La fórmula de Legendre (Dados p y n, ¡encuentra la x más grande tal que p^x divide a n!)

Dado un entero n y un número primo p, encuentra el mayor x tal que p ^x (p elevado a x) ¡divide a n! (factorial) 
Ejemplos: 
 

Input:  n = 7, p = 3
Output: x = 2
32 divides 7! and 2 is the largest such power of 3.

Input:  n = 10, p = 3
Output: x = 4
34 divides 10! and 4 is the largest such power of 3.

¡norte! es la multiplicación de {1, 2, 3, 4, …n}.
¿Cuántos números en {1, 2, 3, 4, ….. n} son divisibles por p?  
Todo p’ésimo número es divisible por p en {1, 2, 3, 4, ….. n}. Por lo tanto en n!, hay ⌊n/p⌋ números divisibles por p. Entonces sabemos que el valor de x (¡la mayor potencia de p que divide a n!) es al menos ⌊n/p⌋. 
¿Puede x ser mayor que ⌊n/p⌋?  
Sí, puede haber números que sean divisibles por p ² , p ³ , … 
¿Cuántos números en {1, 2, 3, 4, ….. n} son divisibles por p ² , p ³ , …?  
Hay ⌊n/(p ² )⌋ números divisibles por p ² (Cada p ² ‘ésimo número sería divisible). De manera similar, hay ⌊n/(p ³)⌋ números divisibles por p ³ y así sucesivamente.
¿Cuál es el mayor valor posible de x?  
Entonces, la potencia más grande posible es ⌊n/p⌋ + ⌊n/(p ² )⌋ + ⌊n/(p ³ )⌋ + …… 
Tenga en cuenta que solo agregamos ⌊n/(p ² )⌋ solo una vez (no dos veces ) ya que una p ya está considerada por la expresión ⌊n/p⌋. De manera similar, consideramos ⌊n/(p ³ )⌋ (no tres veces). 
A continuación se muestra la implementación de la idea anterior. 
 

// C++ program to find largest x such that p*x divides n!
#include <iostream>
using namespace std;
 
// Returns largest power of p that divides n!
int largestPower(int n, int p)
{
    // Initialize result
    int x = 0;
 
    // Calculate x = n/p + n/(p^2) + n/(p^3) + ....
    while (n)
    {
        n /= p;
        x += n;
    }
    return x;
}
 
// Driver code
int main()
{
    int n = 10, p = 3;
    cout << "The largest power of "<< p <<
            " that divides " << n << "! is "<<
            largestPower(n, p) << endl;
    return 0;
}
 
// This code is contributed by shubhamsingh10

// C program to find largest x such that p*x divides n!
#include <stdio.h>
 
// Returns largest power of p that divides n!
int largestPower(int n, int p)
{
    // Initialize result
    int x = 0;
 
    // Calculate x = n/p + n/(p^2) + n/(p^3) + ....
    while (n)
    {
        n /= p;
        x += n;
    }
    return x;
}
 
// Driver program
int main()
{
    int n = 10, p = 3;
    printf("The largest power of %d that divides %d! is %d\n",
           p, n, largestPower(n, p));
    return 0;
}

// Java program to find largest x such that p*x divides n!
import java.io.*;
 
class GFG
{
    // Function that returns largest power of p
    // that divides n!
    static int Largestpower(int n, int p)
    {
        // Initialize result
        int ans = 0;
 
        // Calculate x = n/p + n/(p^2) + n/(p^3) + ....
        while (n > 0)
        {
            n /= p;
            ans += n;
        }
        return ans;
    }
 
    // Driver program
    public static void main (String[] args)
    {
        int n = 10;
        int p = 3;
        System.out.println(" The largest power of " + p + " that divides "
                + n + "! is " + Largestpower(n, p));
         
         
    }
}

# Python3 program to find largest
# x such that p*x divides n!
 
# Returns largest power of p that divides n!
def largestPower(n, p):
     
    # Initialize result
    x = 0
 
    # Calculate x = n/p + n/(p^2) + n/(p^3) + ....
    while n:
        n /= p
        x += n
    return x
 
# Driver program
n = 10; p = 3
print ("The largest power of %d that divides %d! is %d\n"%
                                (p, n, largestPower(n, p)))
         
# This code is contributed by Shreyanshi Arun.

// C# program to find largest x
// such that p * x divides n!
using System;
 
public class GFG
{
     
    // Function that returns largest 
    // power of p that divides n!
    static int Largestpower(int n, int p)
    {
        // Initialize result
        int ans = 0;
 
        // Calculate x = n / p + n / (p ^ 2) +
        // n / (p ^ 3) + ....
        while (n > 0)
        {
            n /= p;
            ans += n;
        }
        return ans;
    }
 
    // Driver Code
    public static void Main ()
    {
        int n = 10;
        int p = 3;
        Console.Write(" The largest power of " + p + " that divides "
                + n + "! is " + Largestpower(n, p));
         
         
    }
}
 
// This code is contributed by Sam007

<?php
// PHP program to find largest
// x such that p*x divides n!
 
// Returns largest power
// of p that divides n!
function largestPower($n, $p)
{
    // Initialize result
    $x = 0;
 
    // Calculate x = n/p +
    // n/(p^2) + n/(p^3) + ....
    while ($n)
    {
        $n = (int)$n / $p;
        $x += $n;
    }
    return floor($x);
}
 
// Driver Code
$n = 10;
$p = 3;
echo "The largest power of ", $p ;
echo " that divides ",$n , "! is ";
echo largestPower($n, $p);
     
// This code is contributed by ajit
?>

<script>
// Javascript program to find largest
// x such that p*x divides n!
 
// Returns largest power
// of p that divides n!
function largestPower(n, p)
{
    // Initialize result
    let x = 0;
 
    // Calculate x = n/p +
    // n/(p^2) + n/(p^3) + ....
    while (n)
    {
        n = parseInt(n / p);
        x += n;
    }
    return Math.floor(x);
}
 
// Driver Code
let n = 10;
let p = 3;
document.write("The largest power of " + p);
document.write(" that divides " + n + "! is ");
document.write(largestPower(n, p));
     
// This code is contributed by _saurabh_jaiswal
</script>

Producción: 
 

The largest power of 3 that divides 10! is 4

Complejidad del tiempo: O(log _p n)

Espacio Auxiliar: O(1)
¿Qué hacer si p no es primo?  
Podemos encontrar todos los factores primos de p y calcular el resultado de cada factor primo. Consulte ¡La mayor potencia de k en n! (factorial) donde k puede no ser primo para los detalles.
Fuente:  
http://e-maxx.ru/algo/factorial_divisors
Este artículo es una contribución de Ankur . Escriba comentarios si encuentra algo incorrecto o si desea compartir más información sobre el tema tratado anteriormente.