Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 33 Distribución binomial – Ejercicio 33.1

Pregunta 37. Un experimento tiene el doble de éxito que de fracaso. Encuentre la probabilidad de que en los próximos 6 intentos haya al menos 4 éxitos.

Solución:

Consideremos X como el número de éxitos de 6 experimentos. Además, p denota la probabilidad de éxito y q denota la probabilidad de fracaso.

Según la pregunta, los éxitos son el doble de fracasos.

Entonces, p = 2q

Además, p + q = 1

=> 3q = 1

=> q = 1/3

Y p = 1 – 1/3 = 2/3

Entonces, la distribución binomial (n) = 6

Por lo tanto, la probabilidad de obtener r éxito es,

PAG(X = r) = $^{6}{}{C}_r \left( \frac{2}{3} \right)^r \left( \frac{1}{3} \right)^{6 - r}$ , r = 0, 1, 2 . . . . . 6

P(al menos 4 éxitos) = P(X > 4)

= P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

= $^{6}{}{C}_4 \left( \frac{2}{3} \right)^4 \left( \frac{1}{3} \right)^{6 - 4} + ^{6}{}{C}_5 \left( \frac{2}{3} \right)^5 \left( \frac{1}{3} \right)^{6 - 5} + ^{6}{}{C}_6 \left( \frac{2}{3} \right)^6 \left( \frac{1}{3} \right)^{6 - 6}$

= $\frac{15( 2^4 ) + 6(32) + 64}{3^6}$

= $\frac{240 + 192 + 64}{729}$

= 496/729

Pregunta 38. En un hospital hay 20 máquinas de diálisis renal y la probabilidad de que alguna de ellas esté fuera de servicio durante un día es de 0,02. Determine la probabilidad de que exactamente 3 máquinas estén fuera de servicio el mismo día.

Solución:

Consideremos X el número de máquinas fuera de servicio durante un día. Además, p es la probabilidad de que alguna máquina esté fuera de servicio durante un día y q es la probabilidad de que la máquina esté en servicio el mismo día.

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 20.

Por lo tanto, p = 0,02 y q = 0,98

Por lo tanto,

PAG(X = r) = $^{20}{}{C}_r \left( 0 . 02 \right)^r \left( 0 . 98 \right)^{20 - r}$ , r = 0, 1, 2 . . . . . 20

La probabilidad de que exactamente 3 máquinas estén fuera de servicio el mismo día es

P(X = 3) = $^{20}{}{C}_3 \left( 0 . 02 \right)^3 \left( 0 . 98 \right)^{20 - 3}$

= 1140 (0,000008) (0,7093)

= 0.006469

Pregunta 39. La probabilidad de que un estudiante que ingresa a una universidad se gradúe es de 0.4.

(i) Halle la probabilidad de que de 3 estudiantes de la universidad ninguno se gradúe.

Solución:

Consideremos que X denota el número de estudiantes que se gradúan de entre 3 estudiantes. Además, p denota la probabilidad de que un estudiante que ingresa a la universidad se gradúe.

Aquí, n = 3, p = 0,4 y q = 0,6

Por eso,

P(X = r) = $^{3}{}{C}_r \left( 0 . 4 \right)^r \left( 0 . 6 \right)^{3 - r}$ , r = 0, 1, 2, 3

Entonces, la probabilidad de que ninguno de los estudiantes se gradúe es

P(X = 0) = ^q3

= (0.6) ³

= 0,216

(ii) Encuentre la probabilidad de que de 3 estudiantes de la universidad solo uno se gradúe.

Solución:

Consideremos que X denota el número de estudiantes que se gradúan de entre 3 estudiantes. Además, p denota la probabilidad de que un estudiante que ingresa a la universidad se gradúe.

Aquí, n = 3, p = 0,4 y q = 0,6.

Por eso,

P(X = r) = $^{3}{}{C}_r \left( 0 . 4 \right)^r \left( 0 . 6 \right)^{3 - r}$ , r = 0, 1, 2, 3

Entonces, la probabilidad de que solo un estudiante se gradúe es

P(X = 1) = 3 (0,4) (0,36)

= 0,432

(iii) Calcule la probabilidad de que de 3 estudiantes de la universidad todos se gradúen.

Solución:

Consideremos que X denota el número de estudiantes que se gradúan de entre 3 estudiantes. Además, sea p la probabilidad de que un estudiante que ingresa a la universidad se gradúe.

Aquí, n = 3, p = 0,4 y q = 0,6

Por eso,

P(X = r) = $^{3}{}{C}_r \left( 0 . 4 \right)^r \left( 0 . 6 \right)^{3 - r}$ , r = 0, 1, 2, 3

Entonces, la probabilidad de que todos los estudiantes se gradúen es

P(X = 3) = p ³

= (0.4) ³

= 0,064

Pregunta 40. Se extraen diez huevos sucesivamente, con reposición, de un lote que contiene un 10% de huevos defectuosos. Encuentre la probabilidad de que haya al menos un huevo defectuoso.

Solución:

Consideremos que X denota el número de huevos defectuosos extraídos de 10 huevos. Además, p denota la probabilidad de que un huevo extraído sea defectuoso.

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 10.

=> p = 10% = 10/100 = 1/10

Y q = 1 – p = 9/10

Por eso,

PAG(X = r) = $^{10}{}{C}_r \left( \frac{1}{10} \right)^r \left( \frac{9}{10} \right)^{10 - r}$ , r = 0, 1, 2 . . . . 10

Entonces, la probabilidad de que al menos un huevo sea defectuoso es

= P(X > 1) = 1 – P(X = 0)

= $1 - ^{10}{}{C}_0 \left( \frac{1}{10} \right)^0 \left( \frac{9}{10} \right)^{10 - 0}$

= 1 – (9/10) ¹⁰

Pregunta 41. En un examen de 20 preguntas de verdadero o falso, suponga que un estudiante lanza una moneda al aire para determinar su respuesta a cada pregunta. Por cada cara responde ‘verdadero’ y por cada cruz, responde ‘falso’. Calcule la probabilidad de que responda correctamente al menos 12 preguntas.

Solución:

Consideremos X como el número de respuestas correctas. Además, p denota la probabilidad de una respuesta correcta y p la probabilidad de una respuesta correcta.

Asi que,

=> p = 1/2

Entonces q = 1 – 1/2 = 1/2

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 20.

Por eso,

PAG(X = r) = $^{20}{}{C}_r \left( \frac{1}{2} \right)^r \left( \frac{1}{2} \right)^{20 - r}$ , r = 0, 1, 2, 3 . . . . . . 20

= $\frac{^{20}{}{C}_r}{2^{20}}$

Entonces, la probabilidad de que el estudiante responda correctamente al menos 12 preguntas es

PAG(X > 12) = PAG(X = 12) + PAG(X = 13) + . . . + P(X = 20)

= $\frac{^{20}{}{C}_{12} + ^{20}{}{C}_{13} + . . . +^{20}{}{C}_{20}}{2^{20}}$

Pregunta 42. Supongamos que X tiene una distribución binomial con n = 6 y p = 1/2. Demuestre que X = 3 es el resultado más probable.

Solución:

Según la pregunta, x tiene una distribución binomial con n = 6 y p = 1/2.

Entonces, q = 1 – p = 1 – 1/2 = 1/2

Por eso,

P(X = r) = $^{6}{}{C}_r \left( \frac{1}{2} \right)^r \left( \frac{1}{2} \right)^{6 - r}$ , r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

= ⁶ C _r (1/2) ⁶

=> P(X = r) = ⁶ C _r (1/2) ⁶

Ahora, al sustituir r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtenemos

P(X = 0) = ⁶ C ₀ (1/2) ⁶

= 1/64

P(X = r) = ⁶ C ₁ (1/2) ⁶

= 6/64

P(X = r) = ⁶ C ₂ (1/2) ⁶

= 15/64

P(X = r) = ⁶ C ₃ (1/2) ⁶

= 20/64

P(X = r) = ⁶ C ₄ (1/2) ⁶

= 15/64

P(X = r) = ⁶ C ₅ (1/2) ⁶

= 6/64

P(X = r) = ⁶ C ₆ (1/2) ⁶

= 1/64

Entonces, la forma tabular es:

X

0

1

2

3

4

5

6

P(X)

1/64

6/64

15/64

20/64

15/64

6/64

1/64

Ahora, al comparar las probabilidades, obtenemos que X = 3 es el resultado más probable ya que P(X = 3) tiene el mayor valor.

Por lo tanto probado.

Pregunta 43. En un examen de opción múltiple con tres respuestas posibles para cada una de las cinco preguntas, de las cuales solo una es correcta, ¿cuál es la probabilidad de que un candidato obtenga cuatro o más respuestas correctas simplemente adivinando?

Solución:

Consideremos que X denota el número de respuestas correctas en las 5 preguntas. Además, p denota la probabilidad de adivinar la respuesta correcta y q denota la probabilidad de adivinar la respuesta incorrecta.

Aquí X puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 5.

Aquí p = 1/3

y q = 2/3

Por eso,

PAG(X = r) = $^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{3} \right)^r \left( \frac{2}{3} \right)^{5 - r}$ , r = 0, 1, 2, . . . 5

Entonces, la probabilidad de que el estudiante acierte 4 o más respuestas correctas

P(X > 4) = P(X = 4) + P(X = 5)

= $^{5}{}{C}_4 \left( \frac{1}{3} \right)^4 \left( \frac{2}{3} \right)^1 + ^{5}{}{C}_5 \left( \frac{1}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^0$

= $\frac{10 + 1}{3^5}$

= 11/243

Pregunta 44. Una persona compra un boleto de lotería en 50 loterías, en cada una de las cuales su probabilidad de ganar un premio es 1/100.

(i) ¿Cuál es la probabilidad de que gane un premio al menos una vez?

Solución:

Consideremos X el número de veces que la persona gana la lotería. Además, p denota la probabilidad de ganar un premio.

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 50.

=> p = 1/100

Y q = 1 – 1/100 = 99/100

Por eso,

PAG(X = r) = $^{50}{}{C}_r \left( \frac{1}{100} \right)^r \left( \frac{99}{100} \right)^{50 - r}$ , r = 0, 1, 2 . . . 50

Entonces, la probabilidad de ganar al menos una vez es

P(X > 0) = 1 – P(X – 0)

= 1 – (99/100) ⁵⁰

(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que gane un premio exactamente una vez?

Solución:

Consideremos X el número de veces que la persona gana la lotería. Además, p denota la probabilidad de ganar un premio.

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 50.

=> p = 1/100

Y q = 1 – 1/100 = 99/100

Por eso,

PAG(X = r) = $^{50}{}{C}_r \left( \frac{1}{100} \right)^r \left( \frac{99}{100} \right)^{50 - r}$ , r = 0, 1, 2 . . . 50

Entonces la probabilidad de ganar al menos dos veces es

P(X > 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

= $1 - \left( \frac{99}{100} \right)^{50} - ^{50}{}{C}_1 \times \frac{1}{100} \times \left( \frac{99}{100} \right)^{49}$

= $1 - \frac{{99}^{49} \times 149}{{100}^{50}}$

(iii) ¿Cuál es la probabilidad de que gane un premio al menos dos veces?

Solución:

Consideremos X el número de veces que la persona gana la lotería. Además, sea p la probabilidad de ganar un premio.

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 50.

=> p = 1/100

Y q = 1 – 1/100 = 99/100

Por eso,

PAG(X = r) = $^{50}{}{C}_r \left( \frac{1}{100} \right)^r \left( \frac{99}{100} \right)^{50 - r}$ , r = 0, 1, 2 . . . 50

Entonces, la probabilidad de ganar al menos dos veces es

P(X > 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)

= $1 - \left( \frac{99}{100} \right)^{50} - ^{50}{}{C}_1 \times \frac{1}{100} \times \left( \frac{99}{100} \right)^{49}$

= $1 - \frac{{99}^{49} \times 149}{{100}^{50}}$

Pregunta 45. La probabilidad de que un tirador dé en el blanco es 3/4. ¿Cuántas veces como mínimo debe disparar para que la probabilidad de acertar al menos una vez en el blanco sea superior a 0,99?

Solución:

Consideremos que el tirador dispara n veces y X es el número de veces que el tirador da en el blanco.

Entonces, X tiene una distribución binomial con p = 3/4 y q = 1/4 tal que,

Por eso,

P(X = r) = $^{n}{}{C}_r \left( \frac{3}{4} \right)^r \left( \frac{1}{4} \right)^{n - r}$

P(X = r) = $^{n}{}{C}_r \frac{3^r}{4^n}$

Dado que P (X > 1) > 0,99

=> 1 – P(X = 0) > 0,99

=> 1 – 1/4 ⁿ > 0,99

=> 1/4 ⁿ < 0,01

=> 4 ⁿ > 1/0.01

=> 4 ⁿ > 100

Entonces, el tirador debe disparar al menos 4 veces.

Pregunta 46. ¿Cuántas veces debe lanzar un hombre una moneda justa para que la probabilidad de obtener al menos una cara sea superior al 90%?

Solución:

Consideremos que el hombre lanza una moneda justa n veces y que X es el número de caras en n lanzamientos.

Como p = 1/2 y q = 1/2,

Asi que,

PAG(X = r) = $^{n}{}{C}_r \left( \frac{1}{2} \right)^r \left( \frac{1}{2} \right)^{n - r}$ , r = 0, 1, 2, 3 . . . . norte

Se da que P(X > 1) > 0.9

=> 1 – P(X = 0) > 0,9

=> $1 - ^{n}{}{C}_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n > 0 . 9$

=>(1/2 ⁿ ) < 1/10

=> 2^n > 10

=> norte = 4, 5, 6 . . . .

Entonces, el hombre debe lanzar la moneda al menos 4 veces.

Pregunta 47. ¿Cuántas veces debe lanzar un hombre una moneda justa para que la probabilidad de obtener al menos una cara sea mayor al 80%?

Solución:

Consideremos que X denota el número de caras y n el número mínimo de veces que un hombre debe lanzar una moneda justa.

Entonces esa probabilidad de X ≥ 1 es más del 80 %.

Aquí X tiene una distribución binomial con p = 1/2 y q = 1/2.

P(X = r) = ^norte C _r (1/2) ^norte

Tenemos P(X > 1) = 1 – P(X = 0)

= $1 - ^{n}{}{C}_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$

= 1 – (1/2) ^norte

Y para P(X > 1) > 80%

=> 1 – 1/2 ⁿ > 0,80

=> (1/2 ⁿ ) < 1 – 0,80 = 0,20

=> 2 ⁿ > 1/0,2 = 5

Sabemos, 2 ² < 5 mientras que 2 ³ > 5.

Entonces obtenemos n = 3.

Entonces, el hombre debe lanzar la moneda al menos 3 veces.

Pregunta 48. Se lanza un par de dados 4 veces. Si obtener un doblete se considera un éxito, encuentre la distribución de probabilidad del número de éxitos.

Solución:

Consideremos p como la probabilidad de obtener un doblete en un solo lanzamiento de un par de dados. Además, sea X el número de dobletes obtenidos en 4 lanzamientos de un par de dados.

Entonces, p = 6/36 = 1/6

Y q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 4.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener r dobletes

P(X = r) = $^{4}{}{C}_r (\frac{1}{6} )^r (\frac{5}{6} )^{4 - r}$ , r = 0, 1, 2, 3, 4

Si X = 0, entonces P(X = 0) = $^{4}{}{C}_0 (\frac{1}{6} )^0 (\frac{5}{6} )^{4 - 0}$

=> P = (5/6) ⁴

Cuando X = 1, entonces P = $^{4}{}{C}_1 \left( \frac{1}{6} \right)^1 \left( \frac{5}{6} \right)^{4 - 1}$

= $\frac{2}{3} \left( \frac{5}{6} \right)^3$

Cuando X = 2, entonces P = $^{4}{}{C}_2 \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{5}{6} \right)^{4 - 2}$

= $\frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} \right)^2$

Cuando X = 3, entonces P = $^{4}{}{C}_3 \left( \frac{1}{6} \right)^3 \left( \frac{5}{6} \right)^{4 - 3}$

= $\frac{10}{3} \left( \frac{1}{6} \right)^3$

Cuando X = 4, entonces P = $^{4}{}{C}_4 (\frac{1}{6} )^4 (\frac{5}{6} )^{4 - 4}$

= (1/6) ⁴

= 1/1296

Pregunta 49. De un lote de 30 focos que incluye 6 focos defectuosos, se extrae al azar una muestra de 4 focos con reemplazo. Encuentre la distribución de probabilidad del número de bombillas defectuosas.

Solución:

Consideremos X el número de bombillas defectuosas en una muestra de 4 bombillas extraídas sucesivamente con recambio.

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 4.

Aquí, p = 6/30 = 1/5

Y q = 1 – 1/5 = 4/5

Después,

P(X = r) = $^{4}{}{C}_r \left( \frac{1}{5} \right)^r \left( \frac{4}{5} \right)^{4 - r}$ , r = 0, 1, 2, 3, 4

P(X = 0) = (4/5) ⁴

= 256/625

P(X = 1) = $4\left( \frac{1}{5} \right)^1 \left( \frac{4}{5} \right)^3$

= 256/625

P(X = 2) = $6 \left( \frac{1}{5} \right)^2 \left( \frac{4}{5} \right)^2$

= 96/625

P(X = 3) = $4 \left( \frac{1}{5} \right)^3 \left( \frac{4}{5} \right)^1$

= 16/625

P(X = 4) = (1/5) ⁴

= 1/625

X

0

1

2

3

4

P(X)

256/625

256/625

96/625

16/625

1/625

Pregunta 50. Hallar la probabilidad de que en 10 tiradas de un dado normal se obtenga un resultado múltiplo de 3 en al menos 8 de las tiradas.

Solución:

Consideremos p la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso. Además, sea X el número de aciertos en una muestra de 10 intentos.

p = 2/6 = 1/3

Entonces, q = 1 – p

= 1 – 1/3

= 2/3

Entonces X tiene una distribución binomial con n = 10, p = 1/3 y q = 2/3.

P(X = r) = $^{10}{}{C}_r p^r q^{10 - r}$

= $^{10}{C}_r \left( \frac{1}{3} \right)^r \left( \frac{2}{3} \right)^{\left( 10 - r \right)}$ , r = 0, 1, 2, . . . , 10

Entonces, la probabilidad requerida es

P(X > 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

= $\frac{^{10}{}{C}_8 2^{\left( 10 - 8 \right)}}{3^{10}} + \frac{^{10}{}{C}_9 2^{\left( 10 - 9 \right)}}{3^{10}} + \frac{^{10}{C}_{10} 2^{\left( 10 - 10 \right)}}{3^{10}}$

= $\frac{45 \times 2^2}{3^{10}} + \frac{10 \times 2}{3^{10}} + \frac{1}{3^{10}}$

= $\frac{180 + 20 + 1}{3^{10}}$

= 201/3 ¹⁰

Pregunta 51. Se lanza un dado 5 veces. Halla la probabilidad de que un número impar salga exactamente tres veces.

Solución:

Consideremos p como la probabilidad de obtener un número impar en un ensayo. Además, sea X el número de aciertos en una muestra de 5 intentos.

Entonces, p = 3/6 = 1/2

Además, q = 1 – p = 1 – 1/2 = 1/2

Entonces, X tiene distribución binomial con n = 5 y p = q = 1/2.

P(X = r) = $^{5}{}{C}_r p^r q^{\left( 5 - r \right)}$

= $^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{2} \right)^r \left( \frac{1}{2} \right)^{\left( 5 - r \right) }$

= ⁵ C ₃ (1/2) ⁵ , donde r = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Entonces, la probabilidad de que un número impar salga exactamente tres veces.

P(X = 3) = ⁵ C ₃ (1/2) ⁵

= 10/32

= 5/16

Pregunta 52. La probabilidad de que un hombre dé en el blanco es 0,25. Dispara 7 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos dos veces?

Solución:

Consideremos p como la probabilidad de dar en el blanco. Además, sea X el número de aciertos en una muestra de 7 intentos.

Entonces, p = = 0.25 = 1/4

También q = 1 – p = 1 – 1/4 = 3/4

Entonces, X tiene una distribución binomial con parámetros n = 7 y p = 1/4.

P(X = r) = $^{7}{}{C}_r p^r q^{\left( 7 - r \right)}$

= $^{7}{}{C}_r \left( \frac{1}{4} \right)^r \left( \frac{3}{4} \right)^{\left( 7 - r \right)}$

= $\frac{^{7}{}{C}_r 3^{\left( 7 - r \right)}}{4^7}$ , donde r = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Entonces, la probabilidad de que acierte al menos dos veces es

P(X > 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]

= $1 - \left[ \frac{^{7}{}{C}_0 3^7}{4^7} + \frac{^{7}{}{C}_1 3^6}{4^7} \right]$

= 1 – [2187/16384 + 5103/16384]

= 1 – 7290/16384

= 9094/16384

= 4547/8192

Pregunta 53. Una fábrica produce bombillas. La probabilidad de que una bombilla esté defectuosa es 1/50 y están empacadas en cajas de 10. A partir de una sola caja, encuentre la probabilidad:

(i) que ninguna de las bombillas esté defectuosa .

Solución:

Consideremos p como la probabilidad de obtener una bombilla defectuosa. Además, sea X el número de aciertos en una muestra de 10 intentos.

Aquí p = 1/50

Además, q = 1 – p = 1 – 1/50 = 49/50

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 1/50

P(X = r) = $^{10}{}{C}_r p^r q^{\left( 10 - r \right)}$

= $^{10}{}{C}_r \left( \frac{1}{50} \right)^r \left( \frac{49}{50} \right)^{\left( 10 - r \right)}$

= $\frac{^{10}{}{C}_r {49}^{\left( 10 - r \right)}}{{50}^{10}}$ , donde r = 0, 1, 2, 3, . . . , 10

Entonces, la probabilidad de que ninguna de las bombillas esté defectuosa

= P(X = 0) = $\frac{^{10}{}{C}_0 {49}^{10}}{{50}^{10}}$

= 49 ¹⁰ /50 ¹⁰

(ii) que exactamente dos bombillas están defectuosas.

Solución:

Consideremos p como la probabilidad de obtener una bombilla defectuosa. Además, sea X el número de aciertos en una muestra de 10 intentos.

Aquí p = 1/50

Además, q = 1 – p = 1 – 1/50 = 49/50

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 1/50

P(X = r) = $^{10}{}{C}_r p^r q^{\left( 10 - r \right)}$

= $^{10}{}{C}_r \left( \frac{1}{50} \right)^r \left( \frac{49}{50} \right)^{\left( 10 - r \right)}$

= $\frac{^{10}{}{C}_r {49}^{\left( 10 - r \right)}}{{50}^{10}}$ , donde r = 0, 1, 2, 3, . . . , 10

Entonces, la probabilidad de que exactamente dos bombillas estén defectuosas

P(X = 2) = $\frac{^{10}{}{C}_2 {49}^8}{{50}^{10}}$

= $\frac{45 \times {49}^8}{{50}^{10}}$

(iii) que más de 8 bombillas funcionen correctamente.

Solución:

Consideremos p como la probabilidad de obtener una bombilla defectuosa. Además, sea X el número de aciertos en una muestra de 10 intentos.

Aquí p = 1/50

Además, q = 1 – p = 1 – 1/50 = 49/50

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 1/50

P(X = r) = $^{10}{}{C}_r p^r q^{\left( 10 - r \right)}$

= $^{10}{}{C}_r \left( \frac{1}{50} \right)^r \left( \frac{49}{50} \right)^{\left( 10 - r \right)}$

= $\frac{^{10}{}{C}_r {49}^{\left( 10 - r \right)}}{{50}^{10}}$ , donde r = 0, 1, 2, 3, . . . , 10

Entonces, la probabilidad de que más de 8 focos funcionen correctamente es

= P(X < 0)

= P(X = 0) + P(X = 1)

= $\frac{^{10}{}{C}_0 {49}^{10}}{{50}^{10}} + \frac{^{10}{}{C}_1 {49}^9}{{50}^{10}}$

= $\frac{{49}^{10}}{{50}^{10}} + \frac{10 \times {49}^9}{{50}^{10}}$

= $\frac{{49}^9}{{50}^{10}}\left( 49 + 10 \right)$

= $\frac{59\left( {49}^9 \right)}{\left( {50}^{10} \right)}$

Pregunta 54. Una caja tiene 20 bolígrafos de los cuales 2 están defectuosos. Calcula la probabilidad de que de 5 bolígrafos extraídos uno a uno con recambio, a lo sumo 2 estén defectuosos.

Solución:

Consideremos p como la probabilidad de sacar una pluma defectuosa. Además, sea X el número de bolígrafos defectuosos extraídos.

Después,

=> p = 2/20 = 1/10

Y q = 1 – p = 1 – 1/10 = 9/10

Entonces, X tiene una distribución binomial con n = 5

Entonces, la probabilidad de sacar r bolígrafos defectuosos es

Ahora, P(X = r) = $^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{10} \right)^r \left( \frac{9}{10} \right)^{5 - r}$ , r = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Entonces, la probabilidad de sacar como máximo 2 bolígrafos defectuosos

= P(X ≤ 2)

= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= $^{5}{}{C}_0 \left( \frac{1}{10} \right)^0 \left( \frac{9}{10} \right)^5 +^{5}{}{C}_1 \left( \frac{1}{10} \right)^1 \left( \frac{9}{10} \right)^4 + ^{5}{}{C}_2 \left( \frac{1}{10} \right)^2 \left( \frac{9}{10} \right)^3$

= $\left( \frac{9}{10} \right)^3 \left( \frac{81}{100} + 5 \times \frac{9}{100} + \frac{10}{100} \right)$

= $\frac{729}{1000} \times \frac{136}{100}$

= 0.99144

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Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 33 Distribución binomial – Ejercicio 33.1 | conjunto 3

Pregunta 37. Un experimento tiene el doble de éxito que de fracaso. Encuentre la probabilidad de que en los próximos 6 intentos haya al menos 4 éxitos.

Pregunta 38. En un hospital hay 20 máquinas de diálisis renal y la probabilidad de que alguna de ellas esté fuera de servicio durante un día es de 0,02. Determine la probabilidad de que exactamente 3 máquinas estén fuera de servicio el mismo día.

Pregunta 39. La probabilidad de que un estudiante que ingresa a una universidad se gradúe es de 0.4.

(i) Halle la probabilidad de que de 3 estudiantes de la universidad ninguno se gradúe.

(ii) Encuentre la probabilidad de que de 3 estudiantes de la universidad solo uno se gradúe.

(iii) Calcule la probabilidad de que de 3 estudiantes de la universidad todos se gradúen.

Pregunta 40. Se extraen diez huevos sucesivamente, con reposición, de un lote que contiene un 10% de huevos defectuosos. Encuentre la probabilidad de que haya al menos un huevo defectuoso.

Pregunta 42. Supongamos que X tiene una distribución binomial con n = 6 y p = 1/2. Demuestre que X = 3 es el resultado más probable.

Pregunta 43. En un examen de opción múltiple con tres respuestas posibles para cada una de las cinco preguntas, de las cuales solo una es correcta, ¿cuál es la probabilidad de que un candidato obtenga cuatro o más respuestas correctas simplemente adivinando?

Pregunta 44. Una persona compra un boleto de lotería en 50 loterías, en cada una de las cuales su probabilidad de ganar un premio es 1/100.

(i) ¿Cuál es la probabilidad de que gane un premio al menos una vez?

(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que gane un premio exactamente una vez?

(iii) ¿Cuál es la probabilidad de que gane un premio al menos dos veces?

Pregunta 45. La probabilidad de que un tirador dé en el blanco es 3/4. ¿Cuántas veces como mínimo debe disparar para que la probabilidad de acertar al menos una vez en el blanco sea superior a 0,99?

Pregunta 46. ¿Cuántas veces debe lanzar un hombre una moneda justa para que la probabilidad de obtener al menos una cara sea superior al 90%?

Pregunta 47. ¿Cuántas veces debe lanzar un hombre una moneda justa para que la probabilidad de obtener al menos una cara sea mayor al 80%?

Pregunta 48. Se lanza un par de dados 4 veces. Si obtener un doblete se considera un éxito, encuentre la distribución de probabilidad del número de éxitos.

Pregunta 49. De un lote de 30 focos que incluye 6 focos defectuosos, se extrae al azar una muestra de 4 focos con reemplazo. Encuentre la distribución de probabilidad del número de bombillas defectuosas.

Pregunta 50. Hallar la probabilidad de que en 10 tiradas de un dado normal se obtenga un resultado múltiplo de 3 en al menos 8 de las tiradas.

Pregunta 51. Se lanza un dado 5 veces. Halla la probabilidad de que un número impar salga exactamente tres veces.

Pregunta 52. La probabilidad de que un hombre dé en el blanco es 0,25. Dispara 7 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos dos veces?

Pregunta 53. Una fábrica produce bombillas. La probabilidad de que una bombilla esté defectuosa es 1/50 y están empacadas en cajas de 10. A partir de una sola caja, encuentre la probabilidad:

(i) que ninguna de las bombillas esté defectuosa .

(ii) que exactamente dos bombillas están defectuosas.

(iii) que más de 8 bombillas funcionen correctamente.

Pregunta 54. Una caja tiene 20 bolígrafos de los cuales 2 están defectuosos. Calcula la probabilidad de que de 5 bolígrafos extraídos uno a uno con recambio, a lo sumo 2 estén defectuosos.

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