Pregunta 1: Encuentra los valores de α para que el punto P(α 2 , α) se encuentre dentro o sobre el triángulo formado por las líneas x – 5y + 6 = 0, x – 3y + 2 = 0 y x – 2y – 3 = 0.
Solución:
Sea el triángulo ABC donde los lados son AB, BC y CA con ecuaciones como x – 5y + 6 = 0, x – 3y + 2 = 0 y x – 2y – 3 = 0 respectivamente.
Obtenemos A(9, 3), B(4, 2) y C(13, 5) como las coordenadas de los vértices.
Dado que el punto P(α 2 , α) se encuentra dentro o sobre el triángulo, por lo tanto,
(i) A y P deben estar del mismo lado que BC.
(ii) B y P deben estar del mismo lado que AC.
(iii) C y P deben estar del mismo lado que AB.
Ahora,
Si A y P están del mismo lado que BC, entonces
(9(1) + 3(-3) + 2)(α 2 – 3α + 2) > 0
(9 – 9 + 2)(α 2 – 3α + 2) > 0
α 2 – 3α + 2 > 0
(α-2)(α-1) >
α ∈ (- ∞, 1 ) ∪ ( 2, ∞) …… (1)
Si B y P están del mismo lado que AC, entonces
(4(1) + 2(-2) – 3)(α 2 – 2α – 3) > 0
(4 – 4 – 3)(α 2 – 2α – 3) > 0
(-3)(α 2 – 2α – 3) > 0
(α – 3)(α + 1) < 0
α ∈ (- 1, 3) …… (2)
Si C y P están del mismo lado que AB, entonces
(13(1) + 5(-5) + 6)(α 2 – 5α + 6) > 0
(13 – 25 + 6)(α 2 – 5α + 6) > 0
α 2 – 5α + 6 > 0
(α-3)(α-2) < 0
α ∈ ( 2, 3) …… (3)
De las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos
α ∈ (2, 3)
Por lo tanto, α ∈ (2, 3)
Pregunta 2: Encuentra los valores del parámetro a para que el punto (a, 2) sea un punto interior del triángulo formado por las rectas x + y – 4 = 0, 3x – 7y – 8 = 0 y 4x – y – 31 = 0.
Solución:
Sea el triángulo ABC donde los lados son AB, BC y CA con ecuaciones como x + y – 4 = 0, 3x – 7y – 8 = 0 y 4x – y – 31 = 0 respectivamente.
Obtenemos A(7, -3), B(18/5, 2/5) y C(209/25, 61/25) como las coordenadas de los vértices.
Dado que el punto P(a, 2) es un punto interior, por lo tanto,
(i) A y P deben estar del mismo lado que BC.
(ii) B y P deben estar del mismo lado que AC.
(iii) C y P deben estar del mismo lado que AB.
Ahora,
Si A y P están del mismo lado que BC, entonces
(7(3) – 7(-3) – 8)(3a – 7(2) – 8) > 0
(21 + 21 – 8)(3a – 7(2) – 8) > 0
3a – 22 > 0
a > 22/3 …… (1)
Si B y P están del mismo lado que AC, entonces
(4(18/5) – (2/5) – 31)(4a – 2 – 31) > 0
4a – 33 > 0
a > 33/4 …… (2)
Si C y P están del mismo lado que AB, entonces
(209/25 + 61/25 – 4)(a + 2 – 4) > 0
a + 2 > 0
a > -2 …… (3)
De las ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos
un ∈ (22/3, 33/4)
Por lo tanto, a ∈ (22/3, 33/4)
Pregunta 3: Determina si el punto (-3, 2) se encuentra dentro o fuera del triángulo cuyos lados están dados por las ecuaciones x + y – 4 = 0, 3x – 7y + 8 = 0, 4x – y – 31 = 0.
Solución:
Sea el triángulo ABC donde los lados son AB, BC y CA con ecuaciones como x + y – 4 = 0, 3x – 7y + 8 = 0, 4x – y – 31 = 0 respectivamente
Obtenemos A(7, -3), B(2, 2) y C(9, 5) como las coordenadas de los vértices.
Dado que el punto P(-3, 2) se encuentra dentro o fuera del triángulo, por lo tanto,
(i) A y P deben estar del mismo lado que BC.
(ii) B y P deben estar del mismo lado que AC.
(iii) C y P deben estar del mismo lado que AB.
Ahora,
Si A y P están del mismo lado que BC, entonces
(3(7) – 7(-3) + 8)(3(-3) – 7(2) + 8) > 0
(21 + 21 + 8)(-9 – 14 + 8) > 0
(50)(-15) > 0 que es falso
Por tanto, el punto P(-3, 2) está fuera del triángulo ABC.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA