Imaginemos que hay una maleta con un candado numérico y el dueño olvidó su contraseña. El candado numérico tiene 4 ruedas y cada una está etiquetada con 10 dígitos del 0 al 9. Solo se puede desbloquear si se organizan 4 dígitos específicos en una secuencia particular. Pero el problema es que el dueño ha olvidado esa secuencia específica. Cuando se le pregunta, solo recuerda que el primer dígito es 7. Para abrir la cerradura, ¿con cuántas secuencias de 3 dígitos tendrá que verificar? Para responder a esta pregunta, inmediatamente comienza a enumerar todos los arreglos posibles de los 9 dígitos restantes tomados de 3 en 3. Pero este método será tedioso, porque el número de secuencias posibles puede ser grande. Veamos algunas técnicas básicas de conteo que nos permiten resolver este tipo de problemas.
Principio fundamental de contar
Para comprender este principio intuitivamente, consideremos un ejemplo. Digamos que una persona tiene 3 pantalones y 2 camisas y surge una pregunta, ¿de cuántas maneras diferentes puede vestirse? Hay tres formas diferentes de elegir los pantalones, ya que hay tres tipos de pantalones disponibles. Del mismo modo, hay dos formas de elegir las camisetas.
Veamos todas las diferentes formas de vestir a través de un diagrama. Considerando P 1 , P 2 y P 3 como pantalones y S 1 , S 2 como camisas. El árbol que se muestra a continuación enumera el rango de posibilidades
Diagrama de árbol que representa el número de posibilidades para el ejemplo anterior
Como se muestra en la figura, con cada tipo de pantalón. Hay dos camisas posibles que se pueden usar. Entonces, en total, hay 6 formas de vestirse.
Pregunta: Cuente el número de posibilidades cuando se lanza una moneda 3 veces usando un diagrama de árbol.
Responder:
Entonces, hay un total de 8 posibilidades.
Pero en estos escenarios, no nos es posible contar manualmente el número de posibilidades cada vez o hacer un árbol de ellas. En este caso, el principio fundamental de contar nos ayuda. Dice,
“Si un evento puede ocurrir de m maneras diferentes, después de lo cual otro evento puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces el número total de eventos en el orden dado es m×n”.
Este principio se puede extender a cualquier número finito de eventos de la misma manera. Entonces, para tres eventos, este principio se convierte en,
“Si un evento puede ocurrir de m maneras diferentes, después de lo cual otro evento puede ocurrir de n formas diferentes, después de estos dos eventos sucede otro evento que puede ocurrir de p maneras diferentes. Entonces, el número total de ocurrencia de los eventos en el orden dado es «m × n × p».
Ejemplos y Aplicaciones
Veamos ejemplos de este principio para concretar nuestra comprensión.
Pregunta 1: Encuentra el número de palabras de cuatro letras con o sin significado, que se pueden formar con letras de la palabra ROSE, donde no se permite la repetición de letras.
Responder:
El número de palabras que se pueden formar a partir de estas palabras de cuatro letras es el mismo número de formas en que podemos llenar __ __ __ __ con las letras R, O, S, E. Tenga en cuenta que no se permite la repetición. El primer lugar se puede llenar con cualquiera de las cuatro letras, después de ese segundo lugar solo se puede llenar con tres letras porque ya hemos usado una y no se permite la repetición. El tercer lugar solo se puede llenar con dos letras y el último lugar se llenará con la última letra restante.
Entonces, hay varias formas en que podemos hacer esto. 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Nota: Si se permitiera la repetición de las letras, siempre podríamos haber usado cuatro letras para llenar cada lugar. Entonces 4 × 4 × 4 × 4 = 256.
Pregunta 2: Dadas 6 banderas de diferentes colores, ¿cuántas señales diferentes se pueden generar, si una señal requiere el uso de 2 banderas una debajo de la otra?
Responder:
Una señal se puede ver así.
Aquí en cada posición podemos usar los diferentes colores de bandera que se nos dan. Entonces, en la primera posición tenemos 6 opciones diferentes para llenar la posición de la bandera 1. Entonces, en la segunda posición tendremos 5 posiciones para llenar porque ya hemos usado un color.
Entonces, número total de formas de llenar = 6 × 5 = 30.
Pregunta 3: ¿Cuántos números pares de 2 dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 si los dígitos se pueden repetir?
Responder:
__ __, hay cinco posibilidades de poner números en cada lugar ya que los números se pueden repetir. Pero se da una restricción en las preguntas que dice que el número debe ser par. Entonces, todos los números pares tienen un dígito par como último dígito. En los números dados, solo 2 y 4 son dos números pares. Entonces, en el lugar de la unidad en el número, solo hay dos posibilidades mientras que sus 5 posibilidades para el lugar de las decenas.
Entonces, número total de posibles números pares = 5 × 2
= 10
Pregunta 4: ¿Cuántos divisores positivos tiene 1000 = 2 3 5 3 ?
Responder:
El divisor positivo de 1000 estará en la forma 2 a 5 b . Aquí, a y b satisfarán 0 ≤ a ≤ 3 y 0 ≤ b ≤ 3. Está claro que hay 4 posibilidades de a y 4 posibilidades de b. Por lo tanto, hay 4 × 4 = 16 enteros positivos de 1000.
Pregunta 5: Hay 10 periódicos diarios y 4 revistas semanales publicados en París, si Amy quiere suscribirse exactamente a un periódico diario y una revista semanal, ¿cuántas opciones diferentes tiene?
Responder:
Amy tendrá 10 × 4 = 40 opciones.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA