej. 6.6

Pregunta 1. Si A es una array singular, encuentre el valor de |A|.

Solución:

Dado que A es una array singular.

Entonces, como sabemos que si A es una array × n y es singular, el valor de su determinante siempre es 0.

Así, |A| = 0.

Pregunta 2. ¿Para qué valor de x, la siguiente array es singular?

$\begin{bmatrix}5 - x & x + 1 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$

Solución:

Dado que $\begin{bmatrix}5 - x & x + 1 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$

Como sabemos, si A es una array × n y es singular, entonces, el valor de su determinante siempre es 0.

=> |A| = 0

=> $\begin{vmatrix}5 - x & x + 1 \\ 2 & 4\end{vmatrix} = 0$

=> 4(5 – x) – 2(x + 1) = 0

=> 20 – 4x – 2x – 2 = 0

=> 18 – 6x = 0

=> 18 = 6x

=> x = 3

Por lo tanto, el valor de x es 3.

Pregunta 3. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\ 2x & 3x & 4x \\ 5 & 6 & 8\end{bmatrix}$ .

Solución:

Dado que

un = $\begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\ 2x & 3x & 4x \\ 5 & 6 & 8\end{bmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4\\ 2x & 3x & 4x \\ 5 & 6 & 8 \end{vmatrix}$

Entonces, al sacar x común de R ₂ obtenemos,

|A| = $x\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 8 \end{vmatrix}$

Como R ₁ = R ₂ , obtenemos

|A| = 0

Por lo tanto, el valor del determinante es 0.

Pregunta 4. Indique si la array $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 6 & 4\end{bmatrix}$ es singular o no singular.

Solución:

Dado que

un = $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 6 & 4\end{bmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 6 & 4\end{vmatrix}$

|A| = 2 (4) – 6 (3)

= 8 – 18

= -10

Como sabemos si A es una array ×n y es singular, entonces el valor de su determinante es siempre 0.

como |A| = -10 aquí, la array dada no es singular.

Pregunta 5. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}4200 & 4201 \\ 4202 & 4203\end{bmatrix}$ .

Solución:

Dado que

un = $\begin{bmatrix}4200 & 4201 \\ 4202 & 4203\end{bmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix}4200 & 4201 \\ 4202 & 4203\end{vmatrix}$

Al aplicar C ₂ -> C ₂ – C ₁ , obtenemos

|A| = $\begin{vmatrix}4200 & 4201-4200 \\ 4202 & 4203-4202\end{vmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix} 4200 & 1\\4202 & 1 \end{vmatrix}$

|A| = 4200 – 4202

|A| = -2

Por lo tanto, el valor del determinante es -2.

Pregunta 6. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}101 & 102 & 103 \\ 104 & 105 & 106 \\ 107 & 108 & 109\end{bmatrix}$ .

Solución:

Dado que

un = $\begin{bmatrix}101 & 102 & 103 \\ 104 & 105 & 106 \\ 107 & 108 & 109\end{bmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix}101 & 102 & 103 \\ 104 & 105 & 106 \\ 107 & 108 & 109\end{vmatrix}$

Al aplicar C ₂ -> C ₂ – C ₁ y C ₃ -> C ₃ – C ₁ , obtenemos

|A| = $\begin{vmatrix}101 & 102-101 & 103-101 \\ 104 & 105-104 & 106-104 \\ 107 & 108-107 & 109-107\end{vmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix} 101 & 1 & 2\\104 & 1 & 2\\107 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

Al sacar 2 comunes de R ₃ obtenemos,

|A| = $2\begin{vmatrix} 101 & 1 & 1\\104 & 1 & 1\\107 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Como R ₂ = R ₃ , obtenemos

|A| = 0

Por lo tanto, el valor del determinante es cero.

Pregunta 7. Encuentra el valor del determinante $\begin{vmatrix}a & 1 & b + c \\ b & 1 & c + a \\ c & 1 & a + b\end{vmatrix}$ .

Solución:

Dado que

un = $\begin{bmatrix}a & 1 & b + c \\ b & 1 & c + a \\ c & 1 & a + b\end{bmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix}a & 1 & b + c \\ b & 1 & c + a \\ c & 1 & a + b\end{vmatrix}$

Al aplicar C ₁ -> C ₁ + C ₃ obtenemos,

= $\begin{vmatrix} a + b + c & 1 & b + c\\a + b + c & 1 & c + a\\a + b + c & 1 & a + b \end{vmatrix}$

= $a + b + c \begin{vmatrix} 1 & 1& b + c\\1 & 1 & c + a\\1 & 1 & a + b \end{vmatrix}$

= (a + b + c) (0)

= 0

Por lo tanto, el valor del determinante es 0.

Pregunta 8. Si A = $\begin{bmatrix}0 & i \\ i & 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ , encuentra el valor de |A| + |B|.

Solución:

Dado que

un = $\begin{bmatrix} 0 & i\\i & 1 \end{bmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix} 0 & i\\i & 1 \end{vmatrix}$

= 0 – yo ²

= – (-1)

= 1

Además, tenemos

B = $\begin{bmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{bmatrix}$

|B| = $\begin{vmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{vmatrix}$

= 0 – 1

= -1

Asi que,

|A| + |B| = 1 + (-1)

= 1 – 1

= 0

Por lo tanto, el valor de |A| + |B| es 0

Pregunta 9. Si A = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ - 1 & 0\end{bmatrix}$ , encuentra |AB|.

Solución:

Tenemos,

A = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ - 1 & 0\end{bmatrix}$

Entonces, obtenemos

AB = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ - 1 & 0\end{bmatrix}$

= $\begin{bmatrix}1 - 2 & 0 + 0 \\ 3 + 1 & 0 + 0\end{bmatrix}$

= $\begin{bmatrix}- 1 & 0 \\ 4 & 0\end{bmatrix}$

Ahora tenemos,

|AB| = $\begin{vmatrix}- 1 & 0 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$

= -1 (0) – 0 (4)

= 0 – 0

= 0

Por lo tanto, el valor de |AB| es 0

Pregunta 10. Evaluar $\begin{bmatrix}4785 & 4787 \\ 4789 & 4791\end{bmatrix}$ .

Solución:

Dado que

un = $\begin{bmatrix}4785 & 4787 \\ 4789 & 4791\end{bmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix}4785 & 4787 \\ 4789 & 4791\end{vmatrix}$

Al aplicar C ₂ -> C ₂ – C ₁ obtenemos,

|A| = $\begin{vmatrix}4785 & 4787-4785 \\ 4789 & 4791-4789\end{vmatrix}$

= $\begin{vmatrix}4785 & 2\\ 4789 & 2\end{vmatrix}$

Al sacar 2 comunes de R ₂ obtenemos,

= $2 \times \begin{vmatrix}4785 & 1\\ 4789 & 1\end{vmatrix}$

= 2 (4785 – 4789)

= 2 (-4)

= -8

Por lo tanto, el valor del determinante es 0.

Pregunta 11. Si w es una raíz cúbica imaginaria de la unidad, encuentre el valor de $\begin{vmatrix}1 & w & w^2 \\ w & w^2 & 1 \\ w^2 & 1 & w\end{vmatrix}$ .

Solución:

Dado que,

un = $\begin{bmatrix}1 & w & w^2 \\ w & w^2 & 1 \\ w^2 & 1 & w\end{bmatrix}$

|A| = $\begin{vmatrix}1 & w & w^2 \\ w & w^2 & 1 \\ w^2 & 1 & w\end{vmatrix}$

Al aplicar C ₁ -> C ₁ + C _{_2} + C _{_3} obtenemos,

= $\begin{vmatrix} 1 + w + w^2 & w & w^2 \\ w + w^2 + 1 & w^2 & 1\\ w^2 + 1 + w & 1 & w \end{vmatrix}$

= $\begin{vmatrix} 0 & w& 7 w^2 \\ 0 & w^2 & 1\\ 0 & 1 & 7 w \end{vmatrix}$

= 0

Pregunta 12. Si A = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}1 & - 4 \\ 3 & - 2\end{bmatrix}$ , encuentra |AB|.

Solución:

Dado que

un = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}$

|A| = -1 – 6

= -7

B = $\begin{bmatrix}1 & - 4 \\ 3 & - 2\end{bmatrix}$

|B| = – 2 + 12

= 10

Sabemos que si A y B son arrays cuadradas del mismo orden, entonces tenemos,

=> |AB| = |A|. |B|

= (-7) (10)

= -70

Por lo tanto, el valor de |AB| es -70.

Pregunta 13. Si A = [a _ij ] es una array diagonal de 3 × 3 tal que a ₁₁ = 1, a ₂₂ = 2 a ₃₃ = 3, entonces encuentre |A|.

Solución:

Dado que un ₁₁ = 1, un ₂₂ = 2 y un ₃₃ = 3.

Si A es una array diagonal de orden nxn, entonces tenemos

=> $\left| A \right| = a_{11} \times a_{22} \times a_{33} \times . . . \times a_{nn}$

Entonces, obtenemos

|A| = 1 (2) (3)

= 6

Por lo tanto, el valor de |A| es 6

Pregunta 14. Si A = [a _ij ] es una array escalar de 3 × 3 tal que a ₁₁ = 2, entonces encuentre el valor de |A|.

Solución:

Dado que A = [a _ij ] que es una array escalar de 3 × 3 y un ₁₁ = 2,

Como sabemos, una array escalar es una array diagonal, en la que todos los elementos de la diagonal son iguales a un número escalar dado.

=> Un = $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

= $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

Al expandir a lo largo de C ₁ , obtenemos

= $2 \times \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{vmatrix}$

= 2 (2) (2)

= 8

Por lo tanto, el valor de |A| es 8

Pregunta 15. Si I ₃ denota una array identidad de orden 3 × 3, encuentre el valor de su determinante.

Solución:

Como sabemos que en una array identidad, todos los elementos de la diagonal son 1 y los elementos restantes son 0.

Aquí,

yo ₃ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

= $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

Al expandir a lo largo de C ₁ , obtenemos

= $1 \times \begin{vmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{vmatrix}$

= 1

Por lo tanto, el valor del determinante es 1.

Pregunta 16. Una array A de orden 3 × 3 tiene determinante 5. ¿Cuál es el valor de |3A|?

Solución:

Dado que la array A es de orden 3 x 3 y el determinante = 5.

Si A es una array cuadrada de orden n y k es una constante, entonces tenemos

=> |kA| = k ^norte | A |

Aquí,

Número de filas = n

Además, k es un factor común de cada fila de k.

Por lo tanto, obtenemos

3A = 3 ³ |A|

= 27 (5)

= 135

Por lo tanto, el valor de |3A| es 135

Pregunta 17. Al expandir por la primera fila, el valor del determinante de la array cuadrada de 3 × 3 A = [a _ij ] es a ₁₁ C ₁₁ + a ₁₂ C ₁₂ + a ₁₃ C ₁₃ , donde [C _ij ] es el cofactor de a _ij en A. Escribe la expresión para su valor al expandir por la segunda columna.

Solución:

Como sabemos que si una array cuadrada (digamos A) es de orden n, entonces la suma de los productos de los elementos de una fila o una columna con sus cofactores es siempre igual a det (A).

Asi que,

$\sum^n_{i = 1} a_{i j} C_{i j} = \left| A \right|$

También, $\sum^n_{j = 1} a_{i j} C_{i j} = \left| A \right|$

Al expandir a lo largo de R ₁ obtenemos,

|A| = un ₁₁ C ₁₁ + un ₁₂ C ₁₂ + un ₁₃ C ₁₃

Ahora,

Al expandir a lo largo de C ₂ obtenemos,

|A| = un ₁₂ C ₁₂ + un ₂₂ C ₂₂ + un ₃₂ C ₃₂

Pregunta 18. Al expandir por la primera fila, el valor del determinante de la array cuadrada de 3 × 3 A = [a _ij ] es a ₁₁ C ₁₁ + a ₁₂ C ₁₂ + a ₁₃ C ₁₃ , donde [C _ij ] es el cofactor de a _ij en A. Escribe la expresión para su valor al expandir por la segunda columna.

Solución:

Como sabemos que si una array cuadrada (digamos A) es de orden n, entonces la suma de los productos de los elementos de una fila o una columna con sus cofactores es siempre igual a det (A).

Asi que,

$\sum^n_{i = 1} a_{i j} C_{i j} = \left| A \right|$

También, $\sum^n_{j = 1} a_{i j} C_{i j} = \left| A \right|$

Al expandir a lo largo de R ₁ obtenemos,

|A| = un ₁₁ C ₁₁ + un ₁₂ C ₁₂ + un ₁₃ C ₁₃

Ahora,

Al expandir a lo largo de C ₂ obtenemos,

|A| = un ₁₂ C ₁₂ + un ₂₂ C ₂₂ + un ₃₂ C ₃₂ = 5

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 6 Determinantes Ejercicio Ej. 6.6 | Serie 1

Pregunta 1. Si A es una array singular, encuentre el valor de |A|.

Pregunta 2. ¿Para qué valor de x, la siguiente array es singular?

$\begin{bmatrix}5 - x & x + 1 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$

Pregunta 3. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\ 2x & 3x & 4x \\ 5 & 6 & 8\end{bmatrix}$ .

Pregunta 4. Indique si la array $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 6 & 4\end{bmatrix}$ es singular o no singular.

Pregunta 5. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}4200 & 4201 \\ 4202 & 4203\end{bmatrix}$ .

Pregunta 6. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}101 & 102 & 103 \\ 104 & 105 & 106 \\ 107 & 108 & 109\end{bmatrix}$ .

Pregunta 7. Encuentra el valor del determinante $\begin{vmatrix}a & 1 & b + c \\ b & 1 & c + a \\ c & 1 & a + b\end{vmatrix}$ .

Pregunta 8. Si A = $\begin{bmatrix}0 & i \\ i & 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ , encuentra el valor de |A| + |B|.

Pregunta 9. Si A = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ - 1 & 0\end{bmatrix}$ , encuentra |AB|.

Pregunta 10. Evaluar $\begin{bmatrix}4785 & 4787 \\ 4789 & 4791\end{bmatrix}$ .

Pregunta 11. Si w es una raíz cúbica imaginaria de la unidad, encuentre el valor de $\begin{vmatrix}1 & w & w^2 \\ w & w^2 & 1 \\ w^2 & 1 & w\end{vmatrix}$ .

Pregunta 12. Si A = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}1 & - 4 \\ 3 & - 2\end{bmatrix}$ , encuentra |AB|.

Pregunta 13. Si A = [a _ij ] es una array diagonal de 3 × 3 tal que a ₁₁ = 1, a ₂₂ = 2 a ₃₃ = 3, entonces encuentre |A|.

Pregunta 14. Si A = [a _ij ] es una array escalar de 3 × 3 tal que a ₁₁ = 2, entonces encuentre el valor de |A|.

Pregunta 15. Si I ₃ denota una array identidad de orden 3 × 3, encuentre el valor de su determinante.

Pregunta 16. Una array A de orden 3 × 3 tiene determinante 5. ¿Cuál es el valor de |3A|?

Pregunta 17. Al expandir por la primera fila, el valor del determinante de la array cuadrada de 3 × 3 A = [a _ij ] es a ₁₁ C ₁₁ + a ₁₂ C ₁₂ + a ₁₃ C ₁₃ , donde [C _ij ] es el cofactor de a _ij en A. Escribe la expresión para su valor al expandir por la segunda columna.

Pregunta 18. Al expandir por la primera fila, el valor del determinante de la array cuadrada de 3 × 3 A = [a _ij ] es a ₁₁ C ₁₁ + a ₁₂ C ₁₂ + a ₁₃ C ₁₃ , donde [C _ij ] es el cofactor de a _ij en A. Escribe la expresión para su valor al expandir por la segunda columna.

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Pregunta 1. Si A es una array singular, encuentre el valor de |A|.

Pregunta 2. ¿Para qué valor de x, la siguiente array es singular?

Pregunta 3. Encuentra el valor del determinante .

Pregunta 4. Indique si la array es singular o no singular.

Pregunta 5. Encuentra el valor del determinante .

Pregunta 6. Encuentra el valor del determinante .

Pregunta 7. Encuentra el valor del determinante .

Pregunta 8. Si A = y B = , encuentra el valor de |A| + |B|.

Pregunta 9. Si A = y B = , encuentra |AB|.

Pregunta 10. Evaluar .

Pregunta 11. Si w es una raíz cúbica imaginaria de la unidad, encuentre el valor de .

Pregunta 12. Si A = y B = , encuentra |AB|.

Pregunta 13. Si A = [a ij ] es una array diagonal de 3 × 3 tal que a 11 = 1, a 22 = 2 a 33 = 3, entonces encuentre |A|.

Pregunta 14. Si A = [a ij ] es una array escalar de 3 × 3 tal que a 11 = 2, entonces encuentre el valor de |A|.

Pregunta 15. Si I 3 denota una array identidad de orden 3 × 3, encuentre el valor de su determinante.

Pregunta 16. Una array A de orden 3 × 3 tiene determinante 5. ¿Cuál es el valor de |3A|?

Pregunta 17. Al expandir por la primera fila, el valor del determinante de la array cuadrada de 3 × 3 A = [a ij ] es a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 , donde [C ij ] es el cofactor de a ij en A. Escribe la expresión para su valor al expandir por la segunda columna.

Pregunta 18. Al expandir por la primera fila, el valor del determinante de la array cuadrada de 3 × 3 A = [a ij ] es a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 , donde [C ij ] es el cofactor de a ij en A. Escribe la expresión para su valor al expandir por la segunda columna.

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Pregunta 3. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\ 2x & 3x & 4x \\ 5 & 6 & 8\end{bmatrix}$ .

Pregunta 4. Indique si la array $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 6 & 4\end{bmatrix}$ es singular o no singular.

Pregunta 5. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}4200 & 4201 \\ 4202 & 4203\end{bmatrix}$ .

Pregunta 6. Encuentra el valor del determinante $\begin{bmatrix}101 & 102 & 103 \\ 104 & 105 & 106 \\ 107 & 108 & 109\end{bmatrix}$ .

Pregunta 7. Encuentra el valor del determinante $\begin{vmatrix}a & 1 & b + c \\ b & 1 & c + a \\ c & 1 & a + b\end{vmatrix}$ .

Pregunta 8. Si A = $\begin{bmatrix}0 & i \\ i & 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ , encuentra el valor de |A| + |B|.

Pregunta 9. Si A = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ - 1 & 0\end{bmatrix}$ , encuentra |AB|.

Pregunta 10. Evaluar $\begin{bmatrix}4785 & 4787 \\ 4789 & 4791\end{bmatrix}$ .

Pregunta 11. Si w es una raíz cúbica imaginaria de la unidad, encuentre el valor de $\begin{vmatrix}1 & w & w^2 \\ w & w^2 & 1 \\ w^2 & 1 & w\end{vmatrix}$ .

Pregunta 12. Si A = $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & - 1\end{bmatrix}$ y B = $\begin{bmatrix}1 & - 4 \\ 3 & - 2\end{bmatrix}$ , encuentra |AB|.

Pregunta 13. Si A = [a _ij ] es una array diagonal de 3 × 3 tal que a ₁₁ = 1, a ₂₂ = 2 a ₃₃ = 3, entonces encuentre |A|.

Pregunta 14. Si A = [a _ij ] es una array escalar de 3 × 3 tal que a ₁₁ = 2, entonces encuentre el valor de |A|.

Pregunta 15. Si I ₃ denota una array identidad de orden 3 × 3, encuentre el valor de su determinante.

Pregunta 17. Al expandir por la primera fila, el valor del determinante de la array cuadrada de 3 × 3 A = [a _ij ] es a ₁₁ C ₁₁ + a ₁₂ C ₁₂ + a ₁₃ C ₁₃ , donde [C _ij ] es el cofactor de a _ij en A. Escribe la expresión para su valor al expandir por la segunda columna.

Pregunta 18. Al expandir por la primera fila, el valor del determinante de la array cuadrada de 3 × 3 A = [a _ij ] es a ₁₁ C ₁₁ + a ₁₂ C ₁₂ + a ₁₃ C ₁₃ , donde [C _ij ] es el cofactor de a _ij en A. Escribe la expresión para su valor al expandir por la segunda columna.