Puntos, Líneas y Planos – Barcelona Geeks

Un punto en geometría tridimensional se define como una ubicación en el espacio 3D que se define únicamente por un triplete ordenado (x, y, z) donde x, y, y z son las distancias del punto desde el eje X, Y -eje y eje Z respectivamente.

Punto en el espacio 3D

Una Línea en geometría tridimensional se define como un conjunto de puntos en 3D que se extiende infinitamente en ambas direcciones y se representa por L : (x – x1) / l = (y – y1) / m = (z – z1) / norte; aquí (x, y, z) son las coordenadas de posición de cualquier punto variable sobre la línea, (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) son las coordenadas de posición de un punto P sobre la línea, y l, m, & n son las relaciones de dirección (DR). En 3D, una línea también está formada por la intersección de dos planos no paralelos.

Línea en el espacio 3D

Un plano en geometría tridimensional (3D) se puede considerar como una superficie tal que el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera de la superficie se encuentra completamente sobre ella. La forma general de un plano en 3D es una ecuación de primer grado en x, y, z ie ( a x + b y + c z + d =0 ) donde (x, y, z) representa las coordenadas de un punto variable en el avión.

Plano en el espacio 3D

Forma vectorial de la ecuación de un plano en forma normal

La forma vectorial de la ecuación de un plano en forma normal viene dada por:

π: ${\vec {r}}$ . n = d

Dónde:

π representa un plano en el espacio 3D.

${\vec {r}}$ vector es el vector de posición de un punto general que se encuentra en el plano, n̂ es el vector unitario normal al plano y d es la distancia de un plano desde el origen.

Nota: Se dice que la ecuación vectorial del plano en la forma ( ${\vec {r}}$ . ${\vec {n}}$ = d) está en la forma normal solo cuando ${\vec {n}}$ es un vector unitario normal al plano y d es la distancia del plano desde el origen. Si ${\vec {n}}$ no es un vector unitario, entonces tenemos que dividir la ecuación anterior por | ${\vec {n}}$ | en ambos lados para convertirlo en la forma normal. ${\vec {r}} . ({\vec {n}}/|{\vec {n}}|) = d/|{\vec {n}}|$ o ${\vec {r}}$ .n̂ = $d/{\vec {|n|}}$

Ejemplos

Ejemplo 1: La ecuación vectorial del plano en el espacio 3D que está a una distancia de 8 unidades del origen y normal al vector (2 i+ j + 2 k) está dada por?

Solución:

d = 8 y ${\vec {n}}$ = (2 i+ j + 2 k)

n̂ = (2 i+ j + 2 k) / √(2 ² + 1 ² + 2 ² )

n̂ = (2 i+ j + 2 k) / √9

n̂ = (2/3) i+ (1/3) j + (2/3) k

Por lo tanto, la ecuación vectorial requerida del plano en forma normal es

${\vec {r}}$ . ((2/3) i+ (1/3) j + (2/3) k) = 8 que se puede simplificar como ${\vec {r}}$ . (2 yo + 1 j + 2 k) = 24

Ejemplo 2: La ecuación vectorial del plano en el espacio 3D que está a una distancia de 5 unidades del origen y normal al vector (4 i+ 3 k) está dada por?

Solución:

d = 5 y ${\vec {n}}$ = (4 i+ 3 k)

n̂ = (4 yo + 3 k) / √(4 ² + 0 ² + 3 ² )

n̂ = (4 i+ 3 k) / √(25)

n̂ = (4/5) i+ (3/5) k

Por lo tanto, la ecuación vectorial requerida del plano en forma normal es ${\vec {r}}$ . ((4/5) i+ (3/5) k) = 5 que se puede simplificar como ${\vec {r}}$ . (4i+ 3k) = 25

Ejemplo 3: La ecuación vectorial del plano en el espacio 3D que está a una distancia de 19 unidades del origen y normal al vector (i + 3 j + 4 k) está dada por?

Solución:

d = 19 y ${\vec {n}}$ = (i+ 3j + 4k)

n̂ = (i+ 3 j + 4 k) / √(1 ² + 3 ² + 4 ² )

n̂ = (i+ 3j + 4k) / √(26)

Por lo tanto, la ecuación vectorial requerida del plano en forma normal es ${\vec {r}}$ . (i+ 3j + 4k)/ (√(26)) = 19

Forma cartesiana de la ecuación de un plano en forma normal

La forma cartesiana de la ecuación de un plano en forma normal viene dada por:

π: l X + metro y + norte z = pags

Dónde:

π nuevamente representa un plano en el espacio 3D

l, m, n son las CC, es decir, los cosenos directores de la normal al plano siempre satisfacen esta condición (l ² + m ² + n ² = 1)

y p es la distancia del plano al origen

Nota: Se dice que cualquier ecuación cartesiana del plano en la forma (ax + by + cz + d = 0) está en la forma normal solo cuando a, b, c son los cosenos directores de la normal al plano y | re | es la distancia del plano al origen.

Si a, b, c no son los cosenos directores de la normal al plano entonces tenemos que seguir estos pasos:

Paso 1: mantenga los términos de x, y y z en el LHS y tome el término constante d en el RHS.
Paso 2: si el término constante en la RHS es negativo, hágalo positivo multiplicando con (-1) en ambos lados de la ecuación.
Paso 3: Divide el término en ambos lados de la ecuación por √(a ² + b ² + c ² ) .

Después de aplicar estos pasos, los coeficientes de x, y y z en el LHS se convertirán en los cosenos directores de la normal al plano y el término constante en el RHS se convertirá en la distancia del plano desde el origen.

Ejemplos

Ejemplo 1: Un plano en el espacio 3D está representado por (2x + y + 2z – 24 = 0) entonces la ecuación cartesiana de este plano en la forma normal viene dada por?

Solución:

Tomando el término constante en el RHS

2x + y + 2z = 24

Dividiendo ambos lados de la ecuación anterior por √(2 ² + 1 ² + 2 ² ) = √9 = 3

(2/3) x + (1/3) y + (2/3) z = 8

Aquí l = 2/3, m = 1/3, n = 2/3 son los cosenos directores y p = 8 es la distancia desde el origen.

Ejemplo 2: (x + y – z – 1 = 0) es un plano en el espacio 3D, entonces la ecuación cartesiana de este plano en la forma normal viene dada por?

Solución:

Tomando el término constante en el RHS

x + y – z = 1

Dividiendo ambos lados de la ecuación anterior por √(1 ² + 1 ² + 1 ² ) = √3

(1/(√3)) x + (1/(√3)) y – (1/(√3)) z = 1 /√3

Aquí l = 1 / (√3), m = 1 / (√3), n = (-1) / (√3) son los cosenos directores y p = 1 / √3 es la distancia desde el origen.

Ejemplo 3: Un plano en el espacio 3D está dado como (y + 3 z – 10 = 0) entonces la ecuación cartesiana de este plano en la forma normal está dada por?

Solución:

Tomando el término constante en el RHS

y + 3 z = 10

Dividiendo ambos lados de la ecuación anterior por √(0 ² + 1 ² + 3 ² ) = √(10)

(0/(√10)) x + (1/(√10)) y + (3/(√10)) z = 10 / √(10)

0 x + (1 / √(10)) y + (3 / (√10)) z = √(10)

Aquí l = 0 , m = 1 / √(10), n = 3 / √(10) son los cosenos directores y p = √(10) es la distancia desde el origen.

Distancia de un punto a un plano en forma cartesiana

La distancia de un punto P (x _o , y _o , z _o ) a un plano π: (a x + b y + c z +d = 0) en forma cartesiana se define como la longitud ( L ) de la perpendicular dibujada desde ese punto hasta el plano.

L = |ax _o + por _o + cz _o + d| / √(a ² + b ² + c ² )

Ejemplos

Ejemplo 1: La distancia del punto (2, 1, 0) al plano (2 x + y + 2 z + 5 = 0) viene dada por?

Solución:

x _o = 2, y _o = 1, z _o = 0

a = 2, b = 1, c = 2, d = 5

L = |(2 × 2) + (1 × 1) + (0 × 2) + 5| / √(2 ² , 1 ² , 2 ² )

L = 10 / √9

L = 10 / 3

Ejemplo 2: La distancia del punto (0, 1, 0) al plano ( 3 y + 4 z = 7) viene dada por?

Solución:

x _o = 0, y _o = 1, z _o = 0

a = 0, b = 3, c = 4, d = -7

L = |0 + (3 × 1) + (4 × 0) – 7| / √(0 ² , 3 ² , 4 ² )

L = |3 – 7| / √(25)

L = 4 / 5

Ejemplo 3: La distancia del punto (1, 1, 1) al plano (4 x + 3 z + 9 = 0) viene dada por?

Solución:

x _o = 1, y _o = 1, z _o = 1

a = 4, b = 0, c = 3, d = 9

L = |(4 × 1) + (0 × 1) + (3 × 1) + 9| / √(4 ² , 0 ² , 3 ² )

L = |7 + 9| / √(25)

L = 16 / 5

Distancia de un punto a un plano en forma vectorial

La distancia de un punto P que tiene vector ${\vec {a}}$ de posición a un plano π: ${\vec {r}} . {\vec {n}} = d$ en forma vectorial se define como la longitud (L) de la perpendicular trazada desde ese punto al plano.

L = $|{\vec {a}} . {\vec {n}}-d| / |{\vec {n}}|$

Ejemplos

Ejemplo 1: La distancia de un punto con vector de posición (2 i + j + 0 k) desde el plano ${\vec {r}}$ . (2 i + j + 2 k) = 5 viene dado por?

Solución:

${\vec {a}}$ = 2 yo + j + 0 k

${\vec {n}}$ = 2 yo + j + 2 k

| ${\vec {n}}$ | = √(2 ² , 1 ² , 2 ² ) = √9 = 3

d = 5 (dado)

${\vec {a}} . {\vec {n}}$ = (2 × 2) + (1 × 1) + (0 × 2) = 5

L = |5 – 5| / 3

L = 0

Ejemplo 2: La distancia de un punto (5, 3, 0) desde el plano ${\vec {r}}$ . ( 4i + 3j) = 8 viene dado por?

Solución:

${\vec {a}}$ = 5 yo + 3 j + 0 k

${\vec {n}}$ = 4 yo + 3 j + 0 k

| ${\vec {n}}$ | = √(4 ² , 3 ² , 0 ² ) = √(25) = 5

d = 8 (dado)

${\vec {a}}$ . ${\vec {n}}$ = (5 × 4) + (3 × 3) + (0 × 0) = 29

L = |29 – 8| / 5

L = 21 / 5

Ejemplo 3: La distancia de un punto (3, 3, 1) desde el plano ${\vec {r}}$ . (i + 3 j + 2 k) = 19 viene dado por?

Solución:

${\vec {a}}$ = 3 yo + 3 j + k

${\vec {n}}$ = yo +3j + 2k

| ${\vec {n}}$ | = √(1 ² , 3 ² , 2 ² ) = √(14)

d = 19 (dado)

${\vec {a}} . {\vec {n}}$ = (3 × 1) + (3 × 3) + (1 × 2) = 14

L = |14 – 19| / √(14)

L = 5 / √(14)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por sanju6890 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Forma vectorial de la ecuación de un plano en forma normal

Ejemplos

Forma cartesiana de la ecuación de un plano en forma normal

Ejemplos

Distancia de un punto a un plano en forma cartesiana

Ejemplos

Distancia de un punto a un plano en forma vectorial

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