La estadística es una disciplina de las matemáticas que utiliza modelos y representaciones cuantificados para recopilar, revisar, analizar y sacar conclusiones de los datos. Las medidas estadísticas más utilizadas son la media, la mediana y la moda . La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión en estadísticas y varias medidas de concentración, incluidos cuartiles, quintiles, deciles y percentiles. Las estadísticas van mucho más allá de los temas mencionados, pero aquí nos detenemos en el método «Media» por desviación de paso. En general, hay 3 tipos de medias:
- Significado aritmetico
- Significado geometrico
- Significado armonico
Este artículo trata sobre la media aritmética por el método de desviación escalonada. La media aritmética, también llamada promedio o valor promedio, es la cantidad que se obtiene al sumar dos o más números o variables y luego dividir por el número de números o variables. La media aritmética es importante en estadística. Por ejemplo, digamos que solo hay dos cantidades involucradas, la media aritmética se obtiene simplemente sumando las cantidades y dividiendo por 2. La media o media aritmética es el promedio de los números, es decir, un valor central calculado para un conjunto de números. Fórmulas generales para la media es,
Media = Suma de observación / Número de observación
Ejemplo:
Las notas obtenidas por 5 alumnos en una prueba de clase son 7, 9, 6, 4, 2 de 10. Halla las notas medias de la clase?
Según la fórmula, las notas medias de la clase son:
Notas promedio = Suma de observación / Número de observación
Aquí notas promedio = (7 + 9 + 6 + 4 + 2) / 5 = 28 / 5 = 5.6
Por lo tanto, la nota media de la clase es 5,6.
Derivación de la fórmula para la media por método de desviación escalonada
La fórmula general para la media en estadística es:
Media = Σf i x i / Σf i
Dónde,
Σf i x i : la suma ponderada de elementos y
Σf i : el número de elementos
En el caso de datos agrupados, suponga que la frecuencia en cada clase está centrada en su marca de clase. Si hay n clases y fi denota la frecuencia e y i denota la marca de clase de la i- ésima clase, la media está dada por,
Media = Σf i y i / Σf i
Cuando el número de clases es grande o el valor de fi y yi es grande , se toma una media aproximada (supuesta) cerca del medio, representada por A y se tiene en cuenta la desviación (d i ) . Entonces la media está dada por,
Media = A + Σf yo re yo / Σf yo
En los problemas donde el ancho de todas las clases es el mismo, simplifique aún más los cálculos de la media calculando la media codificada, es decir, la media de u 1 , u 2 , u 3 , …..u n donde,
tu yo = (y yo – A) / c
Entonces la media está dada por la fórmula,
Media = A + cx (Σf i u i / Σf i )
Este método para encontrar la media se llama Método de Desviación Escalonada .
Ejemplos
Pregunta 1: ¿ Encuentra la media de la siguiente distribución de frecuencias?
|
Intervalos de clase |
84-90 |
90-96 |
96-102 |
102-108 |
108-114 |
|
Frecuencia |
8 |
12 |
15 |
10 |
5 |
Solución:
Aplicando el Método de Desviación Estándar,
Llevamos la media asumida a A = 99, y aquí el ancho de cada clase (c) = 6
|
Clases |
Marca de clase (y i ) |
tu yo = (y yo – A) / c |
frecuencia(f i ) |
si yo tu yo |
|---|---|---|---|---|
|
84-90 |
87 |
-2 |
8 |
-dieciséis |
|
90-96 |
93 |
-1 |
12 |
-12 |
|
96-102 |
99 |
0 |
15 |
0 |
|
102-108 |
105 |
1 |
10 |
10 |
|
108-114 |
111 |
2 |
5 |
10 |
|
Total |
|
|
50 |
-8 |
Media = A + cx (Σf i u i / Σf i )
= 99 + 6 x (-8/50)
= 99 – 0,96
= 98,04
Pregunta 2: ¿ Encuentra la media de la siguiente distribución de frecuencias?
|
Intervalos de clase |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
|
Frecuencia |
10 |
6 |
8 |
12 |
5 |
9 |
Solución:
Aplicando el Método de Desviación Estándar,
Construya la tabla como se muestra a continuación, tomando la media supuesta A = 45 y el ancho de cada clase (c) = 10.
|
Clases |
Marca de clase (y i ) |
tu yo = (y yo – A) / c |
frecuencia(f i ) |
si yo tu yo |
|---|---|---|---|---|
|
20-30 |
25 |
-2 |
10 |
-20 |
|
30-40 |
35 |
-1 |
6 |
-6 |
|
40-50 |
45 |
0 |
8 |
0 |
|
50-60 |
55 |
1 |
12 |
12 |
|
60-70 |
sesenta y cinco |
2 |
5 |
10 |
|
70-80 |
75 |
3 |
9 |
27 |
|
Total |
|
|
50 |
23 |
Media = A + cx (Σf i u i / Σf i )
= 45 + 10 x (23/50)
= 45 + 4,6
= 49,6
Pregunta 3: El peso de 50 manzanas se registró como se indica a continuación
|
peso en gramos |
80-85 |
85-90 |
90-95 |
95-100 |
100-105 |
105-110 |
110-115 |
|
número de manzanas |
5 |
8 |
10 |
12 |
8 |
4 |
3 |
¿Calcule el peso medio, al gramo más cercano?
Solución:
Construya la tabla como se muestra a continuación, tomando la media supuesta A = 97.5. Aquí el ancho de cada clase (c) = 5
| Clases | Marca de clase (y i ) | tu yo = (y yo – A) / c | frecuencia(f i ) | si yo tu yo |
|---|---|---|---|---|
|
80-85 |
82.5 |
-3 |
5 |
-15 |
|
85-90 |
87.5 |
-2 |
8 |
-dieciséis |
|
90-95 |
92.5 |
-1 |
10 |
-10 |
|
95-100 |
97.5 |
0 |
12 |
0 |
|
100-105 |
102.5 |
1 |
8 |
8 |
|
105-110 |
107.5 |
2 |
4 |
8 |
|
110-115 |
112.5 |
3 |
3 |
9 |
|
Total |
|
|
50 |
-dieciséis |
Media = A + cx (Σf i u i / Σf i )
= 97,5 + 5x (-16/50)
= 97,5 – 1,6
= 95,9
Por lo tanto, el peso medio al gramo más cercano es 96 gramos.
Pregunta 4: La siguiente tabla proporciona las calificaciones obtenidas por los estudiantes en un examen:
|
Marcas |
0-5 |
5-10 |
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
30-35 |
35-40 |
|
Numero de estudiantes |
3 |
7 |
15 |
24 |
dieciséis |
8 |
5 |
2 |
¿Calcular las marcas medias correctas con 2 decimales?
Solución:
Construya la tabla como se muestra a continuación, tomando la media supuesta A = 17.5. Aquí el ancho de cada clase (c) = 5
|
Clases |
Marca de clase (y i ) |
tu yo = (y yo – A) / c |
frecuencia(f i ) |
si yo tu yo |
|---|---|---|---|---|
|
0-5 |
2.5 |
-3 |
3 |
-9 |
|
5-10 |
7.5 |
-2 |
7 |
-14 |
|
10-15 |
12.5 |
-1 |
15 |
-15 |
|
15-20 |
17.5 |
0 |
24 |
0 |
|
20-25 |
22.5 |
1 |
dieciséis |
dieciséis |
|
25-30 |
27.5 |
2 |
8 |
dieciséis |
|
30-35 |
32.5 |
3 |
5 |
15 |
|
35-40 |
37.5 |
4 |
2 |
8 |
|
Total |
|
|
80 |
17 |
Media = A + cx (Σf i u i / Σf i )
= 17,5 + 5 x (17/80)
= 17,5 + 1,06
= 18,56