Introducción a las Progresiones Aritméticas | Clase 10 Matemáticas

Una progresión es una sucesión o serie de números en los que están ordenados en un orden particular tal que la relación entre los términos consecutivos de la serie o sucesión es siempre constante. En una progresión, es posible obtener el n -ésimo término de la serie.

En matemáticas, hay 3 tipos de progresiones:

  1. Progresión aritmética (AP)
  2. Progresión geométrica (GP)
  3. Progresión armónica (HP)

La progresión aritmética (AP) , también conocida como secuencia aritmética, es una secuencia o serie de números tales que la diferencia común entre dos números consecutivos en la serie es constante.

Por ejemplo:

Serie 1: 1,3,5,7,9,11….

En esta serie, la diferencia común entre dos números consecutivos siempre es 2.

Serie 2: 28,25,22,19,16,13….

En esta serie, la diferencia común entre dos números consecutivos es estrictamente -3.

Terminología y Representación

  • Diferencia común, d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = ……. = un norte – un norte – 1
  • a n = n -ésimo término de progresión aritmética
  • S n = Suma de los primeros n elementos de la serie

Forma general de un AP

Si se toma a como primer término y d como diferencia común, entonces el N -ésimo término del PA vendrá dado por la fórmula: 

N-term-of-an-arithmetic-progression1

Entonces, al calcular los n términos de un AP con la fórmula anterior, la forma general del AP es la siguiente:

General-form-of-Arithmetic-Progression

Ejemplo: Encuentra el término 35 de la serie 5,11,17,23 …..

Solución:

En la serie dada,

a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6, n = 35

Tenemos que encontrar el término 35 , por lo tanto, aplicar las fórmulas,

un norte = un + ( n – 1)d

un norte = 5 + (35 – 1) x 6

un norte = 5 + 34 x 6

un n = 209

Por lo tanto, 209 es el término 35 .

Suma de n términos de progresión aritmética

La fórmula para la suma de progresión aritmética es,

Derivación de la fórmula

Sea ‘l’ el enésimo término de la serie y S n el sol de los primeros n términos de AP a, (a+d), (a+2d), …., a+(n-1)d entonces,

S norte = un 1 + un 2 + un 3 + ….un n -1 + un norte

S norte = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (l – 2d) + (l – d) + l …(1)

Escribiendo la serie en orden inverso, obtenemos,

S norte = l + (l – d) + (l – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)

Sumando la ecuación (1) y (2),

2S n = (a + l) + (a + l) + (a + l) + …….. + (a + l) + (a + l) + (a + l)

2S n = n(a + l)

S norte = ( n /2)(a + l) …(3)

Por lo tanto, la fórmula para encontrar la suma de una serie es,

dónde,

a es el primer termino

l es el último término de la serie y 

n es el número de términos en la serie

Reemplazando el último término l por el enésimo término en la ecuación 3 obtenemos,

n -ésimo término = a + (n – 1)d

S norte = ( n /2)(a + a + (n – 1)d)

Nota: Los términos consecutivos en una progresión aritmética también se pueden representar como,

…….., a-3d , a-2d, ad, a, a+d, a+2d, a+3d, ……..

Ejemplos de problemas sobre progresiones aritméticas

Problema 1. Hallar la suma de los primeros 35 términos de la serie 5,11,17,23…..

Solución:

En la serie dada,

a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6, n = 35

S norte = ( n /2)(2a + (n – 1) xd)

Sn = ( 35/2 )(2 x 5 + (35 – 1) x 6)

Sn = ( 35/2 )(10 + 34 x 6)

Sn = ( 35/2 )(10 + 204)

S n = 35 x 214/2

S n = 3745

Problema 2. Encuentra la suma de la serie cuando el primer término de la serie es 5 y el último de la serie es 209 y el número de términos de la serie es 35.

Solución:

En la serie dada,

a = 5, l = 209, n = 35

S norte = ( n /2)(a + l)

Sn = ( 35/2 )(5 + 209)

S n = 35 x 214/2

S n = 3745

Problema 3. Se reparten 21 rupias entre tres hermanos donde las tres partes del dinero están en AP y la suma de sus cuadrados es 155. Encuentra la mayor cantidad.

Solución:

Sean las tres partes de dinero (ad), a, (a+d), ya que la cantidad distribuida está en AP

Dado que

(a – d) + a + (a + d) = 21

Por lo tanto, 

3a = 21

un = 7

De nuevo, (a – d) 2 + a 2 + (a + d) 2 = 155

a 2 + d 2 – 2 ad + a 2 + a 2 + d 2 + 2 ad = 155

3a 2 + 2d 2 = 155

Poniendo el valor de ‘a’ obtenemos,

3(7) 2 + 2d 2 = 155

2d 2 = 155 – 147

re 2 = 4

re = ±2

Las tres partes del dinero distribuido son:

un + re = 7 + 2 = 9

un = 7

una – re = 7 – 2 = 5

Por lo tanto, la mayor parte es Rupias 9 

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ankurv343 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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