Contar strings binarias de longitud N que constan de «11» como substring

Dado un entero positivo N , la tarea es encontrar el número de strings binarias de longitud N que contiene «11» como substring.

Ejemplos:

Entrada: N = 2
Salida: 1
Explicación: La única string de longitud 2 que tiene «11» como substring es «11».

Entrada: N = 12
Salida: 3719

Enfoque: la idea es derivar el número de posibilidades de tener «11» como substring para representaciones binarias que comiencen con 0 o 1 en función de las siguientes observaciones:

• Si el primer bit es 0 , entonces el bit inicial no contribuye a que la string tenga «11» como substring . Por lo tanto, los bits restantes (N – 1) deben formar una string que tenga «11 » como substring.
• Si el primer bit es 1 y el bit siguiente también es 1 , entonces existen 2 ^{(N – 2)} strings que tienen «11» como substring.
• Si el primer bit es 1 pero el bit siguiente es 0 , entonces se puede formar una string que tenga «11» como substring con los (N – 2) bits restantes .
• Por tanto, la relación de recurrencia para generar todas las strings binarias de longitud N es:

dp[i] = dp[i – 1] + dp[i – 2] + 2 ^{(i – 2)}
donde, 
dp[i] es la string de longitud i que tiene “11” como substring.
y dp[0] = dp[1] = 0.

Siga los pasos a continuación para resolver el problema:

• Inicialice una array , digamos dp[] , de tamaño (N + 1) y asigne dp[0] como 0 y dp[1] como 0 .
• Calcule previamente las primeras N potencias de 2 y guárdelas en una array, digamos power[] .
• Iterar sobre el rango [2, N] y actualizar dp[i] como (dp[i – 1] + dp[i – 2] + power[i – 2]) .
• Después de completar los pasos anteriores, imprima el valor de dp[N] como resultado.

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:

// C++ program for the above approach
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
// Function to count binary strings
// of length N having substring "11"
void binaryStrings(int N)
{
    // Initialize dp[] of size N + 1
    int dp[N + 1];
 
    // Base Cases
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 0;
 
 
 
    // Iterate over the range [2, N]
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1]
                + dp[i - 2]       
                + (1<<(i-2));   // 1<<(i-2) means power of 2^(i-2)
    }
 
    // Print total count of substrings
    cout << dp[N];
}
 
// Driver Code
int main()
{
    int N = 12;
    binaryStrings(N);
 
    return 0;
}

// Java program for the above approach
import java.util.*;
 
class GFG{
 
// Function to count binary strings
// of length N having substring "11"
static void binaryStrings(int N)
{
     
    // Initialize dp[] of size N + 1
    int[] dp = new int[N + 1];
 
    // Base Cases
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 0;
 
    // Stores the first N powers of 2
    int[] power = new int[N + 1];
    power[0] = 1;
 
    // Generate
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    {
        power[i] = 2 * power[i - 1];
    }
 
    // Iterate over the range [2, N]
    for(int i = 2; i <= N; i++)
    {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + power[i - 2];
    }
     
    // Print total count of substrings
    System.out.println(dp[N]);
}
 
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
    int N = 12;
     
    binaryStrings(N);
}
}
 
// This code is contributed by ukasp

# Python3 program for the above approach
 
# Function to count binary strings
# of length N having substring "11"
def binaryStrings(N):
     
    # Initialize dp[] of size N + 1
    dp = [0]*(N + 1)
 
    # Base Cases
    dp[0] = 0
    dp[1] = 0
 
    # Stores the first N powers of 2
    power = [0]*(N + 1)
    power[0] = 1
 
    # Generate
    for i in range(1, N + 1):
        power[i] = 2 * power[i - 1]
 
    # Iterate over the range [2, N]
    for i in range(2, N + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + power[i - 2]
 
    # Prtotal count of substrings
    print (dp[N])
 
# Driver Code
if __name__ == '__main__':
    N = 12
    binaryStrings(N)
 
    # This code is contributed by mohit kumar 29.

// C# program for the above approach
using System;
using System.Collections.Generic;
class GFG
{
 
  // Function to count binary strings
  // of length N having substring "11"
  static void binaryStrings(int N)
  {
 
    // Initialize dp[] of size N + 1
    int []dp = new int[N + 1];
 
    // Base Cases
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 0;
 
    // Stores the first N powers of 2
    int []power = new int[N + 1];
    power[0] = 1;
 
    // Generate
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
      power[i] = 2 * power[i - 1];
    }
 
    // Iterate over the range [2, N]
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
      dp[i] = dp[i - 1]
        + dp[i - 2]
        + power[i - 2];
    }
 
    // Print total count of substrings
    Console.WriteLine(dp[N]);
  }
 
  // Driver Code
  public static void Main()
  {
    int N = 12;
    binaryStrings(N);
  }
}
 
// This code is contributed by bgangwar59.

<script>
 
// JavaScript program for the above approach
 
    // Function to count binary strings
    // of length N having substring "11"
    function binaryStrings(N) {
 
        // Initialize dp of size N + 1
        var dp = Array(N + 1).fill(0);
 
        // Base Cases
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
 
        // Stores the first N powers of 2
        var power = Array(N+1).fill(0);
        power[0] = 1;
 
        // Generate
        for (i = 1; i <= N; i++) {
            power[i] = 2 * power[i - 1];
        }
 
        // Iterate over the range [2, N]
        for (i = 2; i <= N; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + power[i - 2];
        }
 
        // Print total count of substrings
        document.write(dp[N]);
    }
 
    // Driver Code
     
        var N = 12;
 
        binaryStrings(N);
 
// This code contributed by aashish1995
 
</script>

3719

Complejidad temporal: O(N)
Espacio auxiliar: O(N)