Leyes de exponentes y uso de exponentes para expresar números pequeños en forma estándar: exponentes y potencias

Se sabe que los números se pueden expresar como x ⁿ donde ‘x’ se llama «Base» y ‘n’ se llama «Exponente» . En palabras simples, podemos decir que el significado del exponente es que dice el número de veces que necesitamos multiplicar nuestra base. Hay ciertas Leyes de los exponentes que harán que el cálculo sea más fácil y rápido. Veamos Leyes junto con ejemplos, en todos los ejemplos hemos tomado x como 5 para una mejor comprensión, x puede ser cualquier número.

leyes	Ejemplos
X0 = ¹	5 ⁰ = 1
x ¹ = x	5 ¹ = 5
x ^-1 = 1 / x	5 ^-1 = 1 / 5
x ^un x ^segundo = x ^(un⁺^segundo)	5 ⁴ 5 ³ = 5 ⁽⁴⁺³⁾ = 5 ⁷
x ^a / x ^b = x ^(a^–^b)	5 ⁶ / 5 ² = 5 ⁽⁶^–²⁾ = 5 ⁴
(x ^a ) ^b = x ^(a^*^b)	(5 ³ ) ⁴ = 5 ⁽³^*⁴⁾ = 5 ¹²
(xy) ^a = x ^a y ^a	(5 * 6) ² = 5 ² * 6 ²
(x/y) ^a = x ^a /y ^a	(5/6) ³ = 5 ³ /6 ³
x ^– a = 1/x ^a	5 ^-4 = 1/5 ⁴

Analicemos cada una de las leyes con más detalle.

Ley 1

Si tenemos cualquier número como base y el exponente de esa base es 0, la respuesta será 1.

Por ejemplo:

2 ⁰ = 1

3 ⁰ = 1

12 ⁰ = 1

Ley 2

Si tenemos cualquier número como base y el exponente de esa base es 1, la respuesta es la base misma.

Por ejemplo:

7 ¹ = 7

21 ¹ = 21

15 ¹ = 15

Ley 3

Si tenemos cualquier número como base y el exponente de esa base es -1, entonces la respuesta será recíproca de esa base.

Por ejemplo:

8 ^-1 = 1 / 8

15 ^-1 = 1 / 15

27 ^-1 = 1 / 27

Ley 4

Si tenemos que multiplicar dos números con la misma base y diferentes exponentes entonces

x ^un x ^segundo = x ^{un + segundo}

x ³ x ⁴ = (x * x * x) * (x * x * x * x)

= (x * x * x * x * x * x * x)

= X ^{(3 + 4)}

= ^x7

Por ejemplo:

2 ⁴ 2 ³ = 2 ^{(4 + 3)}

= 2 ⁷

7 ⁵ 7 ⁴ = 7 ^{(5 + 4)}

= 7 ⁹

(12) ⁶ (12) ² = 12 ^{(6 + 2)}

= 12 ⁸

Ley 5

Si tenemos que dividir dos números con la misma base y diferentes exponentes entonces

x ^un / x ^segundo = x ^{un – segundo}

x ⁵ / x ³ = (x * x * x * x * x) / (x * x * x)

= (x * x) = x ^{(5 – 3)}

= ^x2

Por ejemplo:

3 ⁴ / 3 ² = 3 ^{(4 – 2)}

= 3 ²

5 ⁸ / 5 ³ = 5 ^{(8 – 3)}

= 5 ⁵

(13) ⁷ / (13) ⁵ = 13 ^{(7 – 5)}

= 13 ²

Ley 6

(x ^a ) ^b = x ^ab

(x ² ) ³ = (x * x) ³

= (x * x) (x * x) (x * x)

= (x * x * x * x * x * x) = x ^{(2 * 3)}

= (x) ⁶

Por ejemplo:

(2 ³ ) ⁴ = 2 ^{(3 * 4)}

= 2 ¹²

(5 ² ) ³ = 5 ^{(2 * 3)}

= 5 ⁶

(13 ⁴ ) ⁵ = (13) ^{(4 * 5)}

= 13 ²⁰

Ley 7

Si tenemos dos números para multiplicar con diferente base pero mismo exponente entonces

(x * y) ^a = x ^a y ^a

(x * y) ⁴ = (xy) (xy) (xy) (xy)

= xyxyxyxy

= xxxxyyyy = x ⁴ y ⁴

Por ejemplo:

(5 * 4) ² = 5 ² * 4 ²

(7 * 3) ⁴ = 7 ⁴ * 3 ⁴

(12 * 32) ⁹ = 12 ⁹ * 32 ⁹

Ley 8

Si tenemos que dividir dos números con diferente base pero mismo exponente entonces

(x / y) ^a = x ^a / y ^a

(x / y) ³ = (x/y)(x/y)(x/y)

= (x * x * x) / (y * y * y)

= x ³ / y ³

Por ejemplo:

(2 / 3) ⁴ = 2 ⁴ / 3 ⁴

(6 / 8) ² = 6 ² / 8 ²

(15 / 27) ⁸ = 15 ⁸ / 27 ⁸

Ley 9

x ^-a = 1 / x ^a

Por ejemplo:

8 ^-2 = 1 / 8 ^-2

7 ^-3 = 1 / 7 ³

15 ^-6 = 1 / 15 ⁶

Uso de exponentes para expresar números pequeños en forma estándar

¿Qué es una forma estándar de número?

Muchas veces sucede que nos encontramos con un número que es muy pequeño para leer y escribir correctamente, por lo que para ese propósito, hay una mejor manera de describir esos números pequeños en forma estándar.

Ejemplos:

El diámetro de un chip de computadora es 0.000003m = 3 * 10 ^-6 m
La masa de la partícula de polvo es 0,000000000753 kg = 7,53 * 10 ^-10 kg
La longitud de la longitud de onda visible más corta de la luz visible (violeta) es de 0,0000004 m. = 4,0 * 10 ^-7 m

Estos números son muy pequeños, por lo que los convertiremos a la forma estándar, veamos los pasos:

Paso I: Mueva el decimal a la derecha hasta que solo haya 1 dígito (distinto de cero) a la izquierda del decimal.
Paso II: Supongamos que hemos desplazado el decimal por n lugar a la derecha y luego multiplicamos el número restante por 10 ^-n .