Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables – Ejercicio 3.2 | conjunto 3

Pregunta 23. Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales y sombree la región entre las dos líneas y el eje x.

(i) 2x + 3y = 12 y x – y = 1

Solución: 

Dado que, 2x + 3y = 12 y x – y = 1

Ahora, 2x + 3y = 12

x = (12-3 años)/2

Cuando y = 2, obtenemos x = 3

Cuando y = 4, obtenemos x = 0

2x + 3y = 12

X	0	3
y	4	2

Ahora, x – y = 1

x = y + 1

Cuando y = 0, obtenemos x = 1

Cuando y = 1, obtenemos x = 2

x – y = 1

X	1	2
y	0	1

2x + 3y = 12 y x – y = 1:

las dos rectas se cortan en P (3, 2)

Por lo tanto, x = 3 y y = 2 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

(ii) 3x + 2y – 4 = 0 y 2x – 3y – 7 = 0

Solución: 

Dado que, 3x + 2y – 4 = 0 y 2x – 3y – 7 = 0

Ahora, 3x + 2y – 4 = 0

x = (4 – 2 años)/3

Cuando y = 5, obtenemos x = – 2

Cuando y = 8, obtenemos x = – 4

3x + 2y – 4 = 0

X	-2	-4
y	5	8

Tenemos,

2x – 3y – 7 = 0

x = (3y + 7)/2

Cuando y = 1, obtenemos x = 5

Cuando y = -1, obtenemos x = 2

2x – 3y – 7 = 0

X	5	2
y	1	-1

3x + 2y – 4 = 0 y 2x – 3y – 7 = 0:

las dos rectas se cortan en P(2,-1)

Por lo tanto, x = 2 y y = -1 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

(iii) 3x + 2y – 11 = 0 y 2x – 3y + 10 = 0

Solución: 

Dado que, 3x + 2y – 11 = 0 y 2x – 3y + 10 = 0

Ahora, 3x + 2y – 11 = 0

x = (11 – 2 años)/3

Cuando y = 1, obtenemos x = – 3

Cuando y = 4, obtenemos x = 1

3x + 2y – 11 = 0 

X	3	1
y	1	4

Ahora, 

2x – 3y + 10 = 0

x = (3y-10)/2

Cuando y = 0, obtenemos x = – 5

Cuando y = 2, obtenemos x = – 2

2x – 3y + 10 = 0

X	-5	-2
y	0	2

3x + 2y – 11 = 0 y 2x – 3y + 10 = 0:

las dos rectas se intersecan en P(1, 4)

Por lo tanto, x = 1 y y = 4 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

Pregunta 24. Dibuja las gráficas de las siguientes ecuaciones en el mismo papel cuadriculado:

2x + 3y = 12 y x – y = 1

Solución: 

Dado que, 2x + 3y = 12 y x – y = 1

Ahora, 2x + 3y = 12

x = (12 – 3 años)/2

Cuando y = 0, obtenemos x = 6

Cuando y = 2, obtenemos x = 3

2x + 3y = 12:

X	6	3
y	0	2

Ahora,

x – y = 1

x = 1 + y

Cuando y = 0, obtenemos x = 1

Cuando y = -1, obtenemos x = 0

x – y = 1:

X	1	0
y	0	-1

2x + 3y = 12 y x – y = 1:

las dos rectas se cortan en A (3, 2)

Además, observamos que las rectas se encuentran con el eje y B (0, – 1) y C (0, 4)

Por lo tanto, los vértices del triángulo requerido son A (3, 2), B (0,-1) y C (0, 4).

Pregunta 25. Dibuja las gráficas de x – y + 1 = 0 y 3x + 2y – 12 = 0. Determina las coordenadas de los vértices del triángulo formado por estas líneas y el eje x y sombrea el área triangular. Calcula el área delimitada por estas líneas y el eje x.

Solución: 

Dado que, x – y + 1 = 0 y 3x + 2y – 12 = 0

Ahora, x – y + 1 = 0

x = y – 1

Cuando y = 3, obtenemos x = 2

Cuando y = -1, obtenemos x = -2

x – y + 1 = 0

X	2	-2
y	3	-1

Tenemos,

3x + 2y – 12 = 0

x = (12 – 2 años)/3

Cuando y = 6, obtenemos x = 0

Cuando y = 3, obtenemos x = 2

3x + 2y – 12 = 0

X	0	2
y	6	3

x – y + 1 = 0 y 3x + 2y – 12 = 0:

las dos rectas se cortan en A(2, 3)

Además, observamos que las rectas se encuentran con el eje x B(-1, 0) y C(4, 0)

Entonces, x = 2 y y = 3 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

AD se dibuja perpendicular A en el eje x. 

Asi que, 

AD = punto de coordenadas y A (2, 3)

AD = 3 y BC = 4- ( – 1) = 4 + 1 = 5

Por lo tanto, el área de la región sombreada = 1/2 × base × altura

1/2 × 5 × 3 = 15/2 = 7,5 unidades cuadradas

Pregunta 26. Resuelva gráficamente el sistema de ecuación lineal:

4x – 3y + 4 = 0 y 4x + 3y – 20 = 0

Encuentre el área delimitada por estas líneas y el eje x.

Solución: 

Dado que, 4x – 3y + 4 = 0 y 4x + 3y – 20 = 0

Ahora, 4x – 3y + 4 = 0

x = (3y – 4)/4

Cuando y = 0, obtenemos x = -1

Cuando y = 4, obtenemos x = 2

4x – 3y + 4 = 0

X	2	-1
y	4	0

Ahora, 

4x + 3y – 20 = 0

x = (20 – 3 años)/4

Cuando y = 0, obtenemos x = 5

Cuando y = 4, obtenemos x = 2

4x + 3y – 20 = 0

X	5	2
y	0	4

4x – 3y + 4 = 0 y 4x + 3y – 20 = 0:

las dos rectas se cortan en A (2, 4)

Además, observamos que las líneas se encuentran con el eje x B (-1, 0) y C (5, 0)

Entonces, x = 2 y y = 4 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

AD se dibuja perpendicular A en el eje x. 

Entonces, obtenemos

AD = punto de coordenadas y A (2, 4)

AD = 3 y BC = 5 – (-1) = 4 + 1 = 6

Por lo tanto, el área de la región sombreada = 1/2 × base × altura

1/2 × 6 × 4 = 12 unidades cuadradas

Pregunta 27. Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3x + y – 11 = 0 y x – y – 1 = 0

Sombrea la región delimitada por estas líneas y el eje y. Además, encuentre el área de la región delimitada por estas líneas y el eje y.

Solución: 

Dado que, 3x + y – 11 = 0 y x – y – 1 = 0

Ahora, 3x + y – 11 = 0

y = 11 – 3x

Cuando x = 0, obtenemos y = 11

Cuando x = 3, obtenemos y = 2

3x + y – 11 = 0

X	0	3
y	11	2

Tenemos

x-y-1 = 0

y = x – 1

Cuando x = 0, obtenemos y = -1

Cuando x = 3, obtenemos y = 2

x-y-1 = 0

X	0	3
y	-1	2

3x + y – 11 = 0 y x – y – 1 = 0:

, las dos rectas se cortan en A (3, 2)

También observamos que las rectas se encuentran con el eje y B(0, 11) y C (0, – 1)

Entonces, x = 3 y y = 2 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

AD se dibuja perpendicular A en el eje x. Claramente tenemos,

AD = punto de coordenadas y A(2, 4)

AD = 3 y BC = 11- (- 1) = 11 + 1 = 12

Por lo tanto, el área de la región sombreada = 1/2 × base × altura

1/2 × 12 × 3 = 18 unidades cuadradas

Pregunta 28. Dibuja la gráfica de la siguiente ecuación:

2x – 3y + 6 = 0,

2x + 3y – 18 = 0,

y-2 = 0

Encuentre los vértices del triángulo así obtenido. Además, encuentra el área del triángulo.

Solución: 

Dado que, 2x – 3y + 6 = 0, 2x + 3y – 18 = 0, y y – 2 = 0

Ahora, 2x – 3y + 6 = 0

x = (3y – 6)/2

Cuando y = 0, obtenemos x = -3

Cuando y = 2, obtenemos x = 0

2x – 3y + 6 = 0

X	-3	0
y	0	2

Ahora,

2x + 3y – 18 = 0

x = 18-3y / 2

Cuando y = 2, obtenemos x = 6

Cuando y = 6, obtenemos x = 0

2x + 3y – 18 = 0

X	6	0
y	2	6

Ahora, 

y-2 = 0

y = -2

2x – 3y + 6 = 0, 2x + 3y – 18 = 0 y y – 2 = 0:

De la gráfica de tres ecuaciones, concluimos que las tres rectas tomadas en pares 

se intersecan en los puntos A(3, 4), B(0, 2) y C(6, 2)

Por lo tanto, los vértices del triángulo requerido son (3, 4), (0, 2) y (6, 2)

De la gráfica tenemos

DA = 4 – 2 = 2

BC = 6 – 0 = 6

Por lo tanto, el área de la región sombreada = 1/2 × base × altura

1/2 × 6 × 2 = 6 unidades cuadradas

Pregunta 29. Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

2x – 3y + 6 = 0 y 2x + 3y – 18 = 0

Además, encuentre el área de la región delimitada por estas líneas y el eje y.

Solución: 

Dado que, 2x – 3y + 6 = 0 y 2x + 3y – 18 = 0

Ahora, 2x – 3y + 6 = 0

y = (2x + 6)/3

Cuando x = 0, obtenemos y = 2

Cuando x = -3, obtenemos y = 0

2x – 3y + 6 = 0 

X	0	-3
y	2	6

Ahora, 

2x + 3y – 18 = 0

x = (18 – 3 años)/2

Cuando y = 2, obtenemos x = 6

Cuando y = 6, obtenemos x = 0

2x + 3y – 18 = 0

X	6	0
y	2	6

2x – 3y + 6 = 0 y 2x + 3y – 18 = 0:

, las dos rectas se cortan en A (3, 4).

Por lo tanto, x = 3 y y = 4 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

Además, de la gráfica tenemos

AD = punto de coordenadas x A(3, 4) = 3

BC = 6 – 2 = 4

Por lo tanto, el área de la región sombreada = 1/2 × base × altura

1/2 × 4 × 3 = 6 unidades cuadradas

Pregunta 30. Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuación lineal;

4x – 5y – 20 = 0 y 3x + 5y – 15 = 0

Determine los vértices del triángulo formado por las líneas que representan la ecuación anterior y el eje y.

Solución: 

Dado que, 4x – 5y – 20 = 0 y 3x + 5y – 15 = 0

Ahora, 4x – 5y – 20 = 0

x = (5y + 20)/4

Cuando y = 0, obtenemos x = 5

Cuando y = – 4, obtenemos x = 0

4x – 5y – 20 = 0 

X	5	0
y	0	-4

Tenemos

3x + 5y – 15 = 0

x = (5y + 20)/5

Cuando y = 0, obtenemos x = 5

Cuando y = – 4, obtenemos x = 0

3x + 5y – 15 = 0

X	5	0
y	0	3

4x – 5y – 20 = 0 y 3x + 5y – 15 = 0:

las dos rectas se intersecan en A(5, 0). 

Por lo tanto, x – 5, y – 0 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

Entonces, las líneas se encuentran con el eje y en B(0, -4) y C(0, 3) respectivamente.

Por lo tanto, los vértices del triángulo son (5, 0), (0,- 4) y (0, 3 )

Pregunta 31. Dibuja las gráficas de las ecuaciones 5x – y = 5 y 3x – y = 3. Determina las coordenadas de los vértices del triángulo formado por estas líneas y el eje y. Calcular el área de las formas triangulares.

Solución: 

Dado que, 5x – y = 5 y 3x – y = 3

Ahora, 

5x – y = 5

y = 5x – 5

5x – y = 5

X	0	1	2
y	-5	0	5

Ahora, 3x – y = 3

y = 3x – 3

3x – y = 3

X	0	1	2
y	-3	0	3

5x – y = 5 y 3x – y = 3:

Se puede observar que el triángulo buscado es ABC

Por tanto, las coordenadas de sus vértices A (1, 0) B(0, – 3) y C(0, -5)

Ahora, AB = 3.2, BC = 5.1

s = (a + b + c) /2 = (3,2 + 2 + 5,1)/2 = 5,2

Área del triángulo ABC = √s(s – a)(s – b)(s – c)

= √5.2(5.2 – 3.2)(5.2 – 2)(5.2 – 5.1)

= √3.328

= 1.8 unidad cuadrada

Pregunta 32. Forme el par de ecuaciones lineales en los siguientes problemas, y encuentre su solución gráficamente:

(i) 10 estudiantes de la clase X participaron en la prueba de matemáticas. Si el número de niñas es 4 más que el número de niños. Encuentre el número de niños y niñas que participaron en el cuestionario.

(ii) 5 lápices y 7 bolígrafos juntos cuestan Rs.50, mientras que 7 lápices y 5 bolígrafos juntos cuestan Rs.46.

Encuentra el costo de un lápiz y un bolígrafo.

(iii) Champa fue a una venta para comprar unos pantalones y faldas. Cuando sus amigas le preguntaron cuántos de cada tipo había comprado, ella respondió: “la cantidad de faldas es dos menos que el doble de la cantidad de pantalones comprados”. Además, “el número de faldas es cuatro menos que cuatro veces el número de pantalones comprados”. Ayuda a sus amigas a encontrar cuántos pantalones y faldas compró Champa.

Solución: 

(i) Sea x e y el número de niñas y niños en la clase, respectivamente.

Según la pregunta, 

x + y = 10 y x – y = 4 son las ecuaciones dadas

Ahora, x + y = 10

x = 10 – y

x + y = 10

X	4	5	6
y	6	5	4

Ahora, x – y = 4

x = 4 + y

x – y = 4

X	5	4	3
y	1	0	-1

x + y = 10 y x – y = 4:

las dos líneas se cortan en el punto (7, 3).

Entonces, x = 7 y y = 3

Por lo tanto, el número de niñas y niños en la clase es 7 y 3 respectivamente.

(ii) Deje que el costo de un lápiz y un bolígrafo Rs. x y Rs. y respectivamente.

De acuerdo con la pregunta, obtenemos,

5x + 7y = 50

7x + 5y = 50

Ahora, 5x + 7y = 50

x = (50 – 7 años)/5

5x + 7y = 50

X	3	10	-4
y	5	0	10

Ahora, 7x + 5y = 46,

x = (46 – 5y)/7

7x + 5y = 46,

X	8	3	-2
y	-2	5	12

5x + 7y = 50 y 7x + 5y = 50:

las dos rectas se cortan en el punto (3, 5)

Entonces, x = 3 y y = 5

Por lo tanto, el costo del lápiz y la pluma es de 3 y 5 respectivamente.

(iii) Denotemos el número de pantalones por x y el número de faldas por y. Entonces las ecuaciones formadas son:

y = 2x – 2 …..(yo)

y = 4x – 2 ……(ii)

Las gráficas de las ecuaciones (i) y (ii) se pueden dibujar encontrando dos soluciones para cada una de las ecuaciones. 

Por lo tanto, se dan en la siguiente tabla.

X	2	0
y = 2x – 2	2	-2

Por lo tanto, la representación gráfica es la siguiente:

Las dos rectas se cortan en el punto (1, 0). 

Entonces, x = 1, y = 0 es la solución requerida del par de ecuaciones lineales, 

es decir, el número de piezas que compró es 1 y no compró ninguna falda.

Pregunta 33. Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

Sombrea la región entre las líneas y el eje y

(i) 3x – 4y = 7 y 5x + 2y = 3

(ii) 4x – y = 4 y 3x + 2y = 14

Solución : 

(i) Dado que, 3x – 4y = 7 y 5x + 2y = 3

Ahora, 3x – 4y = 7,

y = (3x – 7)/4

Cuando x = 1, obtenemos y = – 1

Cuando x = – 3, obtenemos y = – 4

3x – 4y = 7

X	1	-3
y	-1	-4

Ahora, 5x + 2y = 3,

y = (3 – 5x)/2

Cuando x = 1, obtenemos y = – 1

Cuando x = 3, obtenemos y = – 6

5x + 2y = 3

X	1	3
y	-1	-6

3x – 4y = 7 y 5x + 2y = 3:

las dos rectas se cortan en A(1,-1)

Por lo tanto, x = 1 y y = -1 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

(ii) Dado que, 4x – y = 4 y 3x + 2y = 14

Ahora, 4x – y = 4

y = 4x – 4

Cuando x = 0, obtenemos y = – 4

Cuando x = -1, obtenemos y = – 8

4x – y = 4 

X	0	-1
y	-4	-8

Ahora, 3x + 2y = 14,

y = (14 – 3x)/2

Cuando x = 0, obtenemos y = 7

Cuando x = 4, obtenemos y = 1

3x + 2y = 14

X	0	4
y	7	1

4x – y = 4 y 3x + 2y = 14:

las dos rectas se cortan en A (2, 4)

Por lo tanto, x = 2 y y = 4 es la solución del sistema de ecuaciones dado.

Pregunta 34. Representa gráficamente el siguiente par de ecuaciones y escribe las coordenadas de los puntos donde las líneas se cruzan con el eje y

x + 3y = 6 y 2x – 3y = 12

Solución: 

Dado que, x + 3y = 6 y 2x – 3y = 12

Ahora, x + 3y = 6,

y = (6 – x)/3

Cuando x = 0, obtenemos y = 2

Cuando x = 3, obtenemos y = 1

x + 3y = 6 

X	0	3
y	2	1

Ahora, 2x – 3y = 12,

y = (2x – 12)/3

Cuando x = 0, obtenemos y = – 4

Cuando x = 6, obtenemos y = 0

2x – 3y = 12

X	0	6
y	-4	0

x + 3y = 6 y 2x – 3y = 12

las dos líneas se encuentran con el eje y en B(0, 2) y C(0, -4) respectivamente.

Por lo tanto, las coordenadas requeridas son (0, 2) y (0, -4)

Pregunta 35. Dada la ecuación lineal 2x + 3y – 8 = 0, escribe otra en dos variables en dos variables tal que la representación geométrica del par así formado sea (i) rectas que se intersecan (ii) rectas paralelas (iii) rectas coincidentes.

Solución: 

(i) Que las dos rectas a1x + b1x + c1 = 0 y a2x + b2x + c2 = 0 se corten. 

Debemos tener, a1/a2 ≠ b1/b2

Entonces la otra ecuación lineal puede ser 5x + 6y – 16 = 0

a1/a2 = 2/5

b1/b1 = 3/6 = 1/2

c1/c2 = -8/-16 = 1/2

(ii) Para que las dos rectas a1x + b1x + c1 = 0 y a2x + b2x + c2 = 0 sean paralelas

Debemos tener, a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

Entonces, la otra ecuación lineal puede ser 6x + 9y + 24 = 0

a1/a2 = 2/6 = 1/3

b1/b2 = 3/9 = 1/3

c1/c2 = -8/-24 = 1/3 

(iii) Para que las dos rectas a1x + b1x + c1 = 0 y a2x + b2x + c2 = 0 sean coincidentes 

Debemos tener, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

Entonces, la otra ecuación lineal puede ser 6x + 9y + 24 = 0

a1/a2 = 2/8 = 1/4

b1/b2 = 3/12 = 1/4

c1/c2 = -8/-32 = 1/4