Importancia de la identidad de Pascal

Conocemos muy bien la Identidad de Pascal , es decir, n _{c r} = n-1 _{c r} + n-1 _{c r-1}

Un lector curioso podría haber observado que la Identidad de Pascal es fundamental para establecer una relación recursiva en la resolución de coeficientes binomiales. Es bastante fácil probar la identidad anterior usando álgebra simple. Aquí estoy tratando de explicar su significado práctico.

Resumen de las técnicas de conteo, n _{c r} significa seleccionar r elementos de n elementos. Escojamos un elemento especial k de estos n elementos, nos quedamos con ( n – 1 ) elementos.

Podemos agrupar estos r elementos selección n _{c r} en dos categorías,

1) grupo que contiene el elemento k .

2) grupo que no contiene el elemento k .

Considere el primer grupo, el elemento especial k está en todas las selecciones r . Dado que k es parte de r elementos, debemos elegir ( r – 1 ) elementos de los ( n – 1 ) elementos restantes, hay  n-1 _{c r-1}  formas.

Considere el segundo grupo, el elemento especial k no está presente en todas las selecciones r , es decir, tendremos que seleccionar todos los elementos r de los elementos disponibles ( n – 1 ) (ya que debemos excluir el elemento k de n ). Esto se puede hacer de n-1 _{c r} formas.

Ahora es evidente que la suma de estos dos es seleccionar r elementos de n elementos.

Puede haber muchas maneras de probar el hecho anterior. Puede haber muchas aplicaciones de la Identidad de Pascal. Por favor comparta su conocimiento.

—  Venki . Escriba comentarios si encuentra algo incorrecto o si desea compartir más información sobre el tema tratado anteriormente.