Evalúa las siguientes integrales.
Pregunta 1. ∫(x 2 + 1)/(x 4 + x 2 + 1)dx
Solución:
Tenemos,
∫(x2 + 1 )/(x4 + x2 + 1 )dx
= ∫x 2 (1 + 1/x 2 )/x 2 (x 2 + 1 + 1/x 2 )dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/(x 2 + 1 + 1/x 2 )dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/(x 2 + 1/x 2 − 2 + 2 + 1)dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/[(x − 1/x) 2 + 3]dx
Sea x − 1/x = t.
Diferenciando ambos lados, obtenemos,
(1 + 1/x 2 )dx = dt
Entonces, nuestra ecuación se convierte en,
= ∫1/(t 2 + 3)dt
= (1/√3) tan -1 (t/√3) + c
= (1/√3) bronceado -1 [(x 2 − 1)/√3x] + c
Pregunta 2. ∫√(cotθ)dθ
Solución:
Tenemos,
∫√(cotθ)dθ
Sea cotθ = x 2
Diferenciando ambos lados, obtenemos,
=> −coseg 2 θdθ = 2xdx
=> dθ = −2xdx/coseg 2 θ
=> dθ = −2xdx/(1 + cuna 2 θ)
=> dθ = −2xdx/(1 + x 4 )
Entonces, nuestra ecuación se convierte en,
= −∫2x 2 /(1 + x 4 )]dx
= −∫2/(x 2 + 1/x 2 )dx
= −∫(1 + 1/x 2 + 1 − 1/x 2 )/(x 2 + 1/x 2 + 2 − 2)dx
= −∫(1 + 1/x 2 )/[(x − 1/x) 2 + 2]dx − ∫(1 − 1/x 2 )/[(x + 1/x) 2 − 2]dx
Sea x − 1/x = t, entonces obtenemos, (1 + 1/x 2 )dx = dt
Sea x + 1/x = y, entonces obtenemos, (1 − 1/x 2 )dx = dy
Entonces, nuestra ecuación se convierte en,
= −∫dt/(t 2 + 2) − ∫dy/(y 2 − 2)
= −(1/√2) tan -1 [t/√2] − (1/2√2) log |(y − √2)/(y + √2)| +c
= −(1/√2) tan -1 [(x 2 − 1)/√2x] − (1/2√2) log |(x 2 + 1 − √2x)/(x 2 + 1 + √2x )| +c
= −(1/√2) tan -1 [(cotθ − 1)/√(2cotθ)] − (1/2√2) log |(cotθ + 1 − √(2cotθ))/(cotθ + 1 + √ (2cotθ))| +c
Pregunta 3. ∫(x 2 + 9)/(x 4 + 81)dx
Solución:
Tenemos,
∫(x2 + 9)/(x4 + 81)dx
= ∫x 2 (1 + 9/x 2 )/x 2 (x 2 + 81/x 2 )dx
= ∫(1 + 9/x 2 )/[(x − 9/x) 2 + 18]dx
Sea x−9/x = t, entonces tenemos, (1 + 9/x 2 )dx = dt
Entonces, nuestra ecuación se convierte en,
= ∫dt/(t 2 + 18)
= (1/3√2) bronceado -1 (t/3√2) +c
= (1/3√2) bronceado -1 [(x 2 − 9)/3√2x] + c
Pregunta 4. ∫1/(x 4 + x 2 + 1)dx
Solución:
Tenemos,
∫1/(x4 + x2 + 1 )dx
= ∫(1/x 2 )/(x 2 + 1 + 1/x 2 )dx
= (1/2)∫(1 + 1/x 2 − 1 + 1/x 2 )/(x 2 + 1 + 1/x 2 )dx
= (1/2)∫(1 + 1/x 2 )/[(x − 1/x) 2 + 3]dx − (1/2)∫(1 − 1/x 2 )/(x + 1/ x) 2 − 1)dx
Sea x − 1/x = t, entonces obtenemos, (1 + 1/x 2 )dx = dt y
Sea x + 1/x = y, entonces obtenemos, (1 − 1/x 2 )dx = dy.
Entonces, nuestra ecuación se convierte en,
= (1/2)∫dt/(t 2 + 3) − (1/2)∫dy/(y 2 − 1)
= (1/2√3) tan -1 (t/√3) − (1/4) log |(y − 1)/(y + 1)| +c
= (1/2√3) tan -1 [(x 2 − 1)/√3x] − (1/4) log |(x 2 + 1 − x)/(x 2 + 1 + x)| +c
Pregunta 5. ∫(x 2 − 3x + 1)/(x 4 + x 2 + 1)dx
Solución:
Tenemos,
∫(x2 − 3x + 1)/(x4 + x2 + 1 )dx
= ∫(1 − 3/x + 1/x 2 )/(x 2 + 1 + 1/x 2 )dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/[(x − 1/x) 2 + 3]dx − ∫3x/(x 4 + x 2 + 1)dx
Sea x − 1/x = t, entonces obtenemos, (1 + 1/x 2 )dx = dt
Sea x 2 = y, entonces obtenemos, 2xdx = dy
Entonces, nuestra ecuación se convierte en,
= ∫dt/(t 2 + 3) − (3/2)∫dy/(y 2 + y + 1)
= ∫dt/(t 2 + 3) − (3/2)∫dy/[(y+1/2) 2 + 3/4]
= (1/√3) tan -1 (t/√3) − (3/2)(2/√3) tan -1 [(y + 1/2)/(√3/2)] + c
= (1/√3) tan -1 (t/√3) − √3 tan -1 [(2y + 1)/√3] + c
= (1/√3) tan -1 [(x 2 − 1)/√3] − √3 tan -1 [(2x 2 + 1)/√3] + c
Pregunta 6. ∫(x 2 + 1)/(x 4 − x 2 + 1)dx
Solución:
Tenemos,
∫(x 2 + 1)/(x 4 − x 2 + 1)dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/(x 2 − 1 + 1/x 2 )dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/[(x − 1/x) 2 + 1]dx
Sea x − 1/x = t, entonces obtenemos, (1 + 1/x 2 )dx = dt
Entonces, la ecuación se convierte en,
= ∫dt/(t 2 + 1)
= bronceado −1 t + c
= bronceado −1 [(x 2 − 1)/x] + c
Pregunta 7. ∫(x 2 − 1)/(x 4 + 1)dx
Solución:
Tenemos,
∫(x2 − 1 )/(x4 + 1 )dx
= ∫(1 − 1/x 2 )/(x 2 + 1/x 2 )dx
= ∫(1 − 1/x 2 )/[(x + 1/x) 2 − 2]dx
Sea x + 1/x = t, entonces obtenemos, (1 − 1/x 2 )dx = dt
Entonces, la ecuación se convierte en,
= ∫dt/(t 2 − 2)
= (1/2√2) log |(t − √2)/(t + √2)| +c
= (1/2√2) log |(x 2 + 1 − √2x)/(x 2 + 1 + √2x)| +c
Pregunta 8. ∫(x 2 + 1)/(x 4 + 7x 2 + 1)dx
Solución:
Tenemos,
∫(x 2 + 1)/(x 4 + 7x 2 + 1)dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/(x 2 + 7 + 1/x 2 )dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/[(x − 1/x) 2 + 9]dx
Sea x − 1/x = t, entonces obtenemos, (1 + 1/x 2 )dx = dt
Entonces, la ecuación se convierte en,
= ∫dt/(t 2 + 9)
= (1/3)tan −1 (t/3) + c
= (1/3)tan −1 [(x 2 − 1)/3x] + c
Pregunta 9. ∫(x − 1) 2 /(x 4 + x 2 + 1)dx
Solución:
Tenemos,
∫(x − 1) 2 /(x 4 + x 2 + 1)dx
= ∫(x2 − 2x + 1)/(x4 + x2 + 1 )dx
= ∫(1 − 2/x + 1/x 2 )/(x 2 + 1 + 1/x 2 )dx
= ∫(1 + 1/x 2 )/[(x − 1/x) 2 + 3]dx − ∫2x/(x 4 + x 2 + 1)dx
Sea x − 1/x = t, entonces obtenemos, (1 + 1/x 2 )dx = dt
Sea x 2 = y, obtenemos, 2xdx = dy
Entonces, nuestra ecuación se convierte en,
= ∫dt/(t 2 + 3) − ∫dy/(y 2 + y + 1)
= ∫dt/(t 2 + 3) − ∫dy/[(y + 1/2) 2 + 3/4]
= (1/√3) tan −1 [(x 2 − 1)/√3x] − (2/√3) tan −1 [(2x 2 + 1)/√3] + c
Pregunta 10. ∫1/(x 4 + 3x 2 + 1)dx
Solución:
Tenemos,
∫1/(x 4 + 3x 2 + 1)dx
= ∫(1/x 2 )/(x 2 + 3 + 1/x 2 )dx
= (1/2)∫(1 + 1/x 2 − 1 + 1/x 2 )/(x 2 + 3 + 1/x 2 )dx
= (1/2)∫(1 + 1/x 2 )/[(x − 1/x) 2 + 5]dx − (1/2)∫(1 − 1/x 2 )/[(x + 1 /x) 2 + 1]dx
Sea x − 1/x = t, obtenemos, (1 + 1/x 2 )dx = dt
Sea x + 1/x = y, obtenemos, (1 − 1/x 2 )dx = dy
Entonces, la ecuación se convierte en,
= (1/2)∫dt/(t 2 + 5) − (1/2)∫dy/(y 2 + 1)
= (1/2√5) tan −1 (t/√5) − (1/2) tan −1 y + c
= (1/2√5) tan −1 [(x 2 − 1)/√5x] − (1/2) tan −1 [(x 2 + 1)/x] + c
Pregunta 11. ∫1/(sen 4 x + sen 2 x cos 2 x + cos 4 x)dx
Solución:
Tenemos,
∫1/(sen 4 x + sen 2 x cos 2 x + cos 4 x)dx
= ∫(1/cos 4 x)/[(sen 4 x + sen 2 x cos 2 x + cos 4 x)/(cos 4 x)]dx
= ∫(seg 4 x)/(tan 4 x + tan 2 x + 1)dx
= ∫[(1 + tan 2 x) seg 2 x]/(tan 4 x + tan 2 x + 1) dx
Sea tan x = t, entonces obtenemos sec 2 xdx = dt
Entonces, la ecuación se convierte en,
= ∫(1 + t 2 )/(t 4 + t 2 + 1)dt
= ∫(1 + 1/t 2 )/(t 2 + 1/t 2 + 1)dt
= ∫(1 + 1/t 2 )/[(t − 1/t) 2 + 3]dt
Sea t − 1/t = y, entonces obtenemos, (1 + 1/t 2 )dt = dy
Entonces, la ecuación se convierte en,
= ∫dy/(y 2 + 3)
= (1/√3) tan −1 (y/√3) + c
= (1/√3) tan −1 [(t−1/t)/√3] + c
= (1/√3) tan −1 [(tan x − 1/tan x)/√3] + c
= (1/√3) tan −1 [(tan x − cot x)/√3] + c
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA