Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 33 Distribución binomial – Ejercicio 33.1 | Serie 1

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Pregunta 1. Hay un 6% de artículos defectuosos en una gran cantidad de artículos. Encuentre la probabilidad de que una muestra de 8 artículos no incluya más de un artículo defectuoso.

Solución:

Consideremos X el número de artículos defectuosos en una muestra de 8 artículos. 

Entonces, una distribución binomial sigue por x con n = 8.

y Probabilidad de obtener un artículo defectuoso (p) = 0.06 

La probabilidad de obtener un artículo defectuoso (1 – p) = 0,94

Entonces, P(X = r) = 8 C r (0.06) r (0 . 94 ) 8 – r , donde r = 0, 1, 2, 3, . . . 8

Entonces, la probabilidad requerida es

= PAG (X < 1) 

= P(X = 0) + P(X = 1)

= 8 C 0 (0.06) 0 (0.94) 8-0 + 8 C 1 (0.06) 1 (0.94 ) 8-1

= (0,94) 8 + 8 (0,06) (0,94) 7 

= (0,94) 7 {0,94 + 0,48}

= 1,42 (0,94) 7

Pregunta 2. Se lanza una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 3 caras?

Solución:

Consideremos X el número de caras en 5 lanzamientos.

Entonces, una distribución binomial sigue por x con n = 5

Probabilidad de sacar cara (p) = 1/2

Y q = 1 – p = 1 – 1/2 = 1/2

P(X = r) = 5 C r (1/2) r (1/2) 5-r , donde r = 0, 1, 2 . . . 5

Entonces, la probabilidad requerida es

= P(X > 3)

= P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

= 5 C 3 (1/2) 3 (1/2) 5-3 + 5 C 4 (1/2) 1 (1/2) 5-1 + 5 C 5 (1/2) 5 (1/2 ) 5-0

= 10 (1/2) 5 + 5 (1/2) 5 + 1 (1/2) 5

= (1/2) 5 (10 + 5 + 1)

= (1/2) 5 (16)

= 1/2

Pregunta 3. Se lanza una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la cola aparezca un número impar de veces?

Solución:

Consideremos X como el número de cruces cuando se lanza una moneda 5 veces.

Entonces, una distribución binomial sigue por x con n = 5

Probabilidad de sacar cara(p) = 1/2.

Además, q = 1 – p = 1/2

P(X = r) = 5 C 3 (1/2) r (1/2) nr = 5 C r (1/2) 5

Entonces, la probabilidad requerida es

= P(X = 1) + P(X = 3) + P(X = 5)

= 5 C 1 (1/2) 5 + 5 C 3 (1/2) 5 + 5 C 5 (1/2) 5

= (1/2) 5 [5 + 10 + 1]

= 16/32

= 1/2

Pregunta 4. Se lanza un par de dados 6 veces. Si obtener un total de 9 se considera un éxito, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos 5 éxitos?

Solución:

Consideremos X el número de aciertos en 6 tiradas de los dos dados.

Entonces la probabilidad de éxito es igual a la probabilidad de obtener un total de 9  

= Probabilidad de obtener (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) de 36 resultados

Aquí, p = 4/36 = 1/9

También q = 1 – p = 8/9 y n = 6

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 6, p = 1/9 y q = 8/9

P(X = r) = 6 C r (1/9) r (8/9) 6-r

La probabilidad requerida es

= P(X > 5)

= P(X = 5) + P(X = 6)

= ^{6}{}{C}_5 \left( \frac{1}{9} \right)^5 \left( \frac{8}{9} \right)^{6 - 5} + ^{6}{}{C}_6 \left( \frac{1}{9} \right)^6 \left( \frac{8}{9} \right)^{6 - 6}

= \frac{6(8) + 1}{9^6}

= 49/9 6

Pregunta 5. Se lanza una moneda justa 8 veces, encuentre la probabilidad: 

(i) de exactamente 5 cabezas.

Solución:

Consideremos X el número de caras que se obtienen al lanzar 8 veces una feria.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 8.

Aquí, p = 1/2 y q = 1 – 1/2 = 1/2

Entonces, P(X = r) = ^8 C_r \left( \frac{1}{2} \right)^{8 - r} \left( \frac{1}{2} \right)^r

= 8 C r (1/2) 8 , donde r = 0, 1, 2, . . . , 8

Entonces, la probabilidad de obtener exactamente 5 caras es 

P(X = 5) = 8 C 5 (1/2) 8

= 56/256

= 7/32

(ii) de al menos seis cabezas.

Solución:

Consideremos X el número de caras que se obtienen al lanzar 8 veces una feria.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 8.

Aquí, p = 1/2 y q = 1 – 1/2 = 1/2

Entonces, P(X = r) = ^8 C_r \left( \frac{1}{2} \right)^{8 - r} \left( \frac{1}{2} \right)^r

= 8 C r (1/2) 8 , donde r = 0, 1, 2, . . . , 8

Entonces, la probabilidad de obtener exactamente 5 caras es 

P(X = 5) = 8 C 5 (1/2) 8

= 56/256

= 7/32

(iii) de un máximo de seis cabezas.

Solución:

Consideremos que X denota el número de caras obtenidas cuando se lanza una feria 8 veces.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 8.

Aquí p = 1/2 y q = 1 – 1/2 = 1/2

P(X = r) = ^8 C_r \left( \frac{1}{2} \right)^{8 - r} \left( \frac{1}{2} \right)^r

= 8 C r (1/2) 8 , r = 0, 1, 2, . . . , 8

entonces la probabilidad de obtener como máximo 6 caras es

P (X < 6) = 1 – [P (X = 7) + P (X = 8)]

= 1 - \left[ {}^8 C_7 \left( \frac{1}{2} \right)^8 +^8 C_8 \left( \frac{1}{2} \right)^8 \right]

= 1 – (8/256 + 1/256)

= 1 – 9/256

= 247/256

Pregunta 6. Encuentra la probabilidad de que salga 4 al menos una vez en dos lanzamientos de un dado justo.

Solución:

Consideremos que X denota la probabilidad de obtener 4 en dos lanzamientos de un dado justo.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 2.

Aquí, p = 1/6 y q = 5/6

P(X = r) = ^{2}{}{C}_r \left( \frac{1}{6} \right)^r \left( \frac{5}{6} \right)^{2 - r}

Entonces, la probabilidad de obtener 4 al menos una vez es

P(X > 1) = 1 – P(X = 0)

= 1 – ^{2}{}{C}_0 \left( \frac{1}{6} \right)^0 \left( \frac{5}{6} \right)^{2 - 0}

= 1 – 25/36

= 11/36

Pregunta 7. Se lanza una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la cabeza aparezca un número par de veces?

Solución:

Consideremos que X denota el número de caras que aparecen cuando se lanza una moneda 5 veces.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5 

Aquí p = q = 1/2.

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{2} \right)^r \left( \frac{1}{2} \right)^{5 - r}

= 5 C r (1/2) 5

P (la cabeza aparece un número par de veces) = P(X = 0) + P(X = 2) + P(X = 4)

= ^{5}{}{C}_0 \left( \frac{1}{2} \right)^5 + ^{5}{}{C}_2 \left( \frac{1}{2} \right)^5 + ^{5}{}{C}_4 \left( \frac{1}{2} \right)^5

= \frac{1 + 10 + 5}{2^5}

= 16/32

= 1/2

Pregunta 8. La probabilidad de que un hombre dé en el blanco es 1/4. Si dispara 7 veces, ¿cuál es la probabilidad de que dé en el blanco al menos dos veces?

Solución:

Consideremos que X denota el número de veces que se golpea el objetivo. 

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 7.

Aquí, p = 1/4 yq = 3/4.

P(X = r) = ^{7}{C}_r \left( \frac{1}{4} \right)^r \left( \frac{3}{4} \right)^{7 - r}

P(dar en el blanco al menos dos veces) = P(X > 2) 

= 1 – {P(X = 0) + P(X = 1)}

= 1 -^{7}{}{C}_0 \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right)^{7 - 0} - ^{7}{}{C}_1 \left( \frac{1}{4} \right)^1 \left( \frac{3}{4} \right)^{7 - 1}

= 1 – (3/4) 7 – 7 (1/4) (3/4) 6

= 1 – 1/16384(2187 + 5103)

= 1 – 3645/8192

= 4547/8192

Pregunta 9. Suponga que, en promedio, uno de los 15 números de teléfono llamados entre las 2 p. m. y las 3 p. m. entre semana está ocupado. ¿Cuál es la probabilidad de que si se llaman seis números de teléfono seleccionados al azar, al menos 3 de ellos estén ocupados?

Solución:

Consideremos que X denota el número de llamadas ocupadas para 6 números de teléfono seleccionados al azar.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 6.

Aquí, p = uno de 15 = 1/15

Y q = 1 – 1/15 = 14/15

P(X = r) = ^{6}{}{C}_r \left( \frac{1}{15} \right)^r \left( \frac{14}{15} \right)^{6 - r}

Entonces, la probabilidad de que al menos 3 de ellos estén ocupados es 

P(X > 3) = 1 – {P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)}

= 1 - \izquierda\{ ^{6}{}{C}_0 \izquierda( \frac{1}{15} \derecha)^0 \izquierda( \frac{14}{15} \derecha)^{6 - 0} + ^{6}{}{C}_1 \left( \frac{1}{15} \right)^1 \left( \frac{14}{15} \right)^{6 - 1} + ^{6}{}{C}_2 \left( \frac{1}{15} \right)^2 \left( \frac{14}{15} \right)^{6 - 2} \right\}

= 1 - \izquierda\{ \izquierda( \frac{14}{15} \derecha)^6 + \frac{6}{15} \izquierda( \frac{14}{15} \derecha)^5 + \frac {1}{15} \izquierda( \frac{14}{15} \derecha)^4 \derecha\}

Pregunta 10. Si obtener 5 o 6 en un lanzamiento de un dado imparcial es un éxito y la variable aleatoria X denota el número de éxitos en seis lanzamientos del dado, encuentre P (X ≥ 4).

Solución:

Consideremos X como el número de aciertos. Eso es sacar 5 o 6 en una tirada de dado en 6 tiradas.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 6

Aquí, p = de obtener 5 o 6 = 1/6 + 1/6 = 1/3

 Y q = 1 – p = 2/3

P(X = r) = ^{6}{}{C}_r \left( \frac{1}{3} \right)^r \left( \frac{2}{3} \right)^{6 - r}

P(X > 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

= ^{6}{}{C}_4 \left( \frac{1}{3} \right)^4 \left( \frac{2}{3} \right)^{6 - 4} +^{6}{}{C}_5 \left( \frac{1}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^{6 - 5} + ^{6}{}{C}_6 \left( \frac{1}{3} \right)^6 \left( \frac{2}{3} \right)^{6 - 6}

= (1/3 6 ) (60 + 12 + 1)

= 73/729

Pregunta 11. Se lanzan ocho monedas simultáneamente. Encuentre la posibilidad de obtener al menos seis caras.

Solución:

Consideremos que X denota el número de caras al lanzar 8 monedas.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 8.

Aquí, p = 1/2 y q = 1/2

P(X = r) = ^{8}{}{C}_r \left( \frac{1}{2} \right)^r \left( \frac{1}{2} \right)^{8 - r}

= 8 C r (1/2) 8

Entonces, la probabilidad de obtener al menos 6 caras es 

P(X > 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)

= ^{8}{}{C}_6 \left( \frac{1}{2} \right)^8 + ^{8}{}{C}_7 \left( \frac{1}{2} \right)^8 + ^{8}{}{C}_8 \left( \frac{1}{2} \right)^8

= 1/2 8 (28 + 8 + 1)

= 37/256

Pregunta 12. Se sacan cinco cartas sucesivamente con reemplazo de un paquete bien barajado de 52 cartas.

(i) ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco cartas sean espadas?

Solución:

Consideremos que X es el número de cartas de espada cuando se extraen 5 cartas con reemplazo.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5.

p = 13/52 = 1/4 y q = 1 – p = 3/4

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{4} \right)^r \left( \frac{3}{4} \right)^{5 - r}

P(Todas las cartas son espadas) = ​​P(X = 5)

= ^{5}{}{C}_5 \left( \frac{1}{4} \right)^5 \left( \frac{3}{4} \right)^0

= 1/1024

(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que solo 3 cartas sean espadas? 

Solución:

Consideremos que X es el número de cartas de espada cuando se extraen 5 cartas con reemplazo.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5. 

Aquí, p = 13/52 = 1/4 y q = 1 – p = 3/4

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{4} \right)^r \left( \frac{3}{4} \right)^{5 - r}

P(solo 3 cartas son espadas) = ​​P(X = 3)

= ^{5}{}{C}_3 \left( \frac{1}{4} \right)^3 \left( \frac{3}{4} \right)^2

= (1/1024) (90)

= 45/512

(iii) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna sea una pica?

Solución:

Consideremos que X es el número de cartas de espada cuando se extraen 5 cartas con reemplazo.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5.

Aquí p = 13/52 = 1/4 y q = 1 – p = 3/4.

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{4} \right)^r \left( \frac{3}{4} \right)^{5 - r}

P(ninguno es una espada) = P(X = 0)

= ^{5}{}{C}_0 \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right)^5

= 243/1024

Pregunta 13. Una bolsa contiene 7 bolas rojas, 5 blancas y 8 negras. Se extraen cuatro bolas una por una con reposición.

(i) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea blanco?

Solución:

Consideremos que X denota el número de bolas blancas extraídas cuando se extraen 4 bolas con reemplazo.  

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 4.

Aquí, la probabilidad de una bola blanca (p) = 5/20 = 1/4

Y q = 1 – p = 3/4

P(X = r) = ^{4}{}{C}_r \left( \frac{1}{4} \right)^r \left( \frac{3}{4} \right)^{4 - r}

Entonces, la probabilidad de que ninguno sea blanco es

P(X = 0) = ^{4}{}{C}_0 \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 0}

= 81/256

(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea blanco?

Solución:

Consideremos que X denota el número de bolas blancas extraídas cuando se extraen 4 bolas con reemplazo.  

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 4.

Aquí, la probabilidad de una bola blanca (p) = 5/20 = 1/4

Y q = 1 – p = 3/4

P(X = r) = ^{4}{}{C}_r \left( \frac{1}{4} \right)^r \left( \frac{3}{4} \right)^{4 - r}

entonces, la probabilidad de que ninguno sea blanco es 

P(X = 0) = ^{4}{}{C}_0 \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 0}

= 81/256

(iii) ¿Cuál es la probabilidad de que dos cualesquiera sean blancas?

Solución:

Consideremos que X denota el número de bolas blancas extraídas cuando se extraen 4 bolas con reemplazo.  

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 4.

Entonces, la probabilidad de una bola blanca (p) = 5/20 = 1/4

Y q = 1 – p = 3/4

P(X = r) = ^{4}{}{C}_r \left( \frac{1}{4} \right)^r \left( \frac{3}{4} \right)^{4 - r}

Entonces, la probabilidad de que dos cualesquiera sean blancas es 

P(X = 2) = ^{4}{}{C}_2 \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 2}

= 54/256

= 27/128

Pregunta 14. Una caja contiene 100 boletos, cada uno con uno de los números del 1 al 100. Si se extraen sucesivamente 5 boletos con reemplazo de la caja, encuentre la probabilidad de que todos los boletos tengan números divisibles por 10.

Solución:

Consideremos que X denota la variable que representa el número en el boleto que lleva un número divisible por 10 de los 5 boletos sorteados.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5.

Aquí, la probabilidad de obtener un billete con un número divisible por 10(p) = 10/100

= 1/10

Y q = 1 – p = 9/10

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{10} \right)^r \left( \frac{9}{10} \right)^{5 - r}

Entonces, la probabilidad de que todos los boletos tengan números divisibles por 10 es

P(X = 5) = ^{5}{}{C}_5 \left( \frac{1}{10} \right)^5 \left( \frac{9}{10} \right)^{5 - 5}

= (1/10) 5 (9/10) 0

= (1/10) 5

Pregunta 15. Una bolsa contiene 10 bolas, cada una marcada con uno de los dígitos del 0 al 9. Si se extraen sucesivamente cuatro bolas con reemplazo de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna esté marcada con el dígito 0?

Solución:

Consideremos que X denota el número de bolas marcadas con el dígito 0 cuando se extraen 4 bolas con éxito con reemplazo.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 4.

Entonces, la probabilidad de que una bola extraída al azar tenga el dígito 0(p) = 1/10

Y q = 1 – p = 9/10

P(X = r) = ^{4}{}{C}_r \left( \frac{1}{10} \right)^r \left( \frac{9}{10} \right)^{4 - r}

P(ninguno lleva el dígito 0) = P(X = 0)

= ^{4}{}{C}_0 \left( \frac{1}{10} \right)^0 \left( \frac{9}{10} \right)^{4 - 0}

= (9/10) 4

Pregunta 16. En una gran cantidad de artículos, el 5 por ciento de los artículos son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 10 artículos no incluya más de un artículo defectuoso?

Solución:

Consideremos X el número de artículos defectuosos en una muestra de 10 artículos.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 10.

Y la probabilidad de artículos defectuosos (p) = 5% = 0.05 

Y q = 1 – p = 0,95

P(X = r) = 10 C r (0,05) r (0,95) 10-r

Entonces, la probabilidad (una muestra de 10 artículos no incluirá más de un artículo defectuoso) es 

P(X < 1) = P(X = 0) + P(X = 1) 

= 10C0 (0,05) 0 (0,95 ) {0-0 + 10 C 1 (0,05) 1 (0,95) 10-1

= (0,95) 9 (0,95 + 0,5)

= 1,45 (0,95) 9

Pregunta 17. La probabilidad de que una bombilla producida por una fábrica se funda después de 150 días de uso es 0,05. 

(i) Calcule la probabilidad de que de 5 de esas bombillas ninguna se funda después de 150 días de uso. 

Solución:

Consideremos X el número de bombillas que se fusionan después de 150 días.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5.

Aquí, p = 0,05 y q = 0,95

O p = 1/20 y q = 19/20

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{20} \right)^r \left( \frac{19}{20} \right)^{5 - r}

Entonces, la probabilidad (ninguno se fusionará después de 150 días de uso) es 

P(X = 0) = ^{5}{}{C}_0 \left( \frac{1}{20} \right)^0 \left( \frac{19}{20} \right)^{5 - 0}

= (19/20) 5

(ii) Calcule la probabilidad de que de 5 de esas bombillas, no más de una se funda después de 150 días de uso. 

Solución:

Consideremos que X denota el número de bombillas que se fusionan después de 150 días.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5.

Aquí p = 0,05 y q = 0,95.

O p = 1/20 y q = 19/20

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{20} \right)^r \left( \frac{19}{20} \right)^{5 - r}

Entonces, la probabilidad (no más de 1 se fusionará después de 150 días de uso) es

P(X < 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

= \left( \frac{19}{20} \right)^5 + 5 C_1 \left( \frac{1}{20} \right)^1 \left( \frac{19}{20} \right)^{5 - 1}

= \left( \frac{19}{20} \right)^4 \left\{ \frac{19}{20} + \frac{5}{20} \right\}

= (6/5) (19/20) 4

(iii) Calcule la probabilidad de que, de 5 de esas bombillas, más de una se funda después de 150 días de uso. 

Solución:

Consideremos que X denota el número de bombillas que se fusionan después de 150 días.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5.

Aquí p = 0,05 y q = 0,95

O p = 1/20 y q = 19/20

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{20} \right)^r \left( \frac{19}{20} \right)^{5 - r}

Entonces, la probabilidad (más de uno se fusionará después de 150 días de uso) es

P(X > 1) = 1 – P(X < 1)

= 1 – (6/5) (19/20) 4

(iv) Calcule la probabilidad de que, de 5 de estas bombillas, al menos una se funda después de 150 días de uso. 

Solución:

Consideremos que X denota el número de bombillas que se fusionan después de 150 días.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 5.

Aquí p = 0,05 y q = 0,95

O p = 1/20 y q = 19/20

P(X = r) = ^{5}{}{C}_r \left( \frac{1}{20} \right)^r \left( \frac{19}{20} \right)^{5 - r}

Entonces, la probabilidad (al menos uno se fusionará después de 150 días de uso) es

P(X > 1) = 1 – P(X = 0)

= 1 – (19/20) 5

Pregunta 18. Suponga que el 90% de las personas son diestras. ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 6 de una muestra aleatoria de 10 personas sean diestras?

Solución:

Consideremos que X denota el número de personas diestras en la muestra de 10 personas.

Ahora, sigue una distribución binomial X con n = 10.

Aquí p = 90 % = 90/100 = 0,9

Y q = 1 – p = 0.1

P(X = r) = 10 C r (0.9) r (0.1) 10-r

Entonces, la probabilidad de que a lo sumo 6 sean diestros es

P(X < 6) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P (X = 6)

= 1 – {P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)}

= 1 - \sum^{10}_{r = 7}{^{10}{}{C}_r} (0 . 9 )^r (0 . 1 )^{10 - r}

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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