Dos expresiones algebraicas o números reales relacionados por el símbolo ≤, ≥, < y > forman una desigualdad. Si las expresiones son lineales, la desigualdad se llama desigualdad lineal. Por ejemplo: 4(x – 2) < 10, 10 < 45, x >= -3, etc.
Símbolos de desigualdad lineal:
- No igual a (≠)
- mayor que (>)
- Menos que (<)
- Mayor o igual que (≥)
- Menor o igual que (≤)
El mayor que (>) y el menor que (<) se denominan desigualdades estrictas , ya que representan que un número es estrictamente menor o mayor que el otro.
Las desigualdades mayor o igual a (≥) y menor o igual a (≤) se denominan desigualdades de holgura o desigualdades no estrictas, ya que representan que el valor está incluido en la solución.
Propiedades de la desigualdad lineal
- Podemos sumar o restar un número real de ambos lados de la desigualdad
- Podemos multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por un número positivo
- Si multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte
Tipos de desigualdad lineal
- Desigualdad lineal en una variable: si la función lineal involucra una sola variable, entonces es desigualdad lineal en una variable. Ej.: 2x – 45 > 7
- Desigualdad lineal en dos variables: si la función lineal involucra dos variables, entonces es desigualdad lineal en dos variables. Por ejemplo: 4x + 7y > 9
En este artículo, nos centraremos en las desigualdades lineales en una variable.
Para resolver la desigualdad lineal en una variable necesitamos seguir estos pasos:
Paso 1: Separar las constantes de un lado y las variables del otro lado.
Paso 2: simplifica ambos lados para convertirlos en una ecuación de la forma mx > n o mx < n.
Paso 3: divide ambos lados por m, si m es negativo, invierte el signo de desigualdad.
Ejemplos de problemas de desigualdad lineal en una variable
Problema 1: Resolver para x, si x +4 ≥ 18
Solución:
x + 4 ≥ 18
x + 4 – 4 ≥ 18 – 4
x ≥ 14
Problema 2: Resolver para x, si – 3x ≥ 21
Solución:
= −3x ≥ 21
= x ≤ 21/-3 (El cambio de signo se debe a la división de ambos lados por un número negativo)
= x ≤ −7
Problema 3: Resolver para x, si 5 – 2x ≥ 19
Solución:
5 – 2x ≥ 19
= -2x ≥ 19 – 5
= -2x ≥ 14
= x ≤ 14/-2 (El cambio de signo se debe a la división por un número negativo)
= x ≤ -7
Problema 4: Resolver para x, si 7x + 4 < 5(x + 2)
Solución:
7x + 4 < 5(x + 2)
7x + 4 < 5x + 10
7x – 5x < 10 – 4
2x < 6
X < 3
Gráfica de desigualdad lineal en una variable
Como solo hay una variable, se representará en una recta numérica. Pasos para graficar una solución de una desigualdad lineal en una recta numérica:
Paso 1: resuelve la desigualdad
Paso 2: haz una recta numérica y marca el punto en la recta numérica
Paso 3: Localiza el número real. encontrado después de resolver la desigualdad. Utilice un círculo abierto para la desigualdad estricta (< y >) y un círculo cerrado para la desigualdad de holgura (≤ y ≥)
Paso 4: En la desigualdad final si el signo es > o ≥ dibujar la línea hacia el eje positivo o hacia el eje negativo si el signo es < o ≤
Ejemplos de problemas sobre gráficas
Problema 1: Resuelve la desigualdad lineal (3a + 7)/2 ≥ a + 5, y representa la solución en la recta numérica.
Solución:
(3a + 7)/2 ≥ a + 5
= 3a + 7 ≥ 2a + 10
= un ≥ 3
Problema 2: Resuelve la desigualdad lineal −13 < 3x – 7 < 17 y representa la solución en la recta numérica.
Solución:
-13 < 3x – 7 < 17
-13 + 7 < 3x – 7 + 7 < 17 + 7
-6 < 3x < 24
-6/3 < x < 24/3
-2 < x < 8
Problemas verbales sobre desigualdad lineal
Problema 1: En los primeros cuatro trabajos de 100 puntos cada uno, Devesh obtuvo 97, 75, 75, 84 puntos. Si quiere un promedio de más de 80 puntos y menos de 85 puntos, encuentre el rango de puntos que debe obtener en la quinta prueba.
Solución:
Sean x las marcas en el quinto papel. Según el comunicado,
80 < (97 + 75 + 75 + 84 + x)/5 < 85
= 400 < 331 + x < 425
= 400 – 331 < x < 425 – 331
= 69 < x < 94
Por lo tanto, Devesh necesita una puntuación superior a 69 y inferior a 94 para obtener el promedio deseado.
Problema 2: Surya tiene dos varillas. La longitud de una varilla es tres metros más larga que la otra, cada una de las varillas mide menos de 19 m y la suma de las dos varillas es más larga que 23 m. Encuentre un rango posible de longitud de la barra más corta.
Solución:
Sea x la longitud de la varilla más corta. Entonces la longitud de la otra varilla es x + 3.
Al resolver este tipo de problema, cuando las longitudes de ambas varillas son menores que algún número, tenemos que tomar la longitud de la varilla más larga para formar la desigualdad.
x + 3 < 19
X < 16
La suma de las longitudes de las varillas es mayor que 23,
x + x + 3 > 23
= 2x > 20
= x > 10
Por lo tanto, 10 < x < 16
Problema 3: Ola cobra una tarifa plana de 20 rupias además de 4 rupias por kilómetro. Arnab no tiene más de 100 rupias para gastar en un viaje. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer Arnab sin exceder su presupuesto?
Solución:
Sea x el número de kilómetros recorridos por Arnab.
Según el comunicado,
4x + 20 ≤ 100
= 4x ≤ 80
= x ≤ 20
Por lo tanto, Arnab puede viajar 20 kilómetros o menos antes de llegar a su límite de 100 rupias.