Medición 3D

La medición 3D trata con formas como cubo, ortoedro, esfera, etc. Los problemas generalmente se basan en el volumen y el área de la superficie. 
 

Cuboides

Sean ‘L’, ‘B’ y ‘H’ respectivamente el largo, el ancho y la altura del paralelepípedo. 
 

• Volumen = largo x ancho x alto
• Área de superficie curvada = 2 H (L + B)
• Superficie total = 2 (LB + BH + HL)
• Longitud de la diagonal = (L ² + B ² + H ² ) ^1/2

Cubo

Sea el lado del cubo ‘a’ 
 

• Volumen = un ³
• Área de la superficie curva = 4 a ²
• Superficie total = 6 a ²
• Longitud de la diagonal =  a

Cilindro (cilindro circular derecho)

Sean ‘R’ y ‘H’ respectivamente el radio de la base y la altura del cilindro circular recto. 
 

• Volumen = π R ² H
• Área de superficie curvada = 2 π RH
• Superficie total = 2 π RH + 2 π R ²

Cilindro hueco (cilindro circular derecho hueco)

Deje que el radio interior de la base, el radio exterior de la base y la altura del cilindro circular recto hueco sean ‘r’, ‘R’ y ‘H’ respectivamente. 
 

• Volumen = π H (R ² – r ² )
• Área de superficie curvada = 2 π RH + 2 π r H = 2 π H (R + r)
• Superficie total = 2 π H (R + r) + 2 π (R ² – r ² )

Cono

Deje que el radio de la base, la altura inclinada y la altura del cono sean ‘R’, ‘L’ y ‘H’ respectivamente. 
 

• L ² = R ² + H ²
• Volumen = π R ² H / 3
• Área de superficie curvada = π RL
• Superficie total = π RL + π R ²

Esfera

Sea el radio de la esfera ‘R’ 
 

• Volumen = (4 / 3) π R ³
• Área de superficie = 4 π R ²

Hemisferio

Sea el radio del hemisferio ‘R’ 
 

• Volumen = (2 / 3) π R ³
• Área de superficie curvada = 2 π R ²
• Superficie total = 3 π R ²

Tenga en cuenta que cada vez que se menciona para encontrar «Área de superficie», calculamos el área de superficie total. 
 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra la longitud de la varilla más grande que se puede guardar en una habitación cúbica de dimensiones 10 x 15 x 6 m. 
Solución: la barra más grande estaría a lo largo de la diagonal. 
=> Longitud de la varilla más grande = Longitud de la diagonal de la habitación = (L ² + B ² + H ² ) ^1/2 
=> Longitud de la varilla más grande = (10 ² + 15 ² + 6 ² ) ^1/2 = ( 100 + 225 + 36) ^1/2 = (361) ^1/2 
=> Longitud de la varilla más grande = 19 m 
  
Pregunta 2 : Encuentra el número de ladrillos de 24 x 12 x 8 cm cada uno que se necesitarían para hacer un muro de 24 m de largo, 8 m de alto y 60 cm de espesor. 
Solución: Volumen de 1 ladrillo = 24 x 12 x 8 = 2304 cm ³ 
Volumen de pared = 2400 x 800 x 60 = 115200000 cm ³ 
Por lo tanto, número de ladrillos necesarios = 115200000 / 2304 = 50000 
  
Pregunta 3: Una hoja de papel rectangular que mide 22 cm x 7 cm se enrolla a lo largo del lado más largo para hacer un cilindro. Encuentre el volumen del cilindro formado. 
Solución: Sea ‘R’ el radio del cilindro. 
La hoja se enrolla a lo largo del lado más largo. 
=> 2 π R = 22 
=> R = 3,5 cm 
Además, altura = 7 cm 
Por lo tanto, volumen del cilindro = π R ² H = π (3,5) ² 7 = 269,5 cm ³  
  
Pregunta 4:Si cada arista de un cubo aumenta en un 10%, ¿cuál sería el porcentaje de aumento en volumen? 
Solución: Sea la longitud del borde original ‘a’ 
=> Volumen original = a ³ 
Ahora, longitud del borde nuevo = 1.1 a 
=> Volumen nuevo = (1.1 a) ³ = 1.331 a ³ 
=> Aumento de volumen = 1.331 a ³ – 1 a ³ = 0.331 a ³ 
Por lo tanto, porcentaje de aumento en el volumen eh = (0.331 a ³ / a ³ ) x 100 = 33.1 % 
  
Pregunta 5: Tres cubos de metal de aristas de 3 cm, 4 cm, 5 cm de longitud se funden para formar un solo cubo. Encuentre la longitud de la arista de dicho cubo. 
Solución :Volumen del cubo nuevo = Volumen de metal generado al fundir los cubos = Suma de los volúmenes de los tres cubos 
=> Volumen del cubo nuevo = 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 216 
=> Longitud de la arista del cubo nuevo = (216) ^{1 /3} = 6 cm 
  
Pregunta 6: Calcular la longitud de una lámina de metal de 1,25 m de ancho que se necesita para fabricar una máquina cónica de 7 m de radio y 24 m de altura. 
Solución: la lámina tendría forma de cono. 
=> Área de chapa = Área de máquina cónica 
=> 1,25 x Longitud = π x R x L 
=> 1,25 x Longitud = π x R x (7 ² + 24 ² ) ^1/2 
=> 1,25 x Longitud = π x 7 x 25 
=> Longitud = 440 m 
Por lo tanto, se requiere una hoja de metal de 440 m de largo para hacer la máquina cónica. 
  
Pregunta 7: Desde un recipiente cilíndrico que tiene un radio de base de 7 cm y una altura de 6 cm, se vierte agua en pequeños tazones hemisféricos, cada uno con un radio de 3,5 cm. Encuentre el número mínimo de tazones que se requerirían para vaciar el recipiente cilíndrico. 
Solución: Volumen del recipiente cilíndrico = π R ² H = π (7 ² ) 6 = 924 cm ³ 
Volumen de cada recipiente = (2 / 3) π R ³ = (2 / 3) π 3,5 ³ = 269,5 / 3 
=> Número de tazones requeridos = (924) / (269.5 / 3) = 10.28 
Pero como el número de tazones no puede ser una fracción, necesitamos al menos 11 de esos tazones para vaciar el recipiente cilíndrico. 

Problemas de Medición 3D | Conjunto-2

  
Este artículo ha sido contribuido por Nishant Arora 
  
Por favor, escriba comentarios si tiene alguna duda relacionada con el tema discutido anteriormente, o si tiene dificultades con alguna pregunta o si le gustaría discutir una pregunta diferente a las mencionadas anteriormente. 
  
Escriba comentarios si encuentra algo incorrecto o si desea compartir más información sobre el tema tratado anteriormente.