Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 13 Números complejos – Ejercicio 13.4

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Pregunta 1. Encuentre el módulo y el argumento de los siguientes números complejos y, por lo tanto, exprese cada uno de ellos en la forma polar:

(yo) 1 + yo

(ii) √3 + yo

(iii) 1 – yo

(iv) (1 – i)/(1 + i)

(v) 1/(1 + yo)

(vi) (1 + 2i)/(1 – 3i)

(vii) sen 120 o – i cos 120 o

(viii) –16/(1 + i√3)

La forma polar de un número complejo Z = x + iy viene dada por Z = |Z| (cos θ + i sen θ) donde,

Módulo de número complejo, |Z| = √( x2 + y2 )

Argumento del número complejo, θ = arg (Z) = tan –1 (y/x)

(yo) 1 + yo

Solución:

Nos dan, Z = 1 + i, por lo que x = 1 y y = 1.

|Z| = √(1 2 + 1 2 ) = √2

θ = bronceado -1 (1/1) = bronceado -1 1

Como x > 0 y y > 0, Z se encuentra en el primer cuadrante y el valor de θ es 0 ≤ θ ≤ π/2.

Entonces, θ = π/4 y Z = √2 (cos (π/4) + i sin (π/4)) 

Por lo tanto, la forma polar de (1 + i) es √2 (cos (π/4) + i sin (π/4)).

(ii) √3 + yo

Solución:

Nos dan, Z = √3 + i, entonces x = √3 y y = 1.

|Z| = √((√3) 2 + 1 2 ) = 2

θ = bronceado -1 (1/√3) 

Como x > 0 y y > 0, Z se encuentra en el primer cuadrante y el valor de θ es 0 ≤ θ ≤ π/2.

Entonces, θ = π/6 y Z = 2 (cos (π/6) + i sin (π/6))

Por lo tanto, la forma polar de (√3 + i) es √2 (cos (π/6) + i sin (π/6)).

(iii) 1 – yo

Solución:

Nos dan, Z = 1 – i, entonces x = 1 y y = –1.

|Z| = √(1) 2 + (–1) 2 ) = √2

θ = bronceado -1 (1/1) = bronceado -1 1  

Como x > 0 y y < 0, Z se encuentra en el cuarto cuadrante y el valor de θ es –π/2 ≤ θ ≤ 0.

Entonces, θ = – π/4 y,

Z = √2 (cos (–π/4) + i sin (–π/4))

= √2 (cos (π/4) – i sen (π/4))

Por lo tanto, la forma polar de (1 – i) es √2 (cos (π/4) – i sin (π/4)).

(iv) (1 – i)/(1 + i)

Solución:

Nos dan, Z = (1 – i)/(1 + i).

Multiplicando y dividiendo por (1 – i), obtenemos,

Z = \frac{1 - i}{1 + i}×\frac{1 - i}{1 - i}

= \frac{1+i^2-2i}{1-i^2}

= \frac{1+(-1)-2i}{1-(-1)}

= \frac{-2i}{2}

= 0 – yo

Entonces x = 0, y = –1 y |Z| = √(0 2 + (–1) 2 ) = 1

θ = bronceado -1 (1/0)

Como x ≥ 0 y y < 0, Z se encuentra en el cuarto cuadrante y el valor de θ es –π/2 ≤ θ ≤ 0.

Entonces, θ = –π/2 y,

Z = 1 (cos (–π/2) + i sin (–π/2))

= cos (π/2) – i sen (π/2)

Por lo tanto, la forma polar de (1 – i)/(1 + i) es cos (π/2) – i sin (π/2).

(v) 1/(1 + yo)

Solución:

Nos dan, Z = (1 – i)/(1 + i).

Multiplicando y dividiendo por (1 – i), obtenemos,

Z = \frac{1}{1 + i}×\frac{1 - i}{1 - i}

= \frac{1-i}{1-i^2}

= \frac{1-i}{1-(-1)}

= \frac{1-i}{2}

= 1/2 – i/2

Entonces x = 1/2, y = –1/2 y |Z| = √((1/2) 2 + (–1/2) 2 ) = √(2/4) = 1/√2

θ = bronceado -1 ((1/2)/(1/2)) = bronceado –1 1

Como x > 0 y y < 0, Z se encuentra en el cuarto cuadrante y el valor de θ es –π/2 ≤ θ ≤ 0.

Entonces, θ = –π/4 y,

Z = 1/√2 (cos (-π/4) + i sin (-π/4))

= 1/√2 (cos (π/4) – i sin (π/4))

Por lo tanto, la forma polar de 1/(1 + i) es 1/√2 (cos (π/4) – i sin (π/4)).

(vi) (1 + 2i)/(1 – 3i)

Solución:

Nos dan, Z = (1 + 2i)/(1 – 3i).

Multiplicando y dividiendo por (1 + 3i), obtenemos,

Z = \frac{1+2i}{1-3i}×\frac{1+3i}{1+3i}

= \frac{1+3i+2i+6i^2}{1-9i^2}

= \frac{1+5i+6(-1)}{1-9(-1)}

= \frac{-5+5i}{10}

= –1/2 + i/2

Entonces x = –1/2, y = 1/2 y |Z| = √((–1/2) 2 + (1/2) 2 ) = √(2/4) = 1/√2

θ = tan-1 ((1/2)/(1/2)) = tan –1 1

Como x < 0 y y > 0, Z se encuentra en el segundo cuadrante y el valor de θ es π/2 ≤ θ ≤ π.

Entonces, θ = 3π/4 y Z = 1/√2 (cos (3π/4) + i sin (3π/4))

Por lo tanto, la forma polar de (1 + 2i)/(1 – 3i) es 1/√2 (cos (3π/4) + i sin (3π/4)).

(vii) sen 120 o – i cos 120 o

Solución:

Nos dan, Z = sen 120 o – i cos 120 o

= √3/2 – yo (–1/2)

= √3/2 + yo (1/2)

Entonces x = √3/2, y = 1/2 y |Z| = √((√3/2) 2 + (1/2) 2 ) = √(3/4 + 1/4) = 1

θ = bronceado -1 ((1/2)/(√3/2)) = bronceado -1 (1/√3)

Como x > 0 y y > 0, Z se encuentra en el primer cuadrante y el valor de θ es 0 ≤ θ ≤ π/2.

Entonces, θ = π/6 y Z = 1 (cos (π/6) + i sin (π/6))

Por lo tanto, la forma polar de √3/2 + i (1/2) es 1 (cos (π/6) + i sin (π/6)).

(viii) -16/(1 + i√3)

Nos dan, Z = –16/(1 + i√3).

Multiplicando y dividiendo por (1 – i√3), obtenemos,

Z = \frac{-16}{1+\sqrt{3}i}×\frac{1-\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}

= \frac{-16+16\sqrt{3}i}{1-3i^2}

= \frac{-16+16\sqrt{3}i}{4}  

= –4 + 4√3 yo

Entonces x = –4, y = 4/√3 y |Z| = √((–4) 2 + (4√3) 2 ) = √(16 + 48) = 8

θ = bronceado -1 (4√3/4) = bronceado -1 (√3)

Como x < 0 y y > 0, Z se encuentra en el segundo cuadrante y el valor de θ es π/2 ≤ θ ≤ π.

Entonces, θ = 2π/3 y Z = 8 (cos (2π/3) + i sin (2π/3))

Por lo tanto, la forma polar de -16 / (1 + i√3) es 8 (cos (2π/3) + i sin (2π/3)).

Pregunta 2. Escribe (i 25 ) 3 en forma polar.

Solución:

Se nos da, 

 Z = (i 25 ) 3

= yo 75

= (yo 2 ) 37 . i

= (–1) 37 . i

= – yo

= 0 – yo

Entonces x = 0, y = –1 y,

|Z| = √( x2 + y2 )

= √(0 2 + (–1) 2 )

= 1

θ = tan –1 (|y| / |x|)

= bronceado –1 (1 / 0)

Dado que x ≥ 0 y y < 0, Z se encuentra en el cuarto cuadrante y el valor de θ es π/2 ≤ θ ≤ 0. Entonces, θ = –π/2.

Z = 1 (cos (–π/2) + i sin (–π/2))

= 1 (cos (π/2) – i sen (π/2))

Por lo tanto, la forma polar de (i 25 ) 3 es 1 (cos (π/2) – i sin (π/2)).

Pregunta 3. Exprese los siguientes números complejos en la forma r (cos θ + i sen θ ):

(i) 1 + i tan α

(ii) tan α – i

(iii) 1 − sen α + i cos α

(iv) \frac{1 - i}{\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}}

Solución:

(i) 1 + i tan α

Nos dan 1 + i tan α, entonces x = 1 y y = tan α. 

También sabemos que tan α es una función periódica con período π. 

Entonces α está en el intervalo [0, π/2) ∪ (π/2, π].

Caso 1: Si α ∈ [0, π/2)

|Z| = r = √(1 2 + tan 2 α)

= √( segundo 2 α)

= segundo α

θ = tan -1 (tan α/1)

= tan -1 (tan α)

= α 

Entonces, Z = sec α (cos α + i sin α)

Por lo tanto, la forma polar es sec α (cos α + i sin α).

Caso 2: α ∈ (π/2, π]

|Z| = r = √(1 2 + tan 2 α)

= √( segundo 2 α)

= – seg α

θ = tan -1 (tan α/1)

= tan -1 (tan α)

= –π + α

Entonces, Z = –seg α (cos (α – π) + i sin (α – π))

Por lo tanto, la forma polar es –sec α (cos (α – π) + i sin (α – π)).

(ii) tan α – i

Nos dan tan α – i, entonces x = tan α e y = –1.

También sabemos que tan α es una función periódica con período π.

Entonces α está en el intervalo [0, π/2) ∪ (π/2, π].

Caso 1: Si α ∈ [0, π/2)

|Z| = r = √(tan 2 α + 1)

= √( segundo 2 α)

= segundo α

θ = tan -1 (1/tan α)

= tan -1 (cuna α)

= α – π/2

Entonces, Z = sec α (cos (α – π/2) + i sin (α – π/2))

Por lo tanto, la forma polar es sec α (cos (α – π/2) + i sin (α – π/2)).

Caso 2: α ∈ (π/2, π]

|Z| = r = √(tan 2 α + 1)

= √( segundo 2 α)

= – seg α

θ = tan -1 (1/tan α)

= tan -1 (cuna α)

= π/2 + α

Entonces, Z = –seg α (cos (π/2 + α) + i sin (π/2 + α))

Por lo tanto, la forma polar es –sec α (cos (π/2 + α) + i sin (π/2 + α)).

(iii) 1 − sen α + i cos α

Sea z = 1 − sen α + i cos α

Como las funciones seno y coseno son funciones periódicas con periodo 2π, tomemos α en [0, 2π].

Ahora, z = 1 − sen α + i cos α

\left| z \right| = \sqrt{\left( 1 - \sin\alpha \right)^2 + \cos^2 \alpha} = \sqrt{2 - \sin\alpha} = \sqrt{2}\sqrt{1 - \sin\alpha}

\left| z \right| = \sqrt{2}\sqrt{\left( \cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} \right)^2} = \sqrt{2}\left| \cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} \right|

Sea θ un ángulo agudo dado por,

tan θ = \frac{\left| Im\left( z \right) \right|}{\left| Re\left( z \right) \right|}

tan θ = \frac{\left| \cos\alpha \right|}{\left| 1 - \sin\alpha \right|} = \left| \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\left( \cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} \right)^2} \right| = \left| \frac{\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}} \right|

tan θ = \left| \frac{1 + \tan\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan\frac{\alpha}{2}} \right| = \left| \tan\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} \right) \right|

Caso 1: Cuando 0 ≤ α < π/2

En este caso, tenemos,

|z| = √2(cos α/2 – sen α/2)

También,

tan θ = |tan (π/4 + α/2)| = bronceado (π/4 + α/2)

θ = π/4 + α/2

Claramente, z se encuentra en el primer cuadrante. Por lo tanto, arg(z) = π/4 + α/2

Por tanto, la forma polar de z es √2(cos α/2 – sen α/2){cos (π/4 + α/2) + i sen (π/4 + α/2)}.

Caso 2: Cuando π/2 < α < 3π/2

En este caso, tenemos,

|z| = |√2(cos α/2 – sen α/2)| = -√2(cos α/2 – sen α/2)

Y, tan θ = |tan (π/4 + α/2)| = -tan (π/4 + α/2) = tan {π – (π/4 + α/2)} = tan (α/2 – 3π/4)   

θ = 3π/4 + α/2

Claramente, z se encuentra en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, arg(z) = -θ = 3π/4 + α/2 = α/2 – 3π/4

Por lo tanto, la forma polar de z es -√2(cos α/2 – sin α/2){cos (α/2 – sin 3π/4) + i sin (α/2 – sin 3π/4)}..

Caso 3: Cuando 3π/2 < α < 2π

En este caso, tenemos, 

|z| = |√2(cos α/2 – sen α/2)| = -√2(cos α/2 – sen α/2)

Y tan θ = |tan (π/4 + α/2)| = bronceado (π/4 + α/2) = – bronceado {π – (π/4 + α/2)} = bronceado (α/2 – 3π/4)   

θ = α/2 – 3π/4

Claramente, z se encuentra en el primer cuadrante. Por lo tanto, arg(z) = θ = α/2 – 3π/4

Por lo tanto, la forma polar de z es -√2(cos α/2 – sen α/2){cos (α/2 – sen 3π/4) + i sen (α/2 – sen 3π/4)}.

(iv) \frac{1 - i}{\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}}

Sea z = \frac{1 - i}{cos\frac{\pi}{3} + i sin\frac{\pi}{3}}

= \frac{1 - i}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}

= \frac{2 - 2i}{1 + i\sqrt{3}} \times \frac{1 - i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}

= \frac{2 - 2i - 2\sqrt{3}i + 2\sqrt{3} i^2}{1 + 3}

= \frac{2 - 2\sqrt{3} - 2i(1 + \sqrt{3})}{4}

= \frac{\left( 1 - \sqrt{3} \right) + i( - 1 - \sqrt{3})}{2}

= \frac{\left( 1 - \sqrt{3} \right)}{2} + i\frac{( - 1 - \sqrt{3})}{2}

Ahora, z = \frac{\left( 1 - \sqrt{3} \right)}{2} + i\frac{( - 1 - \sqrt{3})}{2}

\left| z \right| = \sqrt{\left( \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} \right)^2}

= \sqrt{\left( \frac{1 + 3 - 2\sqrt{3}}{4} \right) + \left( \frac{1 + 3 + 2\sqrt{3}}{4} \right)}

= \sqrt{\frac{8}{4}}

= √2

Sea θ un ángulo agudo dado por tan θ = \frac{\left| Im\left( z \right) \right|}{\left| Re\left( z \right) \right|}

tan θ = \frac{\left| \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right|}{\left| \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \right|} = \left| \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan\frac{\pi}{3}}{1 - \tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{3}} \right|

bronceado θ = | bronceado (π/4 + π/3)| = |tan 7π/12| 

θ = 7π/12

Claramente, z se encuentra en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, arg(z) = -7π/12

Por lo tanto, la forma polar de z es √2(cos 7π/12 – sen 7π/12).

Pregunta 4. Si z 1 y z 2 son dos números complejos tales que |z 1 | = |z 2 | y arg (z 1 ) + arg (z 2 ) = π, luego demuestre que z_1 = -\bar{z_2} .

Solución:

Nos dan |z 1 | = |z 2 | y arg (z 1 ) + arg (z 2 ) = π. Supongamos que arg (z 1 ) = θ, luego arg (z 2 ) = π – θ.

Sabemos que z = |z| (cos θ + i sen θ)

z2 = | z2 | (cos (π – θ) + i sen (π – θ))

= |z 2 | (–cos θ + i sen θ)

= – |z 2 | (cos θ – i sen θ)

El conjugado de z 2 ,  \bar{z_2}  = – |z 2 | (cos θ + i sen θ)

Ahora LHS = z 1 = |z 1 | (cos θ + i sen θ)

= |z 2 | (cos θ + i sen θ)

= – [– |z 2 | (cos θ + i sen θ)]

= -\bar{z_2}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 5. Si z 1 , z 2 y z 3 , z 4 son dos pares de números complejos conjugados, probar que arg (z 1 /z 4 ) + arg (z 2 /z 3 ) = 0

Solución:

Se nos da,

z_1=\bar{z_2}

z_3=\bar{z_4}

LHS = argumento (z 1 /z 4 ) + argumento (z 2 /z 3 )

= argumento (z 1 ) − argumento (z 4 ) + argumento (z 2 ) − argumento (z 3 )

= [argumento (z 1 ) + argumento (z 2 )] − [argumento (z 3 ) + argumento (z 4 )] 

= [arg(z_2)+arg(\bar{z_2})]−[arg(z_4)+arg(\bar{z_4})]

= 0 − 0

= 0 

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 6. Exprese sen π /5 + i (1 – cos π /5) en forma polar.

Solución:

Se nos da,

Z = sen π/5 + i (1 – cos π/5)

= 2 sen π/10 cos π/10 + i (2 sen 2 π/10)

= 2 sen π/10 (cos π/10 + i sen π/10)

Sabemos que la forma polar viene dada por r (cos θ + i sen θ).

Por tanto, la forma polar de la expresión dada es 2 sen π/10 (cos π/10 + i sen π/10).

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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