Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 2 Exponentes de números reales – Ejercicio 2.2

Pregunta 12. Determinar (8x) ^x , si 9 ^x+2 = 240 + 9 ^x .

Solución:

Tenemos,

=> ^9x+2 = 240 + ^9x

=> ^9x+2 − ^{9x =} 240

=> 9 ^x (9 ² − 1) = 240

=> 9 ^x = 240/80

=> 3 ^2x = 3

=> 2x = 1

=> x = 1/2

Por lo tanto, (8x) ^x = [8 × (1/2)] ^1/2

= 4 ^1/2

= 2

Pregunta 13. Si 3 ^x+1 = 9 ^x−2 , encuentra el valor de 2 ^1+x .

Solución:

Tenemos,

=> ^3x+1 = ^9x−2

=> 3 ^x+1 = (3 ² ) ^x−2

=> ^3x+1 = 3 ^2x−4

=> x + 1 = 2x − 4

=> x = 5

Por lo tanto, 2 ^1+x = 2 ¹⁺⁵

= 2 ⁶

= 64

Pregunta 14. Si 3 ^4x = (81) ⁻¹ y (10) ^1/y = 0.0001, encuentre el valor de 2 ^−x+4y .

Solución:

Se nos da,

=> 3 ^4x = (81) ⁻¹

=> 3 ^4x = (3 ⁴ ) ⁻¹

=> 3 ^4x = (3) ⁻⁴

=> 4x = −4

=> x = −1

Y también, (10) ^1/y = 0.0001

=> (10) ^1/año = (10) ⁻⁴

=> 1/año = −4

=> y = −1/4

Por lo tanto, 2 ^−x+4y = 2 ^1+4(−1/4)

= 2 ¹⁻¹

= 1

Pregunta 15. Si 5 ^3x = 125 y 10 ^y = 0.001. Encuentre x e y.

Solución:

Se nos da,

=> 5 ^3x = 125

=> 5 ^3x = 5 ³

=> 3x = 3

=>x=1

Además, (10) ^y = 0.001

=> 10 ^y = 10 ⁻³

=> y = −3

Por lo tanto, el valor de x es 1 y el valor de y es -3.

Pregunta 16. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(yo) ^3x+1 = 27 × 3 ⁴

Solución:

Tenemos,

=> ^3x+1 = 27 × 3 ⁴

=> ^3x+1 = 3 ³ × 3 ⁴

=> ^3x+1 = 3 ⁷

=> x + 1 = 7

=> x = 6

(ii) $4^{2x}=\left(\sqrt[3]{16}\right)^{\frac{-6}{y}}=(\sqrt{8})^2$

Solución:

Tenemos,

=> $4^{2x}=\left(\sqrt[3]{16}\right)^{\frac{-6}{y}}=(\sqrt{8})^2$

=> $(2^2)^{2x}=\left(\sqrt[3]{2^4}\right)^{\frac{-6}{y}}=(\sqrt{2^3})^2$

=> $(2)^{4x}=\left(2^\frac{4}{3}\right)^{\frac{-6}{y}}=(2^\frac{3}{2})^2$

=> $(2)^{4x}=(2)^{\frac{-8}{y}}=2^3$

=> 4x = −8/y = 3

=> x = 3/4 y y = −8/3

(iii) 3 ^x−1 × 5 ^2y−3 = 225

Solución:

Tenemos,

=> 3 ^x−1 × 5 ^2y−3 = 225

=> 3 ^x−1 × 5 ^2y−3 = 3 ² × 5 ²

=> x − 1 = 2 y 2y − 3 = 2

=> x = 3 y 2y = 5

=> x = 3 y y = 5/2

(iv) 8 ^x+1 = 16 ^y+2 y (1/2) ^3+x = (1/4) ^3y

Solución:

Tenemos,

=> ^8x+1 = ^16y+2

=> (2 ³ ) ^x+1 = (2 ⁴ ) ^y+2

=> 2 ^3x+3 = 2 ^4y+8

=> 3x + 3 = 4y + 8 . . . . (1)

Además, (1/2) ^3+x = (1/4) ^3y

=> (1/2) ^3+x = [(1/2) ² ] ^3y

=> (1/2) ^3+x = (1/2) ^6y

=> 3 + x = 6y

=> x = 6y – 3 . . . . (2)

Poniendo (2) en (1), obtenemos,

=> 3(6y − 3) + 3 = 4y + 8

=> 18y − 9 + 3 = 4y + 8

=> 14 años = 14

=> y = 1

Poniendo y = 1 en (2), obtenemos,

x = 6(1) − 3 = 6 − 3 = 3

Por lo tanto, el valor de x es 1 y el valor de y es -3.

(v) 4 ^x−1 × (0,5) ^3−2x = (1/8) ^x

Solución:

Tenemos,

=> 4x ⁻¹ × (0.5) ^3−2x = (1/8) ^x

=> (2 ² ) ^x−1 × (1/2) ^3−2x = [(1/2) ³ ] ^x

=> 2 ^2x−2 × 2 ^2x−3 = 2 ^−3x

=> 2 ^{2x−2+2x−3} = 2 ^−3x

=> 2 ^4x−5 = 2 ^−3x

=> 4x − 5 = −3x

=> 7x = 5

=> x = 5/7

(vi) $\sqrt{\frac{a}{b}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{1-2x}$

Solución:

Tenemos,

=> $\sqrt{\frac{a}{b}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{1-2x}$

=> $\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2x-1}$

=> 1/2 = 2x − 1

=> 2x = 3/2

=> x = 3/4

Pregunta: 17. Si ayb son primos positivos distintos tales que, $\sqrt[3]{a^6b^{-4}}=a^xb^{2y}$ encuentre x e y.

Solución:

Tenemos,

=> $\sqrt[3]{a^6b^{-4}}=a^xb^{2y}$

=> (un ⁶ segundo ⁻⁴ ) ^1/3 = un ^x^segundo 2y

=> un ^6/3^{segundo −4/3} = un ^x^segundo 2y

=> un ²^segundo −4/3 = un ^x^segundo 2y

=> x = 2 y 2y = −4/3

=> x = 2 y y = −2/3

Pregunta 18. Si a y b son primos positivos diferentes tales que,

(i) $\left(\frac{a^{-1}b^{2}}{a^2b^{-4}}\right)^7&div;\frac{a^{3}b^{-5}}{a^{-2}b^{3}}=a^xb^y$ , encuentre x e y.

Solución:

Tenemos,

=> $\left(\frac{a^{-1}b^{2}}{a^2b^{-4}}\right)^7&div;\frac{a^{3}b^{-5}}{a^{-2}b^{3}}=a^xb^y$

=> (a ⁻¹⁻² b ²⁺⁴ ) ⁷ ÷ (a ³⁺² b ⁻⁵⁻³ ) = a ^x b ^y

=> (un ⁻³ segundo ⁶ ) ⁷ ÷ (un ⁵ segundo ⁻⁸ ) = un ^X segundo ^y

=> (un ^{−21 segundo} 42 ⁾ ÷ (un ⁵ segundo ⁻⁸ ) = un ^X segundo ^y

=> (un ^{−21−5 segundo} 42 ⁺⁸ ) = un ^x segundo ^y

=> (un ^{−26 segundo} 50 ⁾ = un ^x segundo ^y

=> x = −26, y = 50

(ii) (a + b) ⁻¹ (a ⁻¹ + b ⁻¹ ) = a ^x b ^y , encuentre x+y+2.

Solución:

Tenemos,

=> (a + b) ⁻¹ (a ⁻¹ + b ⁻¹ ) = a ^x b ^y

=> $(\frac{1}{a+b})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ = un ^x segundo ^y

=> $(\frac{1}{a+b})(\frac{b+a}{ab})$ = un ^x segundo ^y

=> 1/ab = a ^x b ^y

=> un ⁻¹ segundo ⁻¹ = un ^X segundo ^y

=> x = −1 y y = −1

Entonces, x+y+2 = −1−1+2 = 0.

Pregunta 19. Si 2 ^x × 3 ^y × 5 ^z = 2160, encuentra x, y y z. Por lo tanto, calcule el valor de 3 ^x × 2 ^−y × 5 ^−z .

Solución:

Se nos da,

=> 2 ^x × 3 ^y × 5 ^z = 2160

=> 2 ^x × 3 ^y × 5 ^z = 2 ⁴ × 3 ³ × 5 ¹

=> x = 4, y = 3, z = 1

Por lo tanto, 3 ^x × 2 ^−y × 5 ^−z = 3 ⁴ × 2 ⁻³ × 5 ⁻¹

= (81) (1/8) (1/5)

= 81/40

Pregunta 20. Si 1176 = 2 ^a × 3 ^b × 7 ^c , encuentra los valores de a, b y c. Por lo tanto, calcule el valor de 2 ^a × 3 ^b × 7 ^-c como una fracción.

Solución:

Se nos da,

=> 1176 = 2 ^un × 3 ^segundo × 7 ^c

=> 2 ³ × 3 ¹ × 7 ² = 2a × 3b × 7c

=> a = 3, b = 1, c = 2

Por lo tanto, 2 ^a × 3 ^b × 7 ^−c = 2 ³ × 3 ¹ × 7 ⁻²

= (8) (3) (1/49)

= 24/49

Pregunta 21. Simplifica

(i) $\left(\frac{x^{a+b}}{x^c}\right)^{a-b}\left(\frac{x^{b+c}}{x^a}\right)^{b-c}\left(\frac{x^{c+a}}{x^b}\right)^{c-a}$

Solución:

Tenemos,

= $\left(\frac{x^{a+b}}{x^c}\right)^{a-b}\left(\frac{x^{b+c}}{x^a}\right)^{b-c}\left(\frac{x^{c+a}}{x^b}\right)^{c-a}$

= (x ^a+b−c ) ^a−b (x ^b+c−a ) ^b−c (x ^c+a−b ) ^c−a

= $(x^{a^2-b^2-ca+cb})(x^{b^2-c^2-ab+ac})(x^{c^2-a^2-bc+ab})$

= $(x^{a^2-b^2-ca+cb+b^2-c^2-ab+ac+c^2-a^2-bc+ab})$

= x ⁰

= 1

(ii) $\sqrt[lm]{\frac{x^l}{x^m}}×\sqrt[mn]{\frac{x^m}{x^n}}×\sqrt[nl]{\frac{x^n}{x^l}}$

Solución:

Tenemos,

=> $\sqrt[lm]{\frac{x^l}{x^m}}×\sqrt[mn]{\frac{x^m}{x^n}}×\sqrt[nl]{\frac{x^n}{x^l}}$

=> $(x^{l-m})^{\frac{1}{lm}}×(x^{m-n})^{\frac{1}{mn}}×(x^{n-l})^{\frac{1}{nl}}$

=> $x^{\frac{l-m}{lm}}×x^{\frac{m-n}{mn}}×x^{\frac{n-l}{nl}}$

=> $x^{\frac{l-m}{lm}+\frac{m-n}{mn}+\frac{n-l}{nl}}$

=> $x^{\frac{nl-mn+ml-nl+mn-ml}{mnl}}$

=> $x^{\frac{0}{mnl}}$

=> ^x0

= 1

Pregunta 22. Demuestre que $\frac{(a+\frac{1}{b})^m×(a-\frac{1}{b})^n}{(b+\frac{1}{a})^m×(b-\frac{1}{a})^n}=(\frac{a}{b})^{m+n}$ .

Solución:

Tenemos,

IZQ = $\frac{(a+\frac{1}{b})^m×(a-\frac{1}{b})^n}{(b+\frac{1}{a})^m×(b-\frac{1}{a})^n}$

= $\frac{(\frac{ab+1}{b})^m×(\frac{ab-1}{b})^n}{(\frac{ab+1}{a})^m×(\frac{ab-1}{a})^n}$

= $(\frac{a}{b})^m×(\frac{a}{b})^n$

= $(\frac{a}{b})^{m+n}$

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 23. (i) Si a = x ^m+n y ^l , b = x ^n+l y ^m y c = x ^l+m y ⁿ , demuestre que a ^m−n b ^n−l c ^l−m = 1 .

Solución:

Dado, a = x ^m+n y ^l , b = x ^n+l y ^m y c = x ^l+m y ⁿ .

Tenemos,

LHS = a ^m−n b ^n−l c ^l−m

= (x ^metro+n y ^l ) ^metro−n (x ^norte+l y ^metro ) ^norte−l (x ^l+m y ^norte ) ^l−m

= $(x^{m^2-n^2}y^{lm-ln})(x^{n^2-l^2}y^{mn-ml})(x^{l^2-m^2}y^{nl-mn})$

= $x^{m^2-n^2+n^2-l^2+l^2-m^2}y^{lm-ln+mn-ml+nl-mn}$

= x ⁰ y ⁰

= 1

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) Si x = a ^m+n , y = a ^n+l y z = a ^l+m , demuestre que x ^m y ⁿ z ^l = x ⁿ y ^l z ^m .

Solución:

Dado, x = a ^m+n , y = a ^n+l y z = a ^l+m .

Tenemos,

LHS = x ^metro y ^norte z ^l

= (un ^metro+n ) ^metro (un ^norte+l ) ^norte (un ^l+m ) ^l

= $a^{m^2+mn+n^2+ln+l^2+ml}$

= $a^{mn+n^2}×a^{nl+l^2}×a^{lm+m^2}$

= (un ^metro+n^{) norte} ( un ^norte+l ) ^l (un ^l+m ) ^metro

= x ^norte y ^l z ^metro

= lado derecho

Por lo tanto probado.

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Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 2 Exponentes de números reales – Ejercicio 2.2 | conjunto 2

Pregunta 12. Determinar (8x) ^x , si 9 ^x+2 = 240 + 9 ^x .

Pregunta 13. Si 3 ^x+1 = 9 ^x−2 , encuentra el valor de 2 ^1+x .

Pregunta 14. Si 3 ^4x = (81) ⁻¹ y (10) ^1/y = 0.0001, encuentre el valor de 2 ^−x+4y .

Pregunta 15. Si 5 ^3x = 125 y 10 ^y = 0.001. Encuentre x e y.

Pregunta 16. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(yo) ^3x+1 = 27 × 3 ⁴

(ii) $4^{2x}=\left(\sqrt[3]{16}\right)^{\frac{-6}{y}}=(\sqrt{8})^2$

(iii) 3 ^x−1 × 5 ^2y−3 = 225

(iv) 8 ^x+1 = 16 ^y+2 y (1/2) ^3+x = (1/4) ^3y

(v) 4 ^x−1 × (0,5) ^3−2x = (1/8) ^x

(vi) $\sqrt{\frac{a}{b}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{1-2x}$

Pregunta: 17. Si ayb son primos positivos distintos tales que, $\sqrt[3]{a^6b^{-4}}=a^xb^{2y}$ encuentre x e y.

Pregunta 18. Si a y b son primos positivos diferentes tales que,

(i) $\left(\frac{a^{-1}b^{2}}{a^2b^{-4}}\right)^7&div;\frac{a^{3}b^{-5}}{a^{-2}b^{3}}=a^xb^y$ , encuentre x e y.

(ii) (a + b) ⁻¹ (a ⁻¹ + b ⁻¹ ) = a ^x b ^y , encuentre x+y+2.

Pregunta 19. Si 2 ^x × 3 ^y × 5 ^z = 2160, encuentra x, y y z. Por lo tanto, calcule el valor de 3 ^x × 2 ^−y × 5 ^−z .

Pregunta 20. Si 1176 = 2 ^a × 3 ^b × 7 ^c , encuentra los valores de a, b y c. Por lo tanto, calcule el valor de 2 ^a × 3 ^b × 7 ^-c como una fracción.

Pregunta 21. Simplifica

(i) $\left(\frac{x^{a+b}}{x^c}\right)^{a-b}\left(\frac{x^{b+c}}{x^a}\right)^{b-c}\left(\frac{x^{c+a}}{x^b}\right)^{c-a}$

(ii) $\sqrt[lm]{\frac{x^l}{x^m}}×\sqrt[mn]{\frac{x^m}{x^n}}×\sqrt[nl]{\frac{x^n}{x^l}}$

Pregunta 22. Demuestre que $\frac{(a+\frac{1}{b})^m×(a-\frac{1}{b})^n}{(b+\frac{1}{a})^m×(b-\frac{1}{a})^n}=(\frac{a}{b})^{m+n}$ .

Pregunta 23. (i) Si a = x ^m+n y ^l , b = x ^n+l y ^m y c = x ^l+m y ⁿ , demuestre que a ^m−n b ^n−l c ^l−m = 1 .

(ii) Si x = a ^m+n , y = a ^n+l y z = a ^l+m , demuestre que x ^m y ⁿ z ^l = x ⁿ y ^l z ^m .

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 12. Determinar (8x) x , si 9 x+2 = 240 + 9 x .

Pregunta 13. Si 3 x+1 = 9 x−2 , encuentra el valor de 2 1+x .

Pregunta 14. Si 3 4x = (81) −1 y (10) 1/y = 0.0001, encuentre el valor de 2 −x+4y .

Pregunta 15. Si 5 3x = 125 y 10 y = 0.001. Encuentre x e y.

Pregunta 16. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(yo) 3x+1 = 27 × 3 4

(ii)

(iii) 3 x−1 × 5 2y−3 = 225

(iv) 8 x+1 = 16 y+2 y (1/2) 3+x = (1/4) 3y

(v) 4 x−1 × (0,5) 3−2x = (1/8) x

(vi)

Pregunta: 17. Si ayb son primos positivos distintos tales que, encuentre x e y.

Pregunta 18. Si a y b son primos positivos diferentes tales que,

(i) , encuentre x e y.

(ii) (a + b) −1 (a −1 + b −1 ) = a x b y , encuentre x+y+2.

Pregunta 19. Si 2 x × 3 y × 5 z = 2160, encuentra x, y y z. Por lo tanto, calcule el valor de 3 x × 2 −y × 5 −z .

Pregunta 20. Si 1176 = 2 a × 3 b × 7 c , encuentra los valores de a, b y c. Por lo tanto, calcule el valor de 2 a × 3 b × 7 -c como una fracción.

Pregunta 21. Simplifica

(i)

(ii)

Pregunta 22. Demuestre que .

Pregunta 23. (i) Si a = x m+n y l , b = x n+l y m y c = x l+m y n , demuestre que a m−n b n−l c l−m = 1 .

(ii) Si x = a m+n , y = a n+l y z = a l+m , demuestre que x m y n z l = x n y l z m .

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 12. Determinar (8x) ^x , si 9 ^x+2 = 240 + 9 ^x .

Pregunta 13. Si 3 ^x+1 = 9 ^x−2 , encuentra el valor de 2 ^1+x .

Pregunta 14. Si 3 ^4x = (81) ⁻¹ y (10) ^1/y = 0.0001, encuentre el valor de 2 ^−x+4y .

Pregunta 15. Si 5 ^3x = 125 y 10 ^y = 0.001. Encuentre x e y.

(yo) ^3x+1 = 27 × 3 ⁴

(ii) $4^{2x}=\left(\sqrt[3]{16}\right)^{\frac{-6}{y}}=(\sqrt{8})^2$

(iii) 3 ^x−1 × 5 ^2y−3 = 225

(iv) 8 ^x+1 = 16 ^y+2 y (1/2) ^3+x = (1/4) ^3y

(v) 4 ^x−1 × (0,5) ^3−2x = (1/8) ^x

(vi) $\sqrt{\frac{a}{b}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{1-2x}$

Pregunta: 17. Si ayb son primos positivos distintos tales que, $\sqrt[3]{a^6b^{-4}}=a^xb^{2y}$ encuentre x e y.

(i) $\left(\frac{a^{-1}b^{2}}{a^2b^{-4}}\right)^7&div;\frac{a^{3}b^{-5}}{a^{-2}b^{3}}=a^xb^y$ , encuentre x e y.

(ii) (a + b) ⁻¹ (a ⁻¹ + b ⁻¹ ) = a ^x b ^y , encuentre x+y+2.

Pregunta 19. Si 2 ^x × 3 ^y × 5 ^z = 2160, encuentra x, y y z. Por lo tanto, calcule el valor de 3 ^x × 2 ^−y × 5 ^−z .

Pregunta 20. Si 1176 = 2 ^a × 3 ^b × 7 ^c , encuentra los valores de a, b y c. Por lo tanto, calcule el valor de 2 ^a × 3 ^b × 7 ^-c como una fracción.

(i) $\left(\frac{x^{a+b}}{x^c}\right)^{a-b}\left(\frac{x^{b+c}}{x^a}\right)^{b-c}\left(\frac{x^{c+a}}{x^b}\right)^{c-a}$

(ii) $\sqrt[lm]{\frac{x^l}{x^m}}×\sqrt[mn]{\frac{x^m}{x^n}}×\sqrt[nl]{\frac{x^n}{x^l}}$

Pregunta 22. Demuestre que $\frac{(a+\frac{1}{b})^m×(a-\frac{1}{b})^n}{(b+\frac{1}{a})^m×(b-\frac{1}{a})^n}=(\frac{a}{b})^{m+n}$ .

Pregunta 23. (i) Si a = x ^m+n y ^l , b = x ^n+l y ^m y c = x ^l+m y ⁿ , demuestre que a ^m−n b ^n−l c ^l−m = 1 .

(ii) Si x = a ^m+n , y = a ^n+l y z = a ^l+m , demuestre que x ^m y ⁿ z ^l = x ⁿ y ^l z ^m .