Pregunta 11. Si – 5 es una raíz de la ecuación cuadrática 2x² + px – 15 = 0 y la ecuación cuadrática p(x² + x) + k = 0 tiene raíces iguales, encuentre el valor de k.
Solución:
2x² + píxeles – 15 = 0
-5 es su única raíz
lo satisfará
2(-5) 2 +p(-5)-15=0
2*25-5p-15=0
50-15-5p=0
-5p+35=0
-5p=-35
p=-35/-5=7
ahora en ecuacion
p(x2 + x)+k=0
7(x2 + x)+k=0
7x 2 +7x+k=0
Aquí, a=7, b=7, c=k
D o b 2 -4ac = (7) 2 -4*7*k
=49-28k
Las raíces son reales e iguales.
D o b 2 -4ac=0
49-28k=0⇒28k=49
k=49/28=7/4
Pregunta 12. Si 2 es raíz de la ecuación cuadrática 3x² + px – 8 = 0 y la ecuación cuadrática 4x² – 2px + k = 0 tiene raíces iguales, encuentra el valor de k.
Solución:
2 es raíz de 3x 2 +px-8=0
satisfará si
3(2) 2 +p*2-8=0
12+2p-8=0
4+2p=0
2p=-4
p=-4/2=-2
p=-2
Ahora en la ecuación,
4x 2 -2px+k=0
4x 2 -2*(-2)x+k=0
4x 2 +4x+k=0
Aquí, a=4, b=4, c=k
D=b 2 -4ac=(4) 2 -4*4*k
=16- 16k
Las raíces son reales e iguales.
D o b 2 -4ac=0
16-16k=0
=> 16k = 16
k = 16
Pregunta 13. Si 1 es raíz de la ecuación cuadrática 3x² + ax – 2 = 0 y la ecuación cuadrática a(x² + 6x) – b=0 tiene raíces iguales, encuentra el valor de b.
Solución:
1 es una raíz de
3x² + hacha – 2 = 0
3(1) 2 +a*1-2=0
3+a-2=0⇒a+1=0
a=-1
Ahora en la ecuación a(x 2 +6x)-b=0
-1(x2 + 6x)-b=0
-x 2 -6x-b=0
⇒x2 +6x+b= 0
Aquí, a=1, b=6, c=b
D=b 2 -4ac=(6) 2 -4*1*k
=36-4k
las raices son iguales
D o b 2 -4ac=0
36-4k=0
4k=-36
k=-36/4=-9
Pregunta 14. Encuentra el valor de p para el cual la ecuación cuadrática (p + 1) x² – 6 (p + 1) x + 3 (p + q) = 0, p ≠ -1 tiene raíces iguales. Por lo tanto, encuentre las raíces de la ecuación.
Solución:
(p+1)x 2 -6(p+1)x+3(p+9)=0,
p≠-1
Comparando con ax 2 +bx+c=0
b 2 -4ac, c=p+1, b=-6(p+1), c=3(p+9)
Ahora D=b 2 -4ac
=[-6(p+1)] 2 -4*(p+1)*3(p+9)
=36(p+9) 2 -12(p+1)(p+9)
las raices son iguales
D=0
⇒36(p+1) 2 -12(p+1)(p+9)=0
⇒36(p+1) 2 =12(p+1)(p+9)
⇒3(p+1)=p+9⇒3p+3=p+9
⇒3p-p=⇒9-3⇒2p=6
p=6/2=3
pag=3
Por lo tanto, x=3,3
Pregunta 15. Determinar la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
(i) (x – 2a) (x – 2b) = 4ab
Solución:
⇒x 2 -2bx-2ax+4ab-4ab=0
Aquí, a=1,b=-2(a+b), c=0
Discriminante(D)=b 2 -4ac
={-2(a+b)} 2 -4*1*0
={-2(a+b)} 2
D>0
Las raíces son reales y distintas.
(ii) 9a²b²x² – 24abcdx + 16c²d² = 0, a ≠ 0, b ≠ 0
Solución:
Aquí a=9a 2 b 2 , b=-24abcd, c=16c 2 d 2
D=b 2 -4ac
=(-24abcd) 2 -4*9a 2 b 2 *16c 2 d 2
=576a 2 b2c 2 re 2 -576a 2 segundo 2 c 2 re 2
=0
D=0
Las raíces son reales e iguales.
(iii) 2 (a² + b²) x² + 2 (a + b) x + 1 = 0
Solución:
Aquí a=2(a 2 +b 2 ), b=2(a+b), c=1
D=b 2 -4ac
={2(a+b)} 2 -4*2(a 2 +b 2 )*1
=4(a 2 +b 2 +2ab)-8(a 2 +b 2 )
=4a 2 +4b 2 +8ab-8a 2 -8b 2
=8ab-4a 2 -4b 2
=-(4a 2 +4b 2 -8ab)
=-4(a 2 +b 2 -2ab)
=-4(ab) 2
D<0
La raíz no es real
(iv) (b + c) x² – (a + b + c) x + a = 0
Solución:
Aquí a=b+c, b=-(a+b+c), c=a
D=b 2 -4ac
=[-(a+b+c)] 2 -4*(b+c)*a
=a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=4ab-4ca
=a 2 +b 2 +c 2 -2ab+2bc-2ca
=[-a+b+c] 2
D>0
Las raíces son reales y distintas.
Pregunta 16. Determine el conjunto de valores de k para los cuales la siguiente ecuación cuadrática dada tiene raíces reales:
(i) x² – kx + 9 = 0
Solución:
Aquí a=1, b=-k, c=9
D=b 2 -4ac
=(-k) 2 -4*1*9
=k 2 -36
Las raíces son reales
D≥⇒k2-36≥0
k2 ≥36⇒k2 ( ± 6) 2
k≥6 o k≤-6
(ii) 2x² + kx + 2 = 0
Solución:
Aquí, a=2, b=k, c=2
D=b 2 -4ac
=(k) 2 -4*2*2
=k 2 -16
Las raíces son reales
D≥0⇒k 2 -16≥0
k2 ≥16⇒(k) 2 ≥( ± 4) 2
k≥4 o k≤-4
(iii) 4x² – 3kx +1=0
Solución:
Aquí a=4, b=-3k, c=1
D=b 2 -4ac
=(-3k) 2 -4*4*1
=9k 2 -16
Las raíces son reales
D≥0⇒9k 2 -16≥0
9k 2 ≥16⇒k 2 ≥16/9
(k) 2 ≥(±
) 2
k≥4/3 o k≤-4/3
(iv) 2x² + kx – 4 = 0
Solución:
Aquí a=2, b=k, c=-4
D=b 2 -4ac
=k 2 -4*2*(-4)
=k 2 +32
Las raíces son reales
D≥0⇒k 2 +32≥0
k 2 +32≥0 para todo valor de
k ∈ R
Pregunta 17. Si las raíces de la ecuación (b – c) x² + (c – a) x + (a – b) = 0 son iguales, entonces prueba que 2b = a + c. [CBSE 2002C]
Solución:
(b – c) x² + (c – a) x + (a – b) = 0
Aquí a=bc, B=ca, c=ab
D=b 2 -4ac
=(ca) 2 -4(bc)(ab)
las raices son iguales
D=0
(ca) 2 -4(bc)(ab)=0
c 2 +a 2 -2ca-4(ab-b 2 -ca+bc)=0
c 2 +a 2 -2ca-4ab+4b 2 +4ca-4bc=0
a 2 +4b 2 +c 2 -4ab-4bc+2ca=0
(a-2b+c) 2 =0⇒a-2b+c=0
=> a + c = 2b
=> 2b = a + c
Por lo tanto probado.
Pregunta 18. Si las raíces de la ecuación (a² + b²) x² – 2 (ac + bd) x + (c² + d²) = 0 son iguales. probar que ab = cd
Solución:
Aquí a=a² + b², b= – 2 (ac + bd), c=c² + d²
D=b 2 -4ac
=[-2(ac+bd)] 2 -4(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )
=4(ac+bd)2-4[a 2 c 2 +a 2 re 2 +b 2 c 2 +b 2 re 2 ]
=4[a 2 c 2 +b 2 re 2 + 2abcd]-4[a 2 c 2 +a 2 re 2 +b 2 c 2 +b 2 re 2 ]
=4a 2 c 2 +4b 2 re 2 +8abcd-4a 2 re 2 -4b 2 c 2 -4b 2 re 2
=8abcd-4a 2 d 2 -4b 2 c 2
las raices son iguales
D=0
8abcd-4a 2 d 2 -4b 2 c 2 =0
a 2 d 2 +b 2 c 2 -2abcd=0 ———–(Dividiendo por -4)
(ad-bc) 2 =0⇒ad-bc=0
ad=bc⇒a/b=c/d
Pregunta 19. Si las raíces de las ecuaciones ax² + 2bx + c = 0 y bx² – 2√ac x + b = 0 son simultáneamente reales, entonces prueba que b² = ac
Solución:
hacha 2 +2bx+c=0 ———–(i)
y bx 2 -2
x+b=0 ———–(ii)
Sean D 1 y D 2 los discriminantes de sus ecuaciones simultáneas (i) y (ii)
D1=(2b) 2 -4*a*c=4b 2 -4ac
y D 2 =(-2
=4ac=4b 2
Estos tienen raíces reales.
D 1 ≥0⇒4b 2 -4ac≥0
⇒4b2≥4ac⇒b2≥ac ————-(i)
y D2 ≥0
Por lo tanto, 4ac-4b 2 ≥0 ⇒4ac≥4b 2
ac ≥ b 2 ——————(ii)
ac≥b 2 ≥ac
b 2 = ca
Pregunta 20. Si p, q son reales y p ≠ q, entonces demuestre que las raíces de la ecuación (p – q) x² + 5(p + q) x – 2(p – q) = 0 son reales y desiguales.
Solución:
Aquí a=pq, b=5(p+q), c=-2(pq)
D=b 2 -4ac
=[5(p+q)] 2 -4*(pq)*-2(pq)
=25(p+q) 2 +8(pq) 2
p y q son reales y p≠q
25(p+q) 2 +8(pq)≥0
La ecuación cuadrática dada tiene raíces reales y desiguales.
Pregunta 21. Si las raíces de la ecuación (c² – ab) x² – 2 (a² – bc) x + b² – ac = 0 son iguales, demuestre que a = 0 o a3 + b3 + c3 = 3abc.
Solución:
Aquí a=c 2 -ab, b=-2(a 2 -bc), c=b2-ac
D=b 2 -4ac
=[-2(a 2 -bc)] 2 -4(c 2 -ab)(b 2 -ac)
=4[a 4 +b 2 c 2 -2a 2 bc]-4[b 2 c 2 -ac 3 -ab 3 +a 2 bc]
=4a 4 +4b 2 c 2 -8a 2 bc-4b 2 c 2 +4ac 3 +4ab 3 -4ac 2 bc
=4a 4 +4ab+4ac 3 -12a 2 bc
=4a[a 3 +b 3 +c 3 -3abc]
D=0
4a(a 3 +b 3 +c 3 -3abc)=0
a(a 3 +b 3 +c 3 -3abc)=0
Ya sea un = 0
o a 3 +b 3 +c 3 =3abc=0
a 3 +b 3 +c 3 =3abc
Pregunta 22. Demuestra que la ecuación 2 (a² + b²) x² + 2 (a + b) x + 1 = 0 no tiene raíces reales, cuando a ≠ b.
Solución:
Aquí a=2(a+b2), b=2(a+b), c=1
D=b 2 -4ac
[2(a+b)] 2 -4*2*(a 2 +b 2 )*1
4(a+b 2 +2ab)-8(a 2 +b 2 )
=4a 2 +4b 2 +8ab-8a 2 -8b 2
=-4a 2 -b 2 +8ab
-4[a 2 +b 2 -2ab]
=-4(ab) 2
D<0
Las raíces no son reales.
Pregunta 23. Demuestra que ambas raíces de la ecuación (x – a) (x – b) + (x – b) (x – c) + (x – c) (x – a) = 0 son reales pero son igual sólo cuando a = b = c.
Solución:
Aquí a=3, b=-2(a+b+c), c=ab+ac+ca
D=b 2 -4ac
=[-2(a+b+c)] 2 -4*3(ab+bc+ca)
=4(a+b+c) 2 -12(ab+bc+ca)
=4[(a+b+c)] 2 -3(ab+bc+ca)
=4[a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca]
=2[(ab)] 2 +(bc) 2 +(ca)2]
Claramente, D≥0
Las raíces son reales
Si las raíces son iguales, entonces
D=0
(ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 = 0
ab=0, bc=0, ca=0
a=b=, b=c, c=a
a=b=c
Por lo tanto probado
Pregunta 24. Si a, b, c son números reales tales que ac ≠ 0, entonces demuestre que al menos una de las ecuaciones ax² + bx + c = 0 y – ax² + bx + c = 0 tiene raíces reales.
Solución:
a,b,c son números reales
y ac≠0
hacha 2 +bx+c=0 ———-(i)
-ax+bx+c=0 ——–(ii)
Sean D 1 y D 2 los discriminantes de las dos ecuaciones (i) y (ii)
D 1 = b 2 -4ac y D 2 =b 2 -4ac
Si la ecuación (i) tiene raíces reales, entonces
D1 ≥0 _
b 2 -4ac≥0
b 2 -≥ ac
Ahora D 2 =b 2 +4ac
4ac≤b 2
b 2 +4ac≥0
D≥0
Tanto la ecuación tiene raíces reales
Por lo tanto probado
Pregunta 25. Si la ecuación (1 + m²) x² + 2mcx + (c² – a²) = 0 tiene raíces iguales, prueba que c² = a² (1 + m²).
Solución:
Aquí a=1+m 2 , b=2mc, c=c 2 -a 2
D=b 2 -4ac
=(2mc) 2 -4(1+m 2 )(c 2 -a 2 )
=4m 2 c 2 -4c 2 +4a- 4m 2 c 2 +4m 2 a 2
=4a 2 +4m 2 a 2 -4c 2
Las raíces son iguales
D=0⇒4a 2 +4m2a 2 -4c 2 =0
a 2 +m 2 a 2 -c 2 =0
a 2 + m 2 a 2 = c 2
a 2 (a+m 2 )=c 2
c 2 = un 2 ( 1 + m 2 )
Por lo tanto probado
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Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA