Problemas de práctica sobre probabilidad | Clase 9 Matemáticas

La probabilidad en palabras simples es la predicción de que suceda un evento antes de que ya haya sucedido. Hacemos predicciones en muchas cosas en nuestro día a día, como:

1) Predecir el clima antes de ir de picnic.

2) Predecir el resultado de la elección.

3) Predecir quién va a ganar el sorteo.

En todas estas situaciones, tratamos de encontrar la probabilidad o posibilidades de que ocurra un evento considerando todas las condiciones que están a favor de ese evento. De la discusión anterior, la probabilidad se puede definir matemáticamente como:

La probabilidad es la rama de las matemáticas que nos dice cuáles son las posibilidades de que ocurra un evento. La probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1, donde 0 indica la imposibilidad del evento y 1 indica certeza. Por lo tanto, 0 ≤ P(E) ≤ 1, donde P(E) = Probabilidad de que ocurra un evento.

Algunos terminología básica utilizada en la probabilidad son:

1. Experimento: Un experimento se conoce como un evento en el que se espera algún resultado bien definido. También conocido como espacio muestral. Por ejemplo, el espacio muestral S es S = {H, T}, donde H se refiere a la cabeza y T se refiere a la cola.

2. Prueba: Una prueba se conoce como un evento único que se realiza para determinar el resultado.

3. Resultado: Los resultados son los resultados de un experimento. Por ejemplo, ganar/perder son posibles resultados del partido de cricket.

4. Experimento aleatorio: un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado no se puede predecir de antemano. Puede repetirse bajo numerosas condiciones. 

5. Evento imposible: cuando la probabilidad de un evento es 0, entonces el evento se conoce como un evento imposible.

6. Evento seguro: cuando la probabilidad de un evento es 1, entonces el evento se conoce como evento seguro.

Fórmula de probabilidad

La probabilidad experimental o probabilidad empírica de un evento es 

Probabilidad(E) = 

Alternativamente,    

P(E) = 

Aquí, P(E) = Probabilidad de que ocurra un evento

N(E) = Número total de resultados favorables

N(S) = Número total de todos los resultados posibles

Ahora pasemos a resolver problemas y comprender mejor la probabilidad. 

Problemas de muestra

Pregunta 1. Sumit está jugando al cricket con sus amigos, para decidir quién va a batear se decide lanzando una moneda, el que gane el sorteo bateará primero. Suponiendo que Sumit y Mohit sean los capitanes de los dos equipos que han elegido cara y cruz respectivamente. Encuentre las posibilidades de que Sumit batee primero.

Solución:

Sabemos que solo hay dos resultados posibles del sorteo, es decir, cara o cruz.

Por lo tanto, Espacio(s) muestral(es) = Total de resultados posibles = {H, T}

 Sumit necesita cara para ganar el sorteo, por lo tanto, solo hay un resultado favorable.

 Probabilidad de Sumit de ganar el sorteo = resultado favorable / resultado total 

= 1/2 = 0,5

Pregunta 2. Se lanzan dos dados. ¿Encuentra la probabilidad de que la puntuación total sea un número primo?

Solución:

Dado que se lanzan dos dados, el número total de combinaciones = n(S) = (6 x 6) = 36 combinaciones.

Consideremos E el evento de que la suma sea un número primo.

Todos los resultados favorables son (E) = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), 

                                                               (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), 

                                                              (4, 3), (5, 2), (5, 6), (6, 1), (6, 5)}

Por lo tanto, n(E) = 15

Probabilidad de que la puntuación sea un número primo = n(E)/n(S) = 15/36 = 5/12

Pregunta 3. En una caja de lotería hay 10 premios y 25 espacios en blanco. Se extrae un boleto al azar de la caja de lotería. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un premio?

Solución:

Dado: Número total de premios = 10

Número total de espacios en blanco = 25

Entonces, el número total de resultados posibles (es decir, n(S)) son = 10 + 25 = 35

Número total de premios, n(E) = 10

Según la fórmula

P(E) = n(E)/n(S) = 1035 = 27

Pregunta 4. Una bolsa contiene 8 bolas azules y algunas rosas. Si la probabilidad de sacar una bola rosa es la mitad de la probabilidad de sacar una bola azul, encuentra el número de bolas rosas en la bolsa.

Solución:

Consideremos que el número de bolas rosas sea n.  

El número de bolas azules = 8.

Por tanto, el número total de bolas presentes en la bolsa = n + 8.

Ahora, la probabilidad de sacar una bola rosa, es decir, P(X) = n/n + 8

la probabilidad de sacar la bola azul, es decir, P(B) = 8/n + 8

De acuerdo con la pregunta, la probabilidad de sacar rosa

bola es la mitad de la probabilidad de sacar la bola azul

Entonces, P(X) = P(B)/2

n = 4.

Entonces, el número de bolas rosas presentes en la bolsa es 4.

Pregunta 5. Se mezclan las cartas numeradas del 1 al 20 y luego se extrae una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta extraída tenga un número que sea múltiplo de 3 o de 5?

Solución:

Las tarjetas están numeradas del 1 al 20, por lo que n(S) = {1, 2, 3, 4, …., 19, 20}.

Consideremos E como el evento de obtener un múltiplo de 3 o 5 

Entonces, n(E) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 5, 10, 20}.

Según la fórmula

P(E) = n(E)/n(S) = 9/20.

Pregunta 6. Se saca una carta de una baraja de 52 cartas, bien barajadas. Calcula la probabilidad de que la carta

(i) ser un as,

(ii) no ser un as.

Solución: 

La buena barajada asegura resultados igualmente probables.

(i) Hay 4 ases en una baraja.

Consideremos E el evento de que la carta extraída sea un as.

El número de resultados favorables al evento E = 4

El número de resultados posibles = 52

Por lo tanto, P(E) = 4/52 = 1/13

(ii) Consideremos que F es el evento de ‘la carta no es un as’

El número de resultados favorables a F = 52 – 4 = 48

El número de resultados posibles = 52

Por lo tanto, P(F) = 48/52 = 12/13

Pregunta 7. En un lanzamiento simultáneo de un par de dados. Encuentre la probabilidad de obtener un total de más de 7.

Solución:

El número total de combinaciones para un par de dados es = n(S) = (6 x 6) = 36

Consideremos E el evento de obtener un total de más de 7

= {(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), 

     (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Por lo tanto, P(E) = n(E)/n(S) 

= 15/36 = 5/12.

Pregunta 8. En una empresa de 364 trabajadores, 91 están casados. Encuentre la probabilidad de seleccionar un trabajador que no esté casado.

Solución:

Dado,

Trabajadores totales (es decir, espacio muestral) = n(S) = 364

Total de trabajadores casados ​​= 91

Ahora, total de trabajadores solteros = n(E) = 364 – 91 = 273

Método 1: Entonces, la probabilidad de trabajador soltero P(NM) = n(E)/n(S) = 273/364 = 0.75

Método 2: P(M) + P(NM) = 1

Aquí, P(M) = 91/364 = 0,25

Entonces, 0.25 + P(NM) = 1

P(NM) = 1 – 0,25 = 0,75

Pregunta 9. De una bolsa de bolas amarillas y marrones, la probabilidad de sacar una bola roja es x/2. Encuentra «x» si la probabilidad de sacar una bola marrón es 2/3.

Solución:

Dado, en la bolsa solo bolas amarillas y marrones.

P(recoger una bola amarilla) + P(recoger una bola marrón) = 1

x/2 + 2/3 = 1

3x + 4 = 6

3x = 2

O, x = 2/3

Pregunta 10. Se lanzan dos monedas simultáneamente 360 ​​veces. El número de veces que apareció ‘2 Tails’ fue tres veces que apareció ‘No Tail’ y el número de veces que apareció ‘1 tail’ es el doble del número de veces que apareció ‘No Tail’. Encuentre la probabilidad de obtener ‘Dos cruces’.

Solución:

Número total de resultados = 360

Consideremos la cantidad de veces que ‘No Tail’ apareció en z

Luego, el número de veces que apareció ‘2 colas’ = 3z

Número de veces que apareció ‘1 Tail’ = 2z

Ahora, z + 2z + 3z = 360

6z = 360

z = 60

Por lo tanto, la probabilidad de obtener ‘dos ​​cruces’ = (3 x 60)/360 = 1/2