Corolarios del teorema del binomio

La expresión $(a+b)^n$ denota $(a+b)(a+b)(a+b) ... n$ tiempos. Esto se puede evaluar como la suma de los términos que implican $a^k b^{n-k}$ para k = 0 a n, donde el primer término se puede elegir de n lugares, el segundo término de (n-1) lugares, el $k^{th}$ término de (n-(k-1)) lugares y así sucesivamente. Esto se expresa como $(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n ^nC_k a^{n-k} b^k$ . La expansión binomial usando símbolos combinatorios es

$(a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + ^nC_2 a^{n-2} b^2 .. + ^nC_{n-k} a^k b^{n-k} .. +^nC_n a^0 b^n$

El grado de cada término $a^k$ [Tex]b^{nk} [/Tex]en la expansión binomial anterior es del orden n.
El número de términos en la expansión es n+1.
$^nC_k = n!/k!(n-k)!$ Del mismo modo $^nC_{n-k} = n!/(n-k)!(n-(n-k))! = n!/(n-k)!k!$ , por lo tanto, se puede concluir que $^nC_k = ^nC_{n-k}$ .

Sustituyendo a = 1 y b = x en la expansión binomial, para cualquier entero positivo n obtenemos $(1+x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x^1 + ^nC_2 x^2 ..+ ^nC_n x^n$ . Corolario 1:

$\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 2^n$

para cualquier entero no negativo n. Reemplazando x con 1 en la expansión binomial anterior, obtenemos $^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 .. + ^nC_n = (1+1)^n = 2^n$ . Corolario 2:

$\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 0$

para cualquier entero positivo n. Reemplazando x con -1 en la expansión binomial anterior, obtenemos $^nC_0 + ^nC_1 (-1) + ^nC_2 (-1)^2 .. + ^nC_n (-1)^n = (1+(-1))^n = 0$ . Corolario 3: Reemplazando x con 2 en la expansión binomial anterior, obtenemos $^nC_0 + ^nC_1 2 + ^nC_2 2^2 .. + ^nC_n 2^n = (1+2)^n = 3^n$ En general, se puede decir que

$\sum\limits_{k=0}^n (2^k) ^nC_k = 3^n$

Además, uno puede combinar el corolario 1 y el corolario 2 para obtener otro resultado, $^nC_0 + ^nC_1 (-1) + ^nC_2 (-1)^2 .. + ^nC_n (-1)^n = (1+(-1))^n = 0$ [Tex]^nC_0 + ^nC_2 + .. = ^nC_1 + ^nC_3 + … [/Tex]Suma de coeficientes de términos pares = Suma de coeficientes de términos impares términos. Dado que $\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 2^n$ , 2( $^nC_0 + ^nC_2 + ..) = 2^n$ [Tex]^nC_0 + ^nC_2 + .. = 2^{n-1} [/Tex]